300000
English | Français | فارسی | 中文 | Українська | Azerbaijani | ខ្មែរ | Tiếng Việt | Bahasa Melayu | DeutschƏgər siz yalnız Lights müsabiqə problemlərinin həllində maraqlısınızsa, onda aşağıdakı oyun oynamaq üçün Hints irəli atın.
Başlamamışdan əvvəl bəzi riyaziyyat terminlərini təqdim edək.
Riyaziyyat dili
Biz bu fürsətdən istifadə edərək riyaziyyat formalizmi tətbiq edirik və bəyanatları qrup edəcəyik
- Hipotez (növbəti araşdırma üçün başlanğıc nöqtəsi kimi təklif olunan bəyanat)
- Tərif (söz və ya ifadənin mənasını izah etmək)
- Teorem (cəsarətli bəyanat)
- Lemma (minor statement)
- Sübut (teoremin və ya lemmanın düzgün olduğunu heç bir şübhə doğurmadan göstərən ifadələr.) □ simvolu sübutun sonunu göstərəcək.)
- Korollary (birbaşa teorem və ya lemmadan sonra gələn ifadə)
Bir mövzunu araşdırmağın yaxşı yolu özünüzə sadə suallar vermək və cavab verməyə çalışmaqdır. Biz indi bunu edəcəyik. Bu səhifəyə araşdırma aparmaq üçün kitabça kimi baxa bilərsiniz. Xüsusilə də simmetriyaları araşdıran bölmə. Yol boyu oyunu necə oynayacağımıza dair işarələr tapacağıq.
Hansı qaydada kliklərin düzəldildiyi vacibdirmi?
Xeyr. İşığın statusu yalnız işığın özündə və qonşu işıqlarda düzəldilmiş kliklərin sayından asılıdır. Bu, kliklərin sırasına aid deyil. Əgər işıqda və qonşularında kliklərin ümumi sayı hətta olsa, onda işıq öz statusunu dəyişmir. Əgər rəqəm qəribədirsə, onda vəziyyət dəyişir, kliklərin nizam-intizamı ilə müstəqil.
Nümunə:İki fərqli qonşu işıq seçin, deyin, A və B. Sonra A, B, B, A sıra ilə onlara basın. Bunun nəticəsi nə olacaq? ↠ Heç bir şey dəyişib, çünki B, B heç bir təsiri yoxdur və A, A da heç bir təsiri yoxdur.
İndi isə ilk iki kliklərin sıralarını geri qaytaraq və B, A, B, A sıralarına klik edək. Bunun nəticəsi nə olacaq? ↠ Yenə heç nə dəyişməyib. İlk iki klikin sifarişinin heç bir əhəmiyyəti yox idi. Hər biri iki düyməni istənilən qaydada iki dəfə bassaq, eyni vəziyyətdir. Kliklərin sifarişinin əhəmiyyəti yoxdur.
Əgər kliklərin sırası heç bir əhəmiyyət kəsb etmirsə, onda necə uzun ardıcıllığın klik sayını azaltmaq olar?
Kliklərin sayını aşağı salmağın üsullarından biri aşağıdakılardır.
Tapmacanı həll edərkən, hər işıq üçün bir qeyd bu işıqda edilən kliklərin sayını qeyd edir. Bundan sonra, bir işıq üzərində hər bir hətta bir neçə klik sayını sıfıra, hər bir qəribə ədəd isə 1-ə təyin edir. Yeni ardıcıllıq eyni effektə malikdir və eyni zamanda həll yoludur.
Tərif:Hər bir işıq ən çox bir dəfə basılırsa, kliklərin ardıcıllığı azaldılır. Yuxarıda göstərilən proses azalma adlanır.
Klirinqlərin azalmış ardıcıllığının uzunluğu üçün yuxarı zolaq hansıdır?
- Bir ardıcıllıq yalnız işıqların olduğu qədər klik edə bilər, çünki azaldılmış ardıcıllıqda hər işıq ən çox bir dəfə basılır. Beləliklə, əgər board hündürlüyü h və eni w varsa, onda h×w işıqları var və azaldılmış ardıcıllıq ən çox h×w çox klik edə bilər.
Əgər hərəkətlərin sırası heç bir əhəmiyyət kəsb etmirsə, necə həll üçün tam axtarış (brute force search) həyata keçirmək olar? Yəni bütün işıqları söndürən bir ardıcıllıq ON!
Kliklərin sırası önəmli olmadığı üçün hər bir işıq üçün onun həlldə klik edilib-edilmədiyini bilmək kifayətdir. Buna görə də bütün işıqların bütün kombinasiyalarını basmağa çalışmaq üçün tam bir brute qüvvə axtarışı kifayət edərdi.
Əgər lövhədə h×w işıqları varsa, onda onların 2h×w kombinasiyaları var (hər işığın 2 variantı həmin kombinasiyada klik edilib-edilməməsi). Bu cür müdtədat qüvvə axtarışı çox uzun çəkəcəkdi. Bununla belə, əgər 'Help Notes' (müsabiqələrdə mövcud deyil) keçərsə, o zaman sadəcə olaraq bütün işıqları bir-bir basa və bu klikin sizi həllə yaxınlaşdırıb-gətirmədiyini yoxlaya bilərsiniz. Əgər bəlidirsə, onda buraxın, başqa bir də klikləyin.
Aşağıdakı suallar kliklərin ardıcıllığını daha da qısaltmağa yol açacaq.
Əgər bütün işıqlar YANIBsa və hər işıq dəqiq bir dəfə basılırsa, nəticə nədir?
-
Lemma:
Əgər düzbucaqlı şəbəkədə bütün işıqlar ON olur və hər bir işıq bir dəfə basılırsa, sonra künc işıqları OFF (O), kənardakı bütün digər işıqlar ON (#) və qalan bütün işıqlar bu 4 x 4 lövhədə göstərildiyi kimi OFF (O) olur:
# # # # O # # O
# # # # # O O #
# # # # # O O #
# # # # O # # O
before after
Sübut:
Başlanğıc üçün hər işığın özü kliklənir və buna görə də bir dəfə keçir. Hər işıq qonşusuna basdıqda da keçir.
Buna görə də, əgər qonşu işıqların sayı hətta olsa, o zaman işıq hətta dəfələrlə əlavə olaraq da keçər. Beləliklə, ümumilikdə qəribə sayda. Buna görə də əvvəlcə ON olarsa, yenə də OFF olacaq.
Eynilə, qonşu işıqların sayı qəribədirsə, o zaman işıq əlavə bir qəribə ədəd dəfə keçər, buna görə də ümumilikdə hətta bir neçə dəfə. Buna görə də əvvəlcə ON olarsa, yenə də ON olacaq.
Hər işığın qonşularının sayını saymaqla lemmanın ifadəsini alır. □
Başlanğıcda və ardıcıllığın sonunda bütün işıqların yandığı kliklərin azaldılmış ardıcıllığı varmı? Biz belə ardıcıllıq dövrü adlandıracağıq.
- bütün işıqları ilə başlamaq ON
- iki müxtəlif azaldılmış ardıcıllığı var ki, hər ikisi eyni işıqları söndürÜR. Məsələn, bütün işıqları söndürÜN OFF
- hər iki ardıcıllığı bir ardıcıllığa birləşdirın ki, əgər bütün işıqlar ON ilə başlasa, bütün işıqlar ON ilə bitəcək
- dövranı əldə etmək üçün bu birləşmiş ardıcıllığı azaldın. Bu kiçildilmiş dövrədə kliklər olur, çünki hər iki birləşmiş ardıcıllıq fərqli idi, buna görə də bir ardıcıllıqda ən azı bir klik olmalıdır ki, bu da digər orijinal ardıcıllıqda yoxdur. Azalmış birləşmiş ardıcıllıq bu klik olacaq.
Əgər hər işıq hətta bir neçə dəfə basılırsa, onda azaltma (daha əvvəl izah olunur) hər işığın sıfır kliklərini verir və sonra bütün işıqların yanmalarına təəccüb etmir. Bəs bütün işıqlarla başlayan və bitən kliklərlə azalmış ardıcıllıq varmı?
Tərif:Bütün işıqlar bu ardıcıllığa qədər və sonra eyni statusa malikdirlərsə, ən azı bir klik daxil olan azalmış ardıcıllıq dövra adlanır.
Bütün işıqlardan başlayaraq və bütün işıqlarla sona çatmaqla dövrələr axtaracağıq. Bu zaman belə bir dövr digər hər bir ilkin vəziyyəti də dəyişməz qoyardı, yəni bəzi işıqlar on və bəzi OFF ilə board ilə başlamaq və biz bu dövrü icra, həmin işıqlar ON və OFF olacaq. Bunun səbəbini başa düşə bilərsinizmi?
Bir dövrlük tapmaq üçün bir imkan
Bu, hansı ölçülü lövhələr üçün mümkündür? Konkret lövhə ölçüsü üçün bu suala tənliklərin xətti cəbri sistemini tərtib edib araşdırmaqla cavab vermək olar. Bu haqda daha ətraflı aşağıda gətirilən istinadlarda oxumaq olar.
4×4 lövhə üçün dövrü necə tapa bilərik?
-
Gəlin bütün işıqlarla başlayaq ON (#) və hər bir işığı dəqiq bir dəfə basın. Bilirik,
O # # O
# O O #
# O O #
O # # O
alırıq, çünki biz bir dövra axtarırıq, yəni bütün işıqlarla başlamaq və sona çatmaq ON çalışırıq və off olan bütün işıqları basın (O kimi göstərilir) bir dəfə onlara yalnız basın deyil, həm də bütün digər işıqları da ON qoyur. Xahiş edirik, özünüz yoxlayın.
Özümüzə xatırlatmaq üçün: Əvvəlcə bütün işıqları basdıq, sonra isə hər iki diaqonalda yenidən işıqları basdıq. Buna görə də işıqları diaqonalların üzərinə iki dəfə basdıq. Bütün bu ardıcıllığı azaltmaqla diaqonal işıqlar üzərində bütün ikiqat kliklər atılar və yalnız yuxarıdakı lövhədəki # işıqlara kliklər qalardı. Beləliklə, biz bütün işıqları söndürməyə başladıq və bütün işıqlar yanaraq sona çatdı. Buna görə də yuxarıdakı lövhədə # üzərinə 8 klik bir dövrə əmələ gətirir! HOORAY, biz bir dövranı tapdıq! 🥳
Zəhmət olmasa, cəhd edin və özünüzü inandırın ki, yuxarıda # işarəsi olan 8 işıqforun üzərinə basmaq 4×4 lövhənin işığını dəyişmir. Bu, bütün işıqlardan başlayarkən ən asan görünür.
Kliklərin ardıcıllığını daha da qısaltmaq üçün bir dövrədən necə istifadə etmək olar?
Əgər bir dövrə məlumdursa, onda bu, daha çox kliklərin ardıcıllığını qısaltmaq üçün istifadə oluna bilər.
Lemma:Əgər c bir çox klik ilə bir dövrə məlumdursa və hansı n kliklərin dövrəyə aid olduğu bir ardıcıllıq verilirsə, o zaman bu n kliklərin dövrədə olmayan c−n klikləri ilə əvəz edilməsi ekvivalent ardıcıllıq verir.
Sübut:Bu sübut konstruktivdir, yəni bu cür ardıcıllığın necə tikilmək lazım olduğunu göstərir.
Əgər biz ardıcıllığı dövrə ilə əlavə etsək, onda yeni birləşmiş ardıcıllıq ekvivalent olardı, çünki biz tsikl əlavə etdik. Kombinə olunmuş ardıcıllıq n kliklərində iki dəfə, ilkin ardıcıllıqda bir dəfə, tsikldə isə bir dəfə yerinə yetirilir. Azaltmaqla, yəni bu ikiqat klikləri silməklə, yeni ardıcıllıq yenə də ekvivalent olardı (çünki azalma ekvivalent ardıcıllıqlar yaradır) və indi, n klik əvəzinə, dövrəyə aid c−n klikləri olacaqdı. □
Korollar:Əgər c−n < n olarsa, onda yeni ardıcıllıq daha qısa olur. Bu halda və yalnız n > c/2 olarsa. Sözlə: Əgər bir ardıcıllıq bir dövrənin kliklərinin yarısından çoxunu ehtiva edirsə, onda ardıcıllığı dövrəni əlavə edərək və ikiqat klikləri silməklə qısaltmaq olar.
Nümunə:4×4 lövhədə 13 işıqforun siyahısını (kağız üzərində qələmlə) düzəldin. Bütün işıqlarla başlayın VƏ 13 işıqları basın və nəticənin şəklini çəkin. (Niyə 13 deyil, 12 de? Aşağıda daha ətraflı məlumat veriləcək. :-) ) İndi isə 13 klikdən hansının dövrəyə aid olduğunu yoxlayın və yeni bir klik siyahısı hazırlayın (kağız üzərində karandaşla) burada bu dövrə klikləri dövrədəki digər kliklərlə əvəz olunur. Bütün işıqlar ON ilə yenidən başlayın və bu qısa ardıcıllıq basın yerinə yetirin.
Bunun nəticəsi nə olacaq?
Bu qısa ardıcıllığın nəticəsi əvvəlki kimi olmalıdır.
4×4 lövhədə qısaldılmış ardıcıllıq uzunluğuna görə yuxarı zolaq hansıdır?
-
Teorem:
4×4 lövhədə kliklərin ardıcıllığını maksimum 12 klik endirmək olar.
Sübut:Öyrəndik ki, 4×4 lövhədə azalmış ardıcıllıq yalnız 4×4=16 klik ola bilər. 4×4 lövhəsi üçün 8 klik dövrə bilirik. Buna görə də ardıcıllıq ən çox 16−8=8 kliklərə malik ola bilər ki, bu da tsiklə aid deyil. Həmçinin məlum oldu ki, əgər bir ardıcıllığın tsiklin kliklərinin yarısından çoxu varsa, onda onu qısaltmaq olar. Buna görə də azalmış və qısaldılmış ardıcıllıq ən çox ola bilər:
8 (dövrəyə
aid olmayan klik)
+ 8/2 (dövrədən kliklərin yarısı)
= 12 klik
4×4 lövhəsində. □
Bütün mümkün 4×4 board problemləri bütün işıqları söndürmək ON ən çox 12 klik ilə həll edilə bilər.
Açıqlama:Teoremdə 12 uzunluq ardıcıllığının olub-olmadığı deyilmir ki, bu da tsikllərlə qısaldıla bilməz. Bəlkə də maksimal uzunluq 12, 10 və ya 8-dir. Teorem yalnız deyir ki, 12 klikdən çox ola bilməz.
Yuxarıdakı nəticələrdən sonra bütün işıqları söndürmək üçün ən çox klik edən 4×4 probleminə nümunə nə ola bilər?
Dövrədə olmayan bütün işıqları basırıq, buna görə də diaqonallarda bütün 8 işıq. Sonra dövrədən 4 işıq seçirik. Məsələn, hər tərəfdə bir işıq saat əqrəbi istiqamətində. © Bir klik göstərməklə biz bu 12 klik etdik:
© · © ©
© © © ·
· © © ©
© © · ©
nəticədə lövhə
# O O #
O # # O
O # # O
# O O #
Bu 12-klik ardıcıllıq indi maksimal uzunluqda qısala bilməz?
Xeyr. Artıq bu 4 klik
· © · ·
© · · ·
· · · ©
· · © · eyni nəticə göstərir:
# O O #
O # # O
O # # O
# O O #
O nə deməkdir?
12+4=16 klik yeni dövrəmiz var deməkdir, HOORAY! 🥳 Əgər ikiqat klikləri ( © + © = · ) atsaq, 12 klikdən ibarət bu yeni dövran qalır:
© · © © · © · · © © © ©
© © © · + © · · · = · © © ·
· © © © · · · © · © © ·
© © · © · · © · © © © ©
Zəhmət olmasa, bunun dövriyyə olduğunu yoxlayın.
12-klik dövrü və 8-klik dövrəsini əlavə edib bunu qısaltdıqda nə çıxır?
İki dövrənin cəmi bir tsikl olmalıdır, yəni lövhəni dəyişmir:
© © © © · © © · © · · ©
· © © · + © · · © = © © © ©
· © © · © · · © © © © ©
© © © © · © © · © · · ©
12-klik dövrənin 90° dönən versiyasını verir. Bu bizim yeni 3-cü dövrəmizdir. Zəhmət olmasa, bunun da dövriyyə olduğunu yoxlayın.
4×4 lövhədə kliklərin ardıcıllığının maksimal uzunluğu üçün bu nə deməkdir?
© · © © · · © ·
© · · · and © © © ·
· · · © · © © ©
© © · © · © · ·
ardıcıllığının hər birinin 8 klik var.
3 dövrə ilə onları qısaltmaq olarmı?
Hər biri 8-klik dövrü ilə tam 4 klik və hər 12-klik dövrə ilə tam 6 klik ilə üst-üstə gəlir. Xahiş edirik bu 6 ifadəni yoxlayın. Onlar dövrənin kliklərinin yarısından çoxu ilə hər bir dövrlə üst-üstə düşməzlər. Beləliklə, bu 3 dövrə ilə bu ardıcıllıqları qısaltmaq mümkün deyil, ancaq onlara yalnız bir klik əlavə etmək onları qısaltmaq imkanı yaradardı.
Biz onu (küfrü, az bir-birə) bəyan etdik.
Hipotez:4×4 lövhə üzərində dövrə ilə qısaldılmış ola bilməyən kliklərin ardıcıllığının maksimal uzunluğu 8-dir.
Siz bunu sübut etməyə razısınız. İlk növbədə göstərmək lazımdır ki, başqa müstəqil dövralar yoxdur.
Aşağıda 5×5 lövhəyə baxacağıq və daha çox simmetriyaları araşdıracağıq.
Bəs 5×5 lövhə necə? Bu lövhəyə velosiped tapmaq olarmı?
- bütün işıqları ilə başlamaq ON
- hər işığı bir dəfə basın və alın
O # # # O # O O O # # O O O # # O O O # O # # # O - bir dəfə diaqonallar üzərində bütün işıqları basın, həmçinin mərkəzi işıq cəmi bir dəfə. Nəticədə bütün işıqforlar yanmış olur.
- diaqonalların üzərində bütün ikiqat klikləri ataraq ardıcıllığı azaldın. 25−9=16 kliklərində göstərildiyi kimi ©:
· © © © · © · © · © © © · © © (1) © · © · © · © © © · - və qeyd edin, biz bir dövranı tapdıq, HOORAY! 🥳
Biz 4×4 lövhəyə bənzər
Zəhmət olmasa, sınayın və özünüzü inandırın ki, yuxarıda işarələnmiş © 16 işıqforun üzərinə basmaq 5×5 lövhənin işığını dəyişmir. Bu, bütün işıqlardan başlayarkən ən asan görünür.
5×5 lövhədə qısaldılmış ardıcıllıq uzunluğuna görə yuxarı zolaq hansıdır?
-
Teorem:
5×5 lövhədə bir sıra kliklərin sayı 17-dən çox ola bilməz.
Sübut:Öyrəndik ki, 5×5 lövhədə azalmış ardıcıllıq yalnız 5×5=25 klik ola bilər. 5×5 lövhə üçün 16 kliklik bir dövrə bilirik. Buna görə də ardıcıllıq ən çox 25−16=9 klik ola bilər ki, bu da tsiklə aid deyil. Həmçinin məlum oldu ki, əgər bir ardıcıllığın tsiklin kliklərinin yarısından çoxu varsa, onda onu qısaltmaq olar. Buna görə də azalmış və qısaldılmış ardıcıllıq ən çox ola bilər:
9 (dövrəyə aid olmayan kliklərə)
+ 16/2 (bir dövrənin kliklərinin yarısı)
= 17 klik
5×5 lövhədə. □
Əgər bütün işıqları söndürmək üçün 5×5 lövhə problemləri ON həll var onda ən çox 17 klik ilə həll var.
Açıqlama:Bu o deməkdirmi ki, 17 klikdən ibarət ardıcıllıqlar var ki, onu qısaltmaq mümkün deyil?
Cavab:Xeyr. Hələlik bilmirik.
Bu oyunda simmetriya hansı rolu oynayır?
Lövhə düzbucaqlı formada olduğundan, ON/OFF olan işıqforların quruluşu 90° və ya 180° fırlanan simmetrik ola bilər və ya üfüqi və ya şaquli simmetriya xətti boyunca güzgü simmetriyası ola bilər. Əgər lövhə kvadratdırsa, onda diaqonal boyunca və hətta hər iki diaqonal boyunca güzgü simmetriyası da ola bilər.
Aşağıdakı fikrə görə, həll bir sıra kliklərdən ibarətdir ki, bu da həmin simmetriyaya və həmin simmetriyaya malik olmayan digər kliklərə malik olur.
İnkişaf etmək üçün nə edə bilərik?
Biz ilham lazımdır və biz oyun oynamaq və təsadüfi işıqları basın ki, qəribə görünən və ya gözəl simmetriyası olan board əldə edək. Sonra isə kliklərin ardıcıllığının da xüsusi olub-olmadığını düşünürük.
Biz belə bir lövhəyə rast gələ bilərik:
O O O O O
# O # O #
O O # O O (2)
# O # O #
O O O O O
və ona necə çatdığımızı unutmuşuq. Bunu asanlıqla 'Help Notes ON' seçib hər bir vəzifəni basmaqla öyrənmək olar. 'Help Notes: You can win in most XX clicks' şəklində göstərilən nömrə aşağı endirildisə, mövqeyi qeyd edirik. Əgər yoxdursa, yenə klik edirik. Bir klik işarə edən bu © həlli tapırıq:
· · · · ·
© © © © ©
· · © · · (3)
· © · © ·
© · © · ©
İndi biz həqiqətən də təəccüblənməli və çox maraqlanmalıyıq!
Nəyə görə?
Çünki lövhədə (2) simmetriya xətti kimi orta horizontal xətti olan güzgü simmetriyası olsa da, həlldə bu simmetriya yoxdur. Çox nadir hallarda riyaziyyatda simmetrik problemin qeyri-simmetrik həlli olur.
Bu dəfə nə oldu?
Bunu simmetrik hissəni və (3) qeyri-simmetrik hissəsini çıxarmaqla araşdırmalıyıq.
Buna görə də (3) simmetrik və qeyri-simmetrik hissənin cəmi kimi yazırıq:
· · · · · · · · · · · · · · ·
© © © © © · © · © · © · © · ©
· · © · · = · · © · · + · · · · ·
· © · © · · © · © · · · · · ·
© · © · © · · · · · © · © · ©
Xəzinə ovçuları daş-qaş axtardığı kimi, biz də riyaziyyatda unikal əşyalar axtarırıq. Yuxarıdakı çürümə unikal deyil. Qeyri-simmetrik hissəni simmetrik və digər qeyri-simmetrik hissənin cəmi kimi yazmaq üçün bir çox üsullar mövcuddur.
Unikal bölünmə varmı?
Simmetrik olmayan kliklərin simmetriya xəttinin yalnız bir tərəfində olmasını tələb etməklə onu unikal edə bilərik.
Biz + = · istifadə © © edirik və buna görə də indi yazın
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
© © © © © · © · © · © · © · © · · · · ·
· · © · · = · · © · · + · · · · · + · · · · ·
· © · © · · © · © · © · © · © © · © · ©
© · © · © · · · · · · · · · · © · © · ©
· · · · · · · · · ·
© © © © © · · · · ·
= · · © · · + · · · · ·
© © © © © © · © · ©
· · · · · © · © · ©
İndi biz nəyəsə hazır olduğumuzu bilərək, bu haqda hər şeyi bilmək istəyirik.
Orijinal lövhə simmetrik olduğundan və simmetrik hissə simmetrik lövhə düzəltməlidir, buna görə də qeyri-simmetrik ardıcıllıq da simmetrik lövhə düzəltməlidir.
Bu nədir?
· · · · · O O O O O
· · · · · O O O O O
· · · · · (4) generates the board # O # O # (5)
© · © · © O O O O O
© · © · © O O O O O
Zəhmət olmasa yoxlayın!
Biz görəcəyik ki, simmetrik lövhə yaradan və simmetriya xəttinin bir tərəfində bütün kliklərə malik olan qeyri-simmetrik həllər çox azdır.
Bəs əgər biri lövhənin (5) ətrafında gəzərək ona və digər tərəfdən həll (4) baxarsa, onda necə?
Lövhə eyni görünür (çünki onun 180° simmetriyası var), lakin həll
© · © · ©
© · © · ©
· · · · · (6)
· · · · ·
· · · · ·
Beləliklə (6) eyni simmetrik lövhəni əmələ gətirən digər qeyri-simmetrik ardıcıllıqdır (5). Bu, qəzadır, yoxsa ümumiyyətlə belədir?
Bu ümumi bəyanatdır:
Əgər simmetrik bir problem (burada (5), qeyri-simmetrik ardıcıllıq (burada (4)) tərəfindən istehsal olunan 180° simmetriyaya malik olduqda, onda bu ardıcıllıq üzərində simmetriya əməliyyatını (burada 180 ° fırlanma) yerinə yetirməklə yeni qeyri-simmetrik ardıcıllıq yaranır (burada (6)) ki, bu da eyni lövhəni yaradır (burada (5)).
Biri hər iki qeyri-simmetrik ardıcıllığı icra etdikdə nə baş verir?
Birinci ardıcıllıq (4) sonra üç işıq off (lövhədə (5)) və ikinci ardıcıllıq (6) sonra 3 işıq yenidən söndürür, indi ON. Bu o deməkdir ki, (4) + (6)
© · © · ©
© · © · ©
· · · · · (7)
© · © · ©
© · © · ©
12-klik dövrədir! HOORAY!! 🥳 Zəhmət olmasa, bu 12 klik etməklə bunu yoxlayın.
Bu yeni dövradan nə üçün istifadə etmək olar?
Digər 16-klik dövrü kimi, bu da kliklərin ardıcıllığını qısaltmaq üçün istifadə oluna bilər.
12-klik dövrü ilə 16-klik dövrəni qısaltmaq olarmı? Nəticə bir dövr olmalıdır, çünki dövr + dövr etmə = dövr etmə.
Hər iki dövrün yerinə yetirilməsi ( © + © = · ) səbəbiylə bir dövr olmalıdır
· © © © · © · © · © © © · © ©
© · © · © © · © · © · · · · ·
© © · © © + · · · · · = © © · © © (8)
© · © · © © · © · © · · · · ·
· © © © · © · © · © © © · © ©
verir və bəli, o, sadəcə olaraq 90° fırlanan dövrdür (7).
16-klik dövrü də simmetrik problemin iki qeyri-simmetrik həllinin cəmidirmi?
16-klik siklini sum olaraq yazmağın 2 üsulumuz var:
· © © © · · · · · · · © © © ·
© · © · © © · · · · · · © · ©
© © · © © = © © · · · + · · · © © (9)
© · © · © © · © · · · · · · ©
· © © © · · © © © · · · · · ·
· © © © · · · · · · · © © © ·
© · © · © © · · · © · · © · ·
© © · © © = © © · © © + · · · · · (10)
© · © · © © · · · © · · © · ·
· © © © · · · · · · · © © © ·
(9) sağ tərəfində yerləşən iki ardıcılın hər biri simmetrik lövhənin nəticəsi olan qeyri-simmetrik ardıcıllıqdır
# O O O O
O O O O O
O O O O O (11)
O O O O O
O O O O #
Sağ tərəfdəki iki ardıcılın hər biri (10) qeyri-simmetrik ardıcıllıqdır. Nəticədə simmetrik lövhə
# O O O #
O O O O O
O O O O O (12)
O O O O O
# O O O #
Beləliklə, 16-klik dövrü simmetrik problemin iki qeyri-simmetrik həllinin cəmidir, hətta iki yolla.
Əgər biri yadda saxlamaq üçün ardıcıllığın sayını minimuma endirmək istəyirsə, onda
· · · · ·
© · · · ·
© © · · · (13)
© · © · ·
· © © © ·
yadda saxlamaq kifayətdir, çünki (9) sağındakı digər ardıcıllıq eyni təsirə malikdir və (10) sağdakı ardıcıllıqlar sadəcə (13) və 90° fırlanma (13) cəmidir.
Bu, simmetrik lövhələrin həllinə necə kömək edir?
Əgər doğrudursa ki, 5×5 lövhə üçün ardıcıllıqlar (4), (13) və onların 90° fırlanması güzgü simmetrik lövhə əmələ gətirən yeganə qeyri-simmetrik ardıcıllıqlardır (digər qeyri-simmetrik ardıcıllıqları hasil olan simmetrik kliklərdən savayı) sonra güzgü simmetrik lövhəni həll etmək üçün yalnız bir şey yalnız bütün işıqlar yanmayana qədər simmetrik hərəkətləri yerinə yetirmək lazımdır, və ya lövhələrdən birinə çatana qədər (5) və ya (11) (və ya onların 90° fırlanması) və sonra sadəcə olaraq ardıcıllıq (4) və ya (13) (və ya 90° fırlanma) icra edilir.
Başqa sözlə, güzgü simmetrik 5x5 lövhəsini həll etmək üçün yalnız bir nəfər daha az belə simmetrik klik tələb edən və bununla da daha kiçik axtarış ağacı ilə nəticələnən kliklərin simmetrik kombinasiyalarını sınaqdan keçirmək lazımdır.
5×5 lövhədə qısaldılmış klik ardıcıllığının maksimal uzunluğu nə qədər olur?
Biz bu suala cavab vermirik, lakin iki təklifimiz var.
Hipotez:12, 12 və 16 kliklərlə 3 dövrənin birləşməsi olmayan 5×5 lövhə üçün başqa dövrələr yoxdur.
Hipotez:5×5 lövhədə qısaldılmış klik ardıcıllığının maksimal uzunluğu 13-dür.
Biz sizə 3 dövrə (7), (8) və (1) 12, 12 və 16 kliklərlə qısaltmaya bilməyən 13 klikdən çox olan başqa bir müstəqil dövrə və ya ardıcıllıq şəklində sübut və ya əks-kəşfiyyat haqqında düşünmək üçün onu sizə buraxırıq. Birinci hipotez xətti algebra istifadə edərək yoxlanıla bilər (daha aşağıda baxın), lakin sadə sübut və ya fərqli bir dövr etmək yaxşı olardı. 3 dövrə ilə azaldıla bilməyən 13 klik ilə ardıcıllığın nümunəsi
© · © · ©
· © · © ·
© · © · ©
· © · © ·
© · © · ©
Axtarış və sübutlarda əylənin!
Lövhədəki ON/OFF işıqlarının bütün nümunələrinə çatmaq mümkündür?
H×w işıqları ilə 2h×w of ON/OFF işıqları mövcuddur. Daha əvvəl də bildiyimiz kimi, kliklərin 2h×w mümkün ardıcıllığı da var.
Amma elə ardıcıllıqlar var ki, bu da eyni lövhənin düzülüşü ilə nəticələnir, yəni istənilən ardıcıllıq və bu ardıcıllıq + dövr edir. Buna görə də bizdə çata bilən lövhədən daha çox ardıcıllıq var, buna görə də mövcud olan lövhə şəkli olmalıdır ki, ona çatmaq mümkün deyil.
Riyaziyyatda belə vəziyyətlər üçün sözlər var. Əgər hər bir ardıcıllıq fərqli bir tərzlə nəticələnərdisə, o zaman ardıcıllığın şəkilə olan xəritəsi inyeksiya adlandırılar. Əgər hər bir şəkil bəzi kliklərin ardıcıllığının nəticəsi olsaydı, onda ardıcıllıqların xəritələri surjektiv adlandırılar. Bu səbəbdən də bizim nümunəyə kliklərin ardıcıllığının xəritəsi qeyri-inyeksiyaedici və qeyri-surjectivedir.
Oyun oynamaq üçün işarələr
Hazırlıq praktikası
Oyunda oynamağa yarışmada hazırlaşmaq üçün bütün işıqların YANMASı ilə lövhə ilə başlamaq faydalıdır. Bu lövhəni bir almaq üçün 'Initial Clicks' və 'Purple Lights' sayını 0-a endirərək lövhənin ölçüsünü artırır. Sonra birbaşa qonşulara və ya diaqonal qonşulara 2 klik edin və nəticə tərzini yadda saxlayın ki, onlar bir oyunda gələndə onları tanıyasınız. Belə cəhdləri küncdə, kənarda və ortada et, çünki nümunə də məkandan asılıdır.
Fərqli bir praktika bütün işıqları ON olan 5×5 lövhə götürmək və diaqonal və ya orta xəttə görə simmetrik olan və ya bir-birinin 90° və ya 180° dönən versiyaları olan işıqları basın və hansı simmetrik şəkil ala biləcəyinizi görməkdir.
Yaxınlıqdakı işıqların OFF olan kiçik qrupu varsa, ilk növbədə nə etmək lazımdır?
Bu halda belə kiçik qrupların mərkəzində hərəkət etmək ilk növbədə sınanmalıdır, çünki belə qrupların kənarında klik yalnız OFF daha çox işıqları daha da uzaqlaşdıracaq və OFF olan işıqlar qrupunu genişləndirərdi. Əgər uğursuz biri daha çox işıqları daha uzağa basmaq və sonda bütün lövhəyə klik etmək məcburiyyətində qalırsa.
Əgər lövhədə simmetriya varsa, onda necə?
İlk lövhə bir və ya hər iki diaqonalla və ya simmetriyanın üfüqi və/və ya şaquli xəttinə görə güzgü simmetrik ola bilər. Digər simmetriyalar 90° və ya 180° fırlanma simmetriyası ola bilər. Bu oyunda simmetriya hansı rolu oynayır? biz aşağıdakı strategiyanı əldə etdik.
5×5 ölçülü lövhənin olması ilə simmetriyanı qoruyub saxlayan simmetrik kliklərin qruplarını yerinə yetirir:
O O O O O # O O O O # O O O #
O O O O O O O O O O O O O O O
# O # O # (5) or O O O O O (11) or O O O O O (12)
O O O O O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O # # O O O #
(və ya onların 90° fırlanması) və sonra isə sadəcə olaraq ardıcıllıqları icra edir:
· · · · · · · · · · · © © © ·
· · · · · © · · · · © · © · ©
· · · · · (4) resp © © · · · (13) resp © © · © © (1)
© · © · © © · © · · © · © · ©
© · © · © · © © © · · © © © ·
(onların 90° fırlanması).
'Simmetrik oynamaq' nə deməkdir?
Əgər simmetriya xəttində hər hansı bir işıq OFF-dırsa, onda bu işığın özünü basmaq lazımdır. Səbəb: Əgər biri onu basmasaydı və yalnız qonşu işığı bassaydı, onda simmetriya xəttinə digər qonşu işıq simmetriki də basılmalıdır və sonra simmetriya xəttində işıq iki dəfə söndürüləcək və OFF qalacaq.
Eyni səbəbdən, əgər bu diaqonalda hər hansı bir işıq ON olarsa, onda bu işıq basmamalıdır.
Əgər mövqe iki simmetriya xəttinə (2 diaqonal və ya üfüqi və şaquli orta xətt) münasibətdə simmetrikdirsə, onda yuxarıdakı qaydalar hər iki xəttə aiddir. OFF olan bu xətlərin hər hansı bir işıq basın lazımdır və on olan bu diaqonallar üzərində hər hansı bir işıq basın deyil ki, bütün işıqlar ON və simmetrik həll olsun.
Əgər lövhə güzgü simmetrik deyil, dönüş simmetrikdirsə, onda bu simmetriyanın qorunması üçün eyni dönüş simmetriyası ilə klik qrupları düzəldir.
Simmetriya nə olursa olsun, bir işığı basanda simmetriya ilə əlaqəli işıq(lar) da basın. Başqa sözlə, əgər 90° simmetriyadırsa (4-qat dönmə simmetriyası) onda digər 3 işıqfora da klik edin, əgər 180° simmetriyadırsa (2-qat fırlanan simmetriya) onda digər bir işığı da basın. Əgər güzgü simmetriyasıdırsa, onda güzgü simmetrik işığı da basın. Əgər işıq öz simmetrik işığıdırsa, onda onu yalnız bir dəfə basın. İşıqların bir dəfə basılacağına dair nümunələr hər hansı simmetriyanın altında mərkəz işığı və ya diaqonal güzgü simmetriyası altında diaqonalda işıq, yaxud həmin xətt simmetriya xəttidirsə, mərkəzdən keçən üfüqi və ya şaquli xətt üzərində işıqdır.
Əgər bir işığı və onun bütün simmetrik işıqlarını basdıqdan sonra simmetriya artırsa (məsələn, bir güzgü simmetriyası əvəzinə 2 güzgü simmetriyası) o zaman bu gündən artan simmetriyadan istifadə edin.
Əgər lövhədə simmetriya yoxdursa, onda necə?
Əgər lövhədə simmetriya yoxdursa, onda OFF-dan çox işıq söndürən klikləri düzəltməyə çalışa bilərsiniz. Sonra off işıqları bir-birinə yaxınlaşdıran hərəkətlər etmək olar. Gec-tez simmetrik mövqe nəticə verir və sonra biri simmetrik kliklərlə davam edir.
Son üç sual daha çox ümumi hallarla bağlı olur.
Bəzi verilən lövhə şəkli ilə nəticələnən kliklərin ardıcıllığını tapmaq üçün ümumi həll strategiyası nədir?
Bu tapmacanın tarixi və ümumi həllinin planı Vikipediya saytında verilmişdir. Daha çox istinad olunan daha bir riyazi təsvir Wolfram MathWorld saytında verilmişdir. Bu nəşrlərdə araşdırmalarımızın olub - olmadığını yoxlamaq istəyə bilərsiniz.
Bəzi işıqların YANMASı, qalanlarının isə OFF olması ilə bağlı hər bir ilkin mövqe bütün işıqların YANMASı ilə dəyişdirilə bilərmi? Əgər belə deyilsə, bunu necə etmək olar? Müəyyən ölçülü lövhənin dövri olub-olmadığını və mövcud olub-olmadığını necə öyrənmək olar?
Bu suallara tənliklərin xətti cəbr sistemini tərtib edib araşdırmaqla cavab vermək olar. Bu haqda daha ətraflı yuxarıda verilən istinadlarda oxumaq olar.
Əgər bənövşəyi işıqlar mövcuddursa, yuxarıdakı nəzəriyyə hələ də yerinə düşərmi?
Bənövşəyi işıqlar hər şeyi dəyişə bilər. Yuxarıdakı hər bir ifadənin bənövşəyi işıqların yanında hələ də əsaslı olub-olmadığını yoxlamaq lazımdır, yoxsa onları doğru saxlamaq üçün ifadələri necə dəyişdirmək lazımdır. Xətti algebra, bənövşəyi işıqlarla lövhələri örtəcək qədər elastik və ümumi olardı.
Yeniliklər üçün izləyin və ya abunə olun: