Chúng tôi sử dụng cơ hội này để thực hành tính hình thức toán học và sẽ nhóm các câu lệnh thành

• Giả thuyết (tuyên bố được đề xuất như một điểm khởi đầu để điều tra thêm)
• Sự định nghĩa (giải thích ý nghĩa của một từ hoặc cụm từ)
• Định lý (tuyên bố in đậm)
• Bổ đề (tuyên bố nhỏ)
• Bằng chứng (các câu lệnh cho thấy chắc chắn rằng một định lý hoặc bổ đề là đúng. Ký hiệu □ sẽ cho biết phần cuối của một bằng chứng.)
• Hệ quả (câu lệnh theo sau trực tiếp từ một định lý hoặc bổ đề)

Không. Trạng thái của đèn chỉ phụ thuộc vào số lần nhấp chuột được thực hiện trên chính đèn đó và các đèn xung quanh, không phụ thuộc vào thứ tự nhấp chuột. Nếu tổng số lần nhấp vào một đèn và các đèn lân cận của nó là chẵn thì đèn không thay đổi trạng thái của nó còn nếu là số lẻ thì trạng thái đèn sẽ thay đổi, không phụ thuộc vào thứ tự lần nhấp

Ví dụ:

Chọn hai đèn lân cận khác nhau, giả sử là A và B. Sau đó nhấp vào chúng theo thứ tự A, B, B, A. Kết quả là gì? ?; Không có gì thay đổi bởi vì B, B không có hiệu lực và A, A cũng không.

Bây giờ chúng ta hãy đảo ngược thứ tự của hai lần nhấp đầu tiên và nhấp vào chúng theo thứ tự B, A, B, A. Kết quả là gì? ?; Một lần nữa không có gì thay đổi. Thứ tự của hai lần nhấp đầu tiên không là vấn đề. Trường hợp tương tự cũng xảy ra nếu chúng ta nhấp vào hai nút mỗi lần hai lần theo bất kỳ thứ tự nào. Thứ tự của các lần nhấp không quan trọng.

Sau đây là một cách để giảm số lần nhấp chuột.

Đối với giải pháp này, người ta ghi lại số lần nhấp được thực hiện trên mỗi đèn. Sau đó, người ta đặt các số lần nhấp chẵn trên đèn thành 0 và các số lần nhấp lẻ thành 1. Dãy mới được tạo ra có tác dụng tương tự và cũng là một giải pháp.

Định nghĩaMột chuỗi nhấp chuột được rút gọn thành công nếu mỗi đèn chỉ được nhấp tối đa là một lần. Quá trình trên được gọi là quá trình rút gọn.

Một chuỗi chỉ có thể có số lần nhấp tối đa là bằng số đèn bởi vì trong một chuỗi rút gọn mỗi đèn được nhấp nhiều nhất là một lần. Vì vậy, trong một hình chữ nhật m X n, một dãy giảm có thể có nhiều nhất m X n số lần nhấp chuột.

Chúng ta hãy giả sử rằng bảng là một hình vuông và tình trạng BẬT hoặc TẮT ban đầu của đèn là tương ứng với một đường chéo của hình vuông. Sau đó, bằng một đối số đối xứng, các đèn được nhấp trong giải pháp cũng phải đối xứng với đường chéo đó. Điều này dẫn đến kết luận sau đây.

Nếu bất kỳ đèn nào trên đường chéo này TẮT thì đèn này cần được nhấp vào. Lý do: Nếu ta không nhấp vào nó và chỉ nhấp vào một đèn lân cận thì đèn lân cận khác đối xứng với đường chéo cũng sẽ được nhấp và sau đó đèn trên đường chéo sẽ được chuyển hai lần và ở trạng thái TẮT.

Bổ đề:

Nếu trên một lưới hình chữ nhật, tất cả các đèn đều BẬT và mỗi đèn đều được nhấp một lần thì sau đó các đèn ở góc sẽ TẮT (O), tất cả các đèn trên các cạnh đều BẬT (#) và tất cả các đèn còn lại đều TẮT ( O) như trong bảng 4 x 4 dưới đây:

            # # # #      O # # O
            # # # #      # O O #
            # # # #      # O O #
            # # # #      O # # O

            before       after

Dẫn chứng:

Trước tiên, bản thân mỗi đèn được nhấp và do đó được chuyển một lần. Mỗi đèn cũng chuyển đổi khi đèn xung quanh nó được nhấp vào.

Do đó, nếu số lượng đèn lân cận của một đèn là chẵn, thì đèn đó sẽ chuyển trạng thái thêm một số lần chẵn, như vậy tổng cộng số lần là lẻ. Do đó, nó sẽ vẫn ở trạng thái TẮT nếu ban đầu nó được BẬT.

Tương tự, nếu số ô vuông lân cận là số lẻ, thì đèn sẽ được chuyển trạng thái thêm một số lần lẻ nữa, như vậy tổng cộng số lần là chẵn. Do đó, nó sẽ vẫn BẬT nếu ban đầu được BẬT.

Bằng cách đếm số đèn lân cận của mỗi đèn, người ta đưa ra được phát biểu của bổ đề? □

Nếu mỗi đèn được nhấp một số lần chẵn thì việc rút gọn (đã giải thích trước đó) cho mỗi lần nhấp bằng không và không có gì ngạc nhiên khi tất cả các đèn đều BẬT. Nhưng có thực sự tồn tại một chuỗi rút gọn với các lần nhấp chuột bắt đầu và kết thúc với tất cả các đèn đều BẬT không?

Định nghĩa:

Một chuỗi rút gọn bao gồm ít nhất một lần nhấp được gọi là chu kỳ nếu tất cả các đèn có cùng trạng thái trước và sau thực hiện chuỗi đó.

Chúng ta sẽ tìm kiếm các chu kỳ bằng cách bắt đầu và kết thúc với tất cả các đèn BẬT. Một chu kỳ như vậy sau đó cũng sẽ giữ nguyên mọi trạng thái ban đầu khác không thay đổi, tức là nếu chúng ta bắt đầu với bảng có một số đèn BẬT và một số đèn TẮT, và chúng ta thực hiện chu kỳ này, các đèn đó vẫn sẽ giữ nguyên trạng thái BẬT và TẮT. Bạn có thể chứng minh điều đó không?

Một khả năng để tìm ra một chu kỳ là

• bắt đầu với tất cả các đèn BẬT
• có hai chuỗi rút gọn khác nhau mà cả hai đều có tất cả các đèn ở trạng thái TẮT
• nối cả hai chuỗi vào một chuỗi mà nếu bắt đầu bằng tất cả các đèn BẬT, sẽ kết thúc với tất cả các đèn cũng BẬT
• rút gọn chuỗi kết hợp đó để có được một chu kỳ. Chu kỳ rút gọn này chứa các lần nhấp chuột vì cả hai chuỗi kết hợp đều khác nhau, vì vậy phải có ít nhất một lượt nhấp chuột trong một chuỗi mà không có trong chuỗi ban đầu khác. Chuỗi kết hợp rút gọn sẽ có lượt nhấp chuột này.

Điều này có thể thực hiện được với những kích thước nào của bảng? Đối với một kích thước bảng cụ thể, người ta có thể trả lời câu hỏi này bằng cách lập một hệ phương trình đại số tuyến tính và khảo sát nó. Bạn có thể đọc thêm về điều đó trong các tài liệu tham khảo được cung cấp thêm bên dưới.

Chúng ta hãy bắt đầu với chuỗi rút gọn của việc nhấp vào mỗi đèn một lần và cho chúng ta kết quả là

            O # # O
            # O O #
            # O O #
            O # # O

Trạng thái này của bàn cờ là đối xứng với cả hai đường chéo. Chúng ta đã tìm hiểu trước đó rằng trong một bảng đối xứng như vậy, cần phải nhấp vào các đèn đang TẮT trên các đường chéo. Nếu chúng ta làm điều đó, kết quả nhận được là tất cả các đèn đều BẬT. Hãy tự mình kiểm chứng điều đó.

Hãy cùng nhau nhắc nhở lại bản thân: Ban đầu, chúng ta nhấp vào tất cả các đèn và sau đó nhấp lại vào các đèn trên cả hai đường chéo. Vì vậy, chúng ta đã nhấp vào đèn trên các đường chéo hai lần. Bằng cách rút gọn toàn bộ chuỗi này, tất cả các lần nhấp đúp vào đèn nằm trên đường chéo sẽ bị loại bỏ và chỉ các lần nhấp vào đèn # trong bảng trên sẽ được thực hiện. Nên là chúng ta bắt đầu và kết thúc với tất cả các đèn BẬT. Do đó, 8 lần nhấp vào đèn # trong bảng trên tạo thành một chu kỳ! HURRAY, chúng ta đã tìm thấy một chu kỳ!

Hãy thử phương pháp này và thuyết phục bản thân rằng việc nhấp vào 8 đèn được đánh dấu # ở trên không làm thay đổi đèn của bảng 4 X 4. Điều này dễ dàng nhận thấy nhất khi bắt đầu với tất cả các đèn đều BẬT.

Nếu một chu kỳ được khám phá ra thì điều này có thể được sử dụng để rút ngắn các chuỗi nhấp chuột hơn nữa.

Bổ đề:

Nếu một chu trình có c nhiều lần nhấp được biết và một chuỗi được đưa ra trong đó n lần nhấp thuộc chu trình, thì việc thay thế lần nhấp đã chọn bằng c - n lần nhấp không có trong chu trình sẽ cho một trình tự tương đương.

Dẫn chứng:

Dẫn chứng này mang tính xây dựng, tức là nó chỉ ra cách để xây dựng một chuỗi như vậy.

Nếu chúng ta nối chuỗi với chu kỳ thì chuỗi kết hợp mới sẽ tương đương vì chúng ta đã thêm một chu kỳ. Trong chuỗi kết hợp có n lượt nhấp chuột được thực hiện hai lần, một lần trong chuỗi ban đầu và một lần trong chu kỳ. Bằng cách rút gọn, tức là xóa những lần nhấp đúp này, chuỗi mới sẽ vẫn tương đương (vì việc rút gọn sẽ tạo ra các chuỗi tương đương) và bây giờ sẽ có, thay vì n lượt nhấp chuột ta có c - n nhấp chuột thuộc chu kỳ. ?□

Hệ quả:

Nếu c - n < n thì chuỗi mới ngắn hơn. Đây là trường hợp khi và chỉ khi n > c/2
Nói cách khác: Nếu một chuỗi có hơn nửa số lần nhấp chuột giống với một chu kỳ thì chuỗi có thể được rút ngắn bằng cách sử dụng chu kỳ.

Ví dụ:

Tạo (bằng bút chì trên giấy) một danh sách 13 đèn trên bảng 4 X 4, bắt đầu với tất cả các đèn BẬT và nhấp vào 13 đèn và vẽ ra kết quả. (Tại sao lại là 13 chứ không phải là 12? Chúng ta sẽ xem thêm bên dưới. :-)) Bây giờ, hãy kiểm tra xem lượt nhấp nào trong số 13 lượt nhấp chuột thuộc chu kỳ và tạo danh sách nhấp chuột mới (bằng bút chì trên giấy) trong đó các nhấp chuột chu kỳ này được thay thế bằng các lần nhấp khác trong chu kỳ. Bắt đầu lại với tất cả các đèn BẬT và thực hiện chuỗi nhấp chuột ngắn hơn này. Kết quả là gì? Bạn sẽ thấy rằng kết quả của chuỗi ngắn hơn này là như cũ.

Kết quả là gì?

Kết quả của chuỗi ngắn hơn này sẽ giống như trước.

Định lý:

Một chuỗi nhấp chuột trên bảng 4X 4 có thể giảm xuống tối đa 12 lần nhấp chuột.

Dẫn chứng:

Chúng ta đã khám phá ra rằng một chuỗi rút gọn trên bảng 4 X 4 chỉ có thể có 4 X 4=16 lần nhấp. Ta biết rằng một chu kỳ 8 lần nhấp chuột cho bảng 4X4. Do đó, một chuỗi có thể có nhiều nhất 16 - 8=8 lượt nhấp chuột không thuộc một chu kỳ. Ta cũng phát hiện ra rằng nếu một chuỗi có hơn một nửa số lần nhấp của một chu kỳ thì nó có thể được rút ngắn. Do đó, một chuỗi giảm và rút ngắn có thể có nhiều nhất là:
8 (số lần nhấp chuột không thuộc chu kỳ)
+ 8/2 (một nửa số lần nhấp chuột thuộc chu kỳ)
= 12 lần nhấp
trên một bảng 4 X 4. ?;□

Hệ quả:

Tất cả các vấn đề có thể xảy ra trên bảng 4 X 4 để BẬT tất cả các đèn đều có thể được giải quyết với nhiều nhất 12 lần nhấp chuột.

Làm rõ:

Định lý không cho biết có tồn tại một dãy số có độ dài 12 không thể rút gọn theo chu kỳ hay không. Có thể độ dài tối đa là 12, 10 hoặc 8. Định lý chỉ nói rằng nó không thể có nhiều hơn 12 lần nhấp.

Chúng ta cần nhấp vào tất cả các đèn không có trong chu kỳ, đó là tất cả 8 đèn trên đường chéo. Sau đó, chúng tôi chọn 4 đèn từ chu kỳ, ví dụ, đèn đầu tiên theo chiều kim đồng hồ ở mỗi bên. Đối với một câu đố như vậy với giải pháp 12 lần nhấp, chúng ta nhận được:

            © · © ©
            © © © ·
            · © © ©
            © © · ©

dẫn đến bảng

            # O O #
            O # # O
            O # # O
            # O O #

Không. Đã có 4 lần nhấp này

            · © · ·
            © · · ·
            · · · ©
            · · © ·

có cùng kết quả:

            # O O #
            O # # O
            O # # O
            # O O #

Nó có nghĩa là chúng ta có một chu kỳ mới là 12 + 4 = 16 lần nhấp chuột, HOORAY! 🥳 Nếu chúng tôi giảm nhấp đúp (© + © = ·), chu kỳ 12 nhấp chuột mới này vẫn:

            © · © ©       · © · ·       © © © ©
            © © © ·   +   © · · ·   =   · © © ·
            · © © ©       · · · ©       · © © ·
            © © · ©       · · © ·       © © © ©

Vui lòng xác minh rằng đây là một chu kỳ.

Tổng của hai chu kỳ phải là một chu kỳ, tức là nó không thay đổi bảng:

            © © © ©       · © © ·       © · · ©
            · © © ·   +   © · · ©   =   © © © ©
            · © © ·       © · · ©       © © © ©
            © © © ©       · © © ·       © · · ©

đưa ra 90° phiên bản xoay vòng của chu kỳ 12 lần nhấp, đây là chu kỳ thứ 3 mới của chúng tôi. Vui lòng xác minh rằng đây cũng là một chu kỳ.

Các trình tự

            © · © ©         · · © ·
            © · · ·   and   © © © ·
            · · · ©         · © © ©
            © © · ©         · © · ·

mỗi người có 8 lần nhấp.

Chúng có thể được rút ngắn với 3 chu kỳ không?

Mỗi chu kỳ trùng lặp với chu kỳ 8 nhấp chuột chính xác 4 nhấp chuột và trùng lặp với mỗi chu kỳ 12 nhấp chuột chính xác 6 nhấp chuột. Hãy xác minh 6 câu nói này. Chúng không trùng lặp với mỗi chu kỳ hơn một nửa số lần nhấp của chu kỳ. Vì vậy, các chuỗi này không thể được rút ngắn với 3 chu kỳ này, nhưng chỉ cần thêm một lần nhấp chuột vào chúng sẽ có thể rút ngắn chúng.

Chúng tôi đưa ra phỏng đoán chưa được chứng minh này:

Giả thuyết:

Độ dài tối đa của chuỗi lần nhấp chuột trên bảng 4x4 mà không thể rút ngắn theo chu kỳ là 8.

Bạn được hoan nghênh để chứng minh điều đó. Đầu tiên người ta phải chứng minh rằng không có chu trình độc lập nào khác.

Tương tự với bảng 4x4 chúng tôi

• bắt đầu với tất cả các đèn BẬT
• nhấp vào mỗi ánh sáng một lần và nhận được

                      O # # # O
                      # O O O #
                      # O O O #
                      # O O O #
                      O # # # O

• nhấp vào tất cả các đèn trên các đường chéo một lần, cũng chỉ nhấp vào đèn trung tâm một lần. Kết quả là tất cả các đèn đều BẬT.
• giảm trình tự bằng cách bỏ tất cả nhấp đúp vào các đường chéo để lại 25-9 = 16 nhấp chuột được hiển thị như © trong:

                      · © © © ·
                      © · © · ©
                      © © · © ©      (1)
                      © · © · ©
                      · © © © ·

• và ăn mừng, chúng tôi đã tìm thấy một chu kỳ, HOORAY!

Hãy dùng thử và tự thuyết phục rằng việc nhấp vào 16 đèn được đánh dấu © ở trên không làm thay đổi đèn của bảng 5 & lần; 5. Điều này dễ dàng nhận thấy nhất khi khởi động với tất cả các đèn BẬT.

Định lý:

Một chuỗi các lần nhấp trên bảng 5x5 không được có nhiều hơn 17 lần nhấp.

Bằng chứng:

Chúng tôi đã biết rằng một chuỗi giảm trên bảng 5x5 chỉ có thể có 5x5 = 25 lần nhấp. Chúng tôi biết chu kỳ 16 lần nhấp chuột cho bảng 5x5. Do đó, một trình tự có thể có nhiều nhất 25-16 = 9 lần nhấp không thuộc một chu kỳ. Chúng tôi cũng phát hiện ra rằng nếu một chuỗi có hơn một nửa số lần nhấp của một chu kỳ thì nó có thể được rút ngắn. Do đó, trình tự rút gọn và rút gọn có thể có tối đa:
9 (nhấp chuột không thuộc chu kỳ)
+ 16/2 (một nửa số lần nhấp của một chu kỳ)
= 17 lần nhấp
trên bảng 5x5.

Hệ quả:

Nếu một bảng 5x5 gặp vấn đề để BẬT tất cả các đèn có một giải pháp thì có một giải pháp với nhiều nhất 17 lần nhấp.

Làm rõ:

Có nghĩa là có chuỗi 17 lần nhấp chuột không thể được rút ngắn?

Trả lời:

Không. Cho đến nay chúng tôi không biết.

Bởi vì bảng có dạng hình chữ nhật, mẫu đèn BẬT / TẮT có thể đối xứng quay 90° hoặc 180° hoặc nó có thể có một chiếc gương đối xứng dọc theo một đường đối xứng ngang hoặc dọc. Nếu bảng là một hình vuông nó cũng có thể có một gương đối xứng dọc theo một đường chéo hoặc thậm chí cả hai đường chéo.

Trong ý tưởng sau đây là giải pháp bao gồm một số lần nhấp nhấp chuột có đối xứng đó và các nhấp chuột khác không có đối xứng đó.

Làm thế nào chúng ta có thể đạt được tiến bộ?

Chúng tôi cần nguồn cảm hứng và chúng tôi có được nó từ việc chơi trò chơi và nhấp vào đèn ngẫu nhiên cho đến khi chúng tôi nhận được một bảng trông lạ hoặc có sự đối xứng đẹp mắt. Và sau đó chúng tôi tự hỏi liệu chuỗi nhấp chuột cũng đặc biệt.

Chúng ta có thể gặp một bảng như thế này:

            O O O O O         
            # O # O #         
            O O # O O      (2)
            # O # O #         
            O O O O O

và đã quên làm thế nào chúng tôi đạt được nó. Điều này dễ dàng tìm ra bằng cách chọn 'BẬT Ghi chú Trợ giúp' và nhấp vào từng vị trí. Nếu con số hiển thị trong 'Ghi chú trợ giúp: Bạn có thể giành được nhiều nhất XX lần nhấp' bị hạ xuống, chúng tôi sẽ ghi chú lại vị trí và nếu không, chúng tôi nhấp lại vào nó. Chúng tôi tìm thấy giải pháp này trong đó © chỉ ra một cú nhấp chuột:

            · · · · ·
            © © © © ©
            · · © · ·      (3)
            · © · © ·
            © · © · ©

Bây giờ chúng ta sẽ thực sự ngạc nhiên và rất tò mò!

Tại sao?

Vì bảng (2) có phép đối xứng qua gương với đường ngang ở giữa là đường đối xứng nhưng nghiệm không có phép đối xứng đó. Trong toán học hiếm khi có bài toán đối xứng có nghiệm không đối xứng.

Gì bây giờ?

Chúng ta nên khảo sát điều này bằng cách trích xuất phần đối xứng và phần không đối xứng của (3).

Do đó, chúng ta viết (3) dưới dạng tổng của một phần đối xứng và một phần không đối xứng:

        · · · · ·     · · · · ·     · · · · ·
        © © © © ©     · © · © ·     © · © · ©
        · · © · ·  =  · · © · ·  +  · · · · ·
        · © · © ·     · © · © ·     · · · · ·
        © · © · ©     · · · · ·     © · © · ©

Giống như những người săn kho báu đang tìm kiếm đá quý, chúng ta trong toán học cũng đang tìm kiếm những đồ vật độc đáo. Sự phân hủy trên không phải là duy nhất. Có nhiều cách để viết phần không đối xứng dưới dạng tổng của một phần đối xứng và một phần không đối xứng khác.

Có một sự phân chia duy nhất?

Chúng ta có thể làm cho nó trở nên độc đáo bằng cách yêu cầu các nhấp chuột không đối xứng chỉ ở một phía của đường đối xứng.

Chúng tôi sử dụng   © + © = ·   và do đó viết ngay bây giờ

           · · · · ·     · · · · ·     · · · · ·     · · · · ·
           © © © © ©     · © · © ·     © · © · ©     · · · · ·
           · · © · ·  =  · · © · ·  +  · · · · ·  +  · · · · ·
           · © · © ·     · © · © ·     © · © · ©     © · © · ©
           © · © · ©     · · · · ·     · · · · ·     © · © · ©

           · · · · ·     · · · · ·
           © © © © ©     · · · · ·
        =  · · © · ·  +  · · · · ·
           © © © © ©     © · © · ©
           · · · · ·     © · © · ©

Biết rằng chúng ta đang làm một cái gì đó, bây giờ chúng ta muốn biết tất cả về nó.

Bởi vì bảng ban đầu là đối xứng và phần đối xứng phải làm một bảng đối xứng, do đó, dãy không đối xứng cũng phải làm một bảng đối xứng.

Nó là gì?

        · · · · ·                               O O O O O
        · · · · ·                               O O O O O
        · · · · ·   (4)   generates the board   # O # O #   (5)
        © · © · ©                               O O O O O
        © · © · ©                               O O O O O

Xin vui lòng kiểm tra xem nó!

Chúng ta sẽ thấy rằng có rất ít nghiệm không đối xứng tạo ra một bảng đối xứng và có tất cả các lần nhấp ở một bên của đường đối xứng.

Điều gì sẽ xảy ra nếu một người đi quanh bảng (5) và nhìn nó và giải pháp (4) từ phía bên kia?

Bảng trông giống nhau (vì nó có đối xứng 180°), nhưng giải pháp trở thành

                    © · © · ©
                    © · © · ©
                    · · · · ·      (6)
                    · · · · ·
                    · · · · ·

Vì vậy (6) là một dãy không đối xứng khác tạo ra cùng một bảng đối xứng (5). Đó là một tai nạn hay nói chung là như vậy?

Đây là một tuyên bố chung:

Nếu một vấn đề đối xứng (ở đây (5), có đối xứng 180°) được tạo ra bởi một chuỗi không đối xứng (ở đây (4)) thì việc thực hiện phép toán đối xứng (ở đây là phép quay 180°) trên chuỗi này sẽ tạo ra một chuỗi không đối xứng mới dãy đối xứng (ở đây (6)) tạo ra cùng một bảng (ở đây (5)).

Điều gì xảy ra khi một người thực hiện cả hai chuỗi không đối xứng?

Sau chuỗi thứ nhất (4), ba đèn được TẮT (trong bảng (5)) và sau chuỗi thứ hai (6), 3 đèn lại được bật, lúc này là BẬT. Điều đó có nghĩa là (4) + (6)

                    © · © · ©
                    © · © · ©
                    · · · · ·      (7)
                    © · © · ©
                    © · © · ©

là một chu kỳ 12 lần nhấp chuột! HOAN HÔ!! 🥳 Vui lòng xác minh điều đó bằng cách thực hiện 12 lần nhấp chuột này.

Người ta có thể sử dụng chu kỳ mới này để làm gì?

Giống như chu kỳ 16 nhấp chuột khác, điều này có thể được sử dụng để rút ngắn chuỗi nhấp chuột.

Người ta có thể rút ngắn chu kỳ 16 lần nhấp chuột bằng chu kỳ 12 lần nhấp chuột không? Kết quả phải là một chu kỳ vì chu kỳ + chu kỳ = chu kỳ.

Việc thực thi cả hai chu kỳ đều mang lại (vì © + © = · )

                    · © © © ·     © · © · ©     © © · © ©
                    © · © · ©     © · © · ©     · · · · ·
                    © © · © ©  +  · · · · ·  =  © © · © ©      (8)
                    © · © · ©     © · © · ©     · · · · ·
                    · © © © ·     © · © · ©     © © · © ©

mà phải là một chu kỳ và vâng, nó chỉ đơn giản là chu kỳ (7) được xoay 90°.

Chu kỳ 16 nháy có phải là tổng hai nghiệm không đối xứng của một bài toán đối xứng không?

Chúng tôi có 2 cách viết chu kỳ 16 lần nhấp chuột dưới dạng tổng:

                    · © © © ·     · · · · ·     · © © © ·
                    © · © · ©     © · · · ·     · · © · ©
                    © © · © ©  =  © © · · ·  +  · · · © ©      (9)
                    © · © · ©     © · © · ·     · · · · ©
                    · © © © ·     · © © © ·     · · · · ·


                    · © © © ·     · · · · ·     · © © © ·
                    © · © · ©     © · · · ©     · · © · ·
                    © © · © ©  =  © © · © ©  +  · · · · ·      (10)
                    © · © · ©     © · · · ©     · · © · ·
                    · © © © ·     · · · · ·     · © © © ·

Mỗi một trong hai dãy ở phía bên phải của (9) là một dãy không đối xứng dẫn đến bảng đối xứng

                    # O O O O
                    O O O O O
                    O O O O O      (11)
                    O O O O O
                    O O O O #

Mỗi một trong hai dãy ở phía bên phải của (10) là một dãy không đối xứng dẫn đến bảng đối xứng

                    # O O O #
                    O O O O O
                    O O O O O      (12)
                    O O O O O
                    # O O O #

Vậy, chu kỳ 16 nháy là tổng của hai nghiệm không đối xứng của một bài toán đối xứng, chẵn theo hai cách.

Nếu một người muốn giảm thiểu số lượng trình tự cần nhớ thì nó là đủ để nhớ

                    · · · · ·
                    © · · · ·
                    © © · · ·      (13) 
                    © · © · · 
                    · © © © · 

bởi vì dãy khác ở bên phải của (9) có tác dụng tương tự và các dãy ở bên phải của (10) chỉ là tổng của (13) và 90 & deg; phép quay của (13).

Làm thế nào để giúp giải quyết các bảng đối xứng?

Nếu đúng là 5 x lần; 5 bảng các trình tự (4), (13) và 90° xoay là chỉ các chuỗi không đối xứng mới tạo ra bảng đối xứng gương (ngoài các nhấp chuột đối xứng mang lại các chuỗi không đối xứng khác) sau đó để giải một bảng đối xứng gương người ta chỉ cần thực hiện di chuyển đối xứng cho đến khi tất cả các đèn BẬT hoặc cho đến khi một đèn đạt tới một trong các bảng (5) hoặc (11) (hoặc 90° xoay của chúng) và sau đó là một chỉ cần thực hiện các chuỗi (4) hoặc (13) (hoặc 90° xoay chúng).

Nói cách khác, để giải một bảng 5x5 đối xứng gương, người ta chỉ cần thử các kết hợp đối xứng của các nhấp chuột yêu cầu ít hơn các nhấp chuột đối xứng và do đó dẫn đến một cây tìm kiếm nhỏ hơn.

Chúng tôi không trả lời câu hỏi này, nhưng chúng tôi có hai gợi ý.

Giả thuyết:

Không có chu kỳ nào khác cho bảng 5 × 5 không phải là sự kết hợp của 3 chu kỳ với 12, 12 và 16 nhấp chuột.

Giả thuyết:

Độ dài tối đa của một chuỗi nhấp chuột rút gọn trên bảng 5 × 5 là 13.

Chúng tôi để bạn suy nghĩ về một bằng chứng hoặc một ví dụ phản chứng ở dạng một chu kỳ độc lập khác hoặc một chuỗi có nhiều hơn 13 nhấp chuột mà không thể được rút ngắn với 3 chu kỳ (7), (8) và (1) có 12, 12 và 16 lần nhấp. Giả thuyết đầu tiên có thể được kiểm tra bằng cách sử dụng đại số tuyến tính (xem thêm bên dưới), nhưng một chứng minh đơn giản hoặc một chu trình khác sẽ rất tốt nếu có. Ví dụ về trình tự có 13 lần nhấp chuột không thể giảm được với 3 chu kỳ là

            © · © · ©
            · © · © · 
            © · © · ©
            · © · © · 
            © · © · ©

Hãy vui vẻ trong (lại) tìm kiếm và chứng minh!

Với đèn h × w có 2 mẫu ^{h × w} của đèn BẬT / TẮT. Như chúng tôi đã tìm hiểu trước đây, cũng có thể có 2 ^{h × w} chuỗi nhấp chuột.

Nhưng có những trình tự dẫn đến cùng một mẫu bảng, cụ thể là bất kỳ trình tự nào và trình tự + chu kỳ này. Do đó, chúng ta có nhiều chuỗi hơn mẫu bảng có thể tiếp cận, vì vậy phải tồn tại mẫu bảng không thể tiếp cận.

Trong toán học có những từ chỉ những tình huống như vậy. Nếu mỗi chuỗi nhấp chuột sẽ dẫn đến một kiểu khác nhau, thì bản đồ của các chuỗi theo kiểu sẽ được gọi là bất thường . Nếu mỗi mẫu là kết quả của một số chuỗi nhấp chuột thì bản đồ của các chuỗi với mẫu sẽ được gọi là mặt ảnh hưởng . Do đó, bản đồ của chúng tôi về trình tự các lần nhấp vào mẫu là không gây tổn thương và không mang tính khách quan.

Thực hành chuẩn bị

Để chuẩn bị chơi trò chơi trong một cuộc thi, điều hữu ích là bắt đầu với một bảng có tất cả các đèn đều BẬT. Để có được bảng này, người ta giảm số 'Nhấp chuột ban đầu' và 'Đèn tím' xuống 0 và tăng kích thước của bảng. Sau đó, thực hiện 2 lần nhấp chuột vào hàng xóm trực tiếp hoặc hàng xóm đường chéo và ghi nhớ mẫu kết quả để bạn nhận ra chúng khi chúng xuất hiện trong một trò chơi. Thực hiện các thử như vậy ở góc, ở rìa và ở giữa như mẫu phụ thuộc vào vị trí nữa.

Một kiểu thực hành khác là lấy một bảng 5x5 với tất cả đèn BẬT và đèn nhấp nháy đối xứng với đường chéo hoặc đường giữa hoặc 90° hoặc 180° xoay vòng các phiên bản của nhau và xem bạn có thể chọn mẫu đối xứng nào lấy.

Trước tiên, người ta nên thử điều gì nếu có một nhóm nhỏ đèn gần đó đang TẮT?

Trong trường hợp này, các động thái ở trung tâm của các nhóm nhỏ như vậy nên được thử đầu tiên bởi vì các nhấp chuột vào rìa của các nhóm như vậy sẽ chỉ chuyển đổi TẮT nhiều đèn ở xa hơn và mở rộng nhóm đèn TẮT. Nếu không thành công, người ta phải nhấp vào nhiều đèn ở xa hơn và kết thúc phải thực hiện các cú nhấp chuột trên toàn bộ bảng.

Điều gì sẽ xảy ra nếu mô hình bảng có một đối xứng?

Ban đầu có thể là đối xứng gương đối với một hoặc cả hai đường chéo hoặc đối với đường ngang và / hoặc dọc của đối xứng. Các đối xứng khác có thể là 90 & deg; hoặc 180° đối xứng quay. Trong phần Cái mà vai trò của đối xứng trong trò chơi này? chúng tôi suy ra những điều sau đây chiến lược.

Một người thực hiện các nhóm nhấp chuột đối xứng để bảo vệ đối xứng cho đến khi tất cả các đèn BẬT hoặc khi có bảng kích thước 5x5 cho đến khi một trong những bảng sau:

                    O O O O O            # O O O O             # O O O #
                    O O O O O            O O O O O             O O O O O
                    # O # O #  (5) or    O O O O O  (11) or    O O O O O  (12)
                    O O O O O            O O O O O             O O O O O
                    O O O O O            O O O O #             # O O O #

(hoặc 90° xoay của chúng) và sau đó chỉ đơn giản là thực hiện các chuỗi:

                    · · · · ·            · · · · ·             · © © © ·
                    · · · · ·            © · · · ·             © · © · ©
                    · · · · ·  (4) resp  © © · · ·  (13) resp  © © · © ©  (1)
                    © · © · ©            © · © · ·             © · © · ©
                    © · © · ©            · © © © ·             · © © © ·

(tương ứng 90° quay của chúng).

Chơi đối xứng' có nghĩa là gì?

Nếu bất kỳ ánh sáng nào trên đường đối xứng là TẮT thì điều này bản thân ánh sáng cần được nhấp vào. Lý do: Nếu một người không nhấp vào nó và chỉ nhấp vào một đèn lân cận sau đó nhấp vào đèn lân cận khác ánh sáng đối xứng với đường đối xứng cũng nên được nhấp vào và sau đó ánh sáng trên đường đối xứng sẽ được chuyển đổi hai lần và ở trạng thái TẮT.

Vì lý do tương tự, nếu bất kỳ đèn nào trên đường chéo này BẬT thì ánh sáng này KHÔNG được nhấp vào.

Nếu vị trí đối xứng với hai đường đối xứng (2 đường chéo hoặc đường giữa ngang và dọc) thì các quy tắc trên áp dụng cho cả hai dòng . Bất kỳ đèn nào đang bật cần nhấp vào các dòng đang TẮT này và bất kỳ ánh sáng nào trên các dòng này đường chéo BẬT phải KHÔNG ĐƯỢC nhấp để tất cả các đèn BẬT và để có một nghiệm đối xứng.

Nếu bảng không đối xứng gương mà là đối xứng quay sau đó người ta tạo các nhóm nhấp chuột với cùng một đối xứng quay để bảo toàn sự đối xứng này.

Bất kể sự đối xứng là gì, khi bạn nhấp vào một ánh sáng thì hãy nhấp vào cả (các) ánh sáng liên quan đến đối xứng. Nói cách khác, nếu nó là 90 ° đối xứng (đối xứng quay 4 lần) sau đó nhấp vào 3 đèn còn lại là tốt, nếu đó là đối xứng 180 ° (đối xứng quay 2 lần) thì hãy nhấp vào cái kia cũng sáng. Nếu nó là một đối xứng gương thì hãy nhấp vào gương đối xứng ánh sáng là tốt. Nếu một ánh sáng là ánh sáng đối xứng của riêng nó sau đó nhấp vào nó một lần duy nhất. Các ví dụ về đèn được nhấp một lần là ánh sáng trung tâm dưới bất kỳ đối xứng nào hoặc ánh sáng trên một đường chéo dưới đối xứng gương chéo hoặc một ánh sáng trên một đường ngang hoặc dọc qua tâm nếu đường thẳng đó là đường đối xứng.

Nếu sau nhấp vào một đèn và tất cả các đèn đối xứng của nó thì tính đối xứng tăng lên (ví dụ: 2 đối xứng gương thay vì một đối xứng gương) sau đó sử dụng tăng tính đối xứng từ bây giờ.

Điều gì sẽ xảy ra nếu mô hình bảng không có đối xứng?

Nếu bảng không có sự đối xứng thì người ta có thể thử thực hiện các cú nhấp chuột chuyển nhiều đèn BẬT hơn TẮT. Sau đó, người ta có thể thực hiện các động thái mang lại TẮT các đèn gần nhau hơn. Sớm muộn gì một vị trí đối xứng kết quả và sau đó một tiếp tục với các nhấp chuột đối xứng.

Lịch sử của câu đố này và phác thảo của một giải pháp chung được đưa ra trên Wikipedia. Một mô tả toán học khác với nhiều tài liệu tham khảo hơn được đưa ra trên Wolfram MathWorld. Bạn có thể muốn kiểm tra xem những phát hiện của chúng tôi có trong các ấn phẩm này hay không.

Những câu hỏi này có thể được trả lời bằng cách xây dựng và khảo sát một hệ phương trình đại số tuyến tính. Có thể đọc thêm về điều đó trong các tài liệu tham khảo được đưa ra ở trên.

Đèn màu tím có khả năng thay đổi mọi thứ. Người ta phải kiểm tra từng câu lệnh ở trên xem nó có còn hợp lệ khi có ánh sáng màu tím hay không hoặc làm thế nào để sửa đổi các câu lệnh để giữ cho chúng đúng. Đại số tuyến tính sẽ đủ linh hoạt và tổng quát để phủ các bảng bằng đèn màu tím.