300000
English | Français | فارسی | 中文 | Українська | Azerbaijani | ខ្មែរ | Tiếng Việt | Bahasa Melayu | Deutsch | O'zbek | РусскийLights©
Agar siz faqat Lights tanlovi muammolarini hal qilishga qiziqsangiz, quyida O'yinni uchun maslahatlar ga o'ting.
Boshlashdan oldin ba'zi matematik atamalarni kiritaylik.
Matematik til
Biz ushbu imkoniyatdan matematik formalizmni mashq qilish uchun foydalanamiz va bayonotlarni quyidagilarga guruhlaymiz:
- Gipoteza (keyingi tadqiqotlar uchun boshlang'ich nuqtasi sifatida taklif qilingan bayonot)
- Ta'rif (so'z yoki iboraning ma'nosini tushuntirish)
- Teoremasi (qalin bayonot)
- Lemma (kichik bayonot)
- Isbot (teorem yoki lemma to'g'ri ekanligini shubhasiz ko'rsatadigan bayonotlar. □ belgisi isbotning oxirini ko'rsatadi.)
- Xulosa (to'g'ridan-to'g'ri teoremasdan yoki lemmadan kelib chiqadigan bayonot)
Mavzuni o'rganishning yaxshi usuli o'zingizga oddiy savollar berish va ularga javob berishga harakat qilishdir. Biz buni hozir qilamiz. Siz ushbu sahifani tadqiqot qilish uchun qo'llanma sifatida ko'rishingiz mumkin, ayniqsa simmetriyalarni o'rganadigan bo'lim. Yo'l davomida biz o'yinni qanday haqida maslahatlar topamiz.
Sekin urish qaysi tartibda amalga oshirilganligi muhimmi?
Yo'q. Yorug'likning holati sekin urish tartibiga emas, balki faqat yorug'likning o'zida va qo'shni chiroqlarda qilingan chertish soniga bog'liq. Agar yorug'lik va uning qo'shnilariga bosishning umumiy soni bir xil bo'lsa, yorug'lik uning holatini o'zgartirmaydi. Agar raqam toq bo'lsa, chertish tartibidan qat'iy nazar holati o'zgaradi.
Misol:Ikki xil qo'shni chiroqlarni tanlang, masalan, A va B. Keyin ularni A, B, B, A tartibida bosing. Natija nima? ↠ Hech narsa o'zgarmadi, chunki B, B ta'siri yo'q va A, A ham ta'sir qilmaydi.
Endi birinchi ikki marta bosish tartibini teskari qilib, B, A, B, A tartibida bosing. Natija nima? ↠ Yana hech narsa oʻzgarmadi. Dastlabki ikki marta bosish tartibi muhim emas edi. Xuddi shu holatda, agar biz ikkita tugmani har qanday tartibda ikki marta bossak. Sekin urish tartibi muhim emas.
Agar sekin urish tartibi muhim bo'lmasa, unda uzoq ketma-ketlikdagi sekin urish sonini qanday kamaytirish mumkin?
Sekin urish sonini kamaytirishning bir usuli quyidagicha.
Jumboqni hal qilayotganda, har bir yorug'lik uchun ushbu nurda qilingan bosish sonini yozib oladi. Keyinchalik, chiroqdagi har bir juft sekin bosish sonini nolga va har bir toq sonini 1 ga o'rnatadi. Yangi ketma-ketlik bir xil ta'sirga ega va shuningdek echimdir.
Ta'rif:Agar har bir chiroq bir marta bosilgan bo'lsa, sekin urish kamayadi deb ataladi. Yuqoridagi jarayon qisqartirish deb ataladi.
Sekin urishning qisqartirilgan ketma-ketligining uzunligi uchun yuqori chegara nima?
- Ketma-ketlikda chiroqlar qancha bo'lsa, shuncha marta bosish mumkin, chunki qisqartirilgan ketma-ketlikda har bir yorug'lik eng ko'pi bilan bir marta bosiladi. Shunday qilib, agar taxta balandligi h va kengligi w bo'lsa, u holda h×w chiroqlar va kamaytirilgan ketma-ketlik eng ko'p h×w ko'p marta bosish bo'lishi mumkin.
Agar harakatlar tartibi muhim bo'lmasa, qanday qilib echimni to'liq qidirishni (qo'pol kuch bilan qidirish) amalga oshirish mumkin, ya'ni barcha chiroqlarni yoqadigan sekin urish ketma-ketligi?
Sekin urish tartibi muhim emasligi sababli, har bir yorug'lik uchun uning yechimida bosilganmi yoki yo'qligini bilish kifoya. Shuning uchun, barcha chiroqlarning barcha kombinatsiyalarini bosish uchun to'liq qo'pol kuch qidiruvi etarli bo'ladi.
Agar kengashda h×w chiroqlar mavjud bo'lsa, unda 2h×w kombinatsiyalari mavjud (har bir yorug'lik uchun 2 variant, bu kombinatsiyada bosilgan yoki bosilmaydi). Bunday qo'pol kuch qidiruvi juda uzoq davom etadi. Ammo, agar "Yordam eslatmalari" yoqilgan bo'lsa (tanlovlarda mavjud emas), unda barcha chiroqlarni birma-bir bosish va bu bosish sizni echimga yaqinlashtirganligini tekshirish mumkin. Agar ha bo'lsa, uni qoldiring, aks holda yana bosing.
Quyidagi savollar sekin urish ketma-ketligini yanada qisqartirishga yo'l qo'yadi.
Agar barcha chiroqlar yoqilgan bo'lsa va har bir chiroq bir marta bosilgan bo'lsa, natija qanday bo'ladi?
-
Leʼmat:
Agar to'rtburchaklar panjarada barcha chiroqlar yoqilgan bo'lsa va har bir yorug'lik bir marta bosilgan bo'lsa, keyin burchak chiroqlari OFF (O), qirralardagi boshqa barcha chiroqlar yoqilgan (#) va qolgan barcha chiroqlar OFF (O) ushbu 4 x 4 taxtasida ko'rsatilganidek:
# # # # O # # O
# # # # # O O #
# # # # # O O #
# # # # O # # O
before after
Isbot:
Boshlash uchun, har bir chiroqning o'zi bosiladi va shuning uchun bir marta almashtiriladi. Har bir chiroq qo'shnisini bosganda ham o'zgaradi.
Shuning uchun, agar qo'shni chiroqlar soni teng bo'lsa, yorug'lik qo'shimcha juft sonli marta almashtiriladi, shuning uchun jami toq sonli marta. Shuning uchun, agar dastlab ON bo'lsa, u hali ham OFF bo'ladi.
Xuddi shunday, agar qo'shni chiroqlar soni to'g'ri bo'lsa, yorug'lik qo'shimcha toq marta o'zgartiriladi, shuning uchun jami juft son. Shuning uchun, agar dastlab ON bo'lsa, u hali ham ON bo'ladi.
Har bir yorug'likning qo'shnilari sonini hisoblab, lemma bayonnomasini oladi. □
Ketma-ketlikning boshida va oxirida barcha chiroqlar yoqilgan bosish ketma-ketliklari kamayadimi? Bunday ketma-ketlikni tsikl deb ataymiz.
- hamma chiroqlar yoqilgandan boshlab boshlash
- har ikkalasi ham bir xil chiroqlarni o'chirib qo'yadigan ikki xil qisqartirilgan ketma-ketlikka ega bo'lib, masalan, barcha chiroqlarni o'chirib qo'ying
- har ikkala ketma-ketlikni bitta ketma-ketlikka birlashtiring, agar barcha chiroqlar yoqilgan bo'lsa, barcha chiroqlar yoqilgan holda tugaydi
- tsiklni olish uchun bu birlashgan ketma-ketlikni kamaytiring. Ushbu qisqartirilgan tsikl bosishni o'z ichiga oladi, chunki ikkala birlashtirilgan ketma-ketlik har xil edi, shuning uchun boshqa original ketma-ketlikda bo'lmagan bitta ketma-ketlikda kamida bitta bosish bo'lishi kerak. Qisqartirilgan birlashgan ketma-ketlik bu bosish bo'ladi.
Agar har bir yorug'lik bir necha marta bosilgan bo'lsa, qisqartirish (yuqorida aytib o'tilgan) har bir chiroqning nol bosishini beradi va keyin barcha chiroqlar yoqilgani ajablanarli emas. Ammo barcha chiroqlar yoqilgan va tugaydigan sekin urish bilan qisqartirilgan ketma-ketlik bormi?
Ta'rif:Kamida bitta bosishni o'z ichiga olgan qisqartirilgan ketma-ketlik, agar barcha chiroqlar ushbu ketma-ketlikdan oldin va keyin bir xil holatga ega bo'lsa, tsikl deb ataladi.
Biz barcha chiroqlar yoqilgan va barcha chiroqlar yoqilgan holda tugashi bilan tsikllarni qidiramiz. Bunday tsikl keyin har qanday boshqa boshlang'ich holatni o'zgarishsiz qoldiradi, ya'ni agar biz ba'zi chiroqlar yoqilgan va ba'zi OFF bilan taxta bilan boshlasak, va biz bu tsiklni amalga oshirsak, o'sha chiroqlar YOQILGAN va OFF bo'ladi. Buning sababini ko'ryapsizmi?
Tsiklni topishning bir imkoniyati quyidagilardir:
Qaysi o'lchamdagi taxtalar uchun bu mumkin? Muayyan taxta o'lchami uchun bu savolga tenglamalarning chiziqli algebraik tizimini shakllantirish va uni tadqiq qilish orqali javob berish mumkin. Bu haqda ko'proq ma'lumotni quyida keltirilgan havolalarda o'qish mumkin.
4×4 kengashi uchun tsiklni qanday topishimiz mumkin?
-
Keling, barcha chiroqlar bilan boshlaylik (#) va har bir chiroqni aniq bir marta bosing. Bilamizki, biz
O # # O
# O O #
# O O #
O # # O
ni olamiz, chunki biz tsiklni qidirayotganimiz uchun, ya'ni barcha chiroqlar yoqilgan holda boshlanib, tugaydi, biz harakat qilamiz va OFF bo'lgan barcha chiroqlarni (O sifatida ko'rsatilgan) bir marta bosishga harakat qilamiz, bu nafaqat ularni bosadi, balki boshqa barcha chiroqlarni ham yoqadi. Iltimos, o'zingiz tekshiring.
O'zimizni eslatish uchun: Avvaliga biz barcha chiroqlarni bosdik, keyin ikkala diagonaldagi chiroqlarni yana bosdik. Shunday qilib, biz chiroqlarni diagonallarda ikki marta bosdik. Ushbu ketma-ketlikni kamaytirish orqali, diagonal chiroqlardagi barcha ikki marta bosish bekor qilinadi va faqat yuqoridagi taxtada # chiroqlari qoladi. Shunday qilib, biz barcha chiroqlar yoqilgan holda boshladik va barcha chiroqlar yoqilgan holda yakunladik. Shuning uchun 8 chertish yuqoridagi kengashida # bir tsiklni shakllantirish! HOORAY, biz tsiklni topdik! 🥳
Iltimos, sinab ko'ring va yuqorida # belgilangan 8 chiroqlarni bosish 4×4 taxtasining chiroqlarini o'zgartirmasligiga o'zingizni ishontiring. Buni barcha chiroqlar yoqilganda osonlik bilan ko'rish mumkin.
Sekin urish ketma-ketligini yanada qisqartirish uchun tsikldan qanday foydalanish mumkin?
Agar tsikl ma'lum bo'lsa, bu sekin urish ketma-ketligini yanada qisqartirish uchun ishlatilishi mumkin.
Leʼmat:Agar c ko'p marta bosish bilan tsikl ma'lum bo'lsa va n-ni bosish tsiklga tegishli bo'lgan ketma-ketlik berilgan bo'lsa, unda bu n bosishni tsiklda bo'lmagan c-n sekin urish bilan almashtirish ekvivalent ketma-ketlikni beradi.
Isbot:Bu isbot konstruktivdir, ya'ni bunday ketma-ketlikni qanday qurishni ko'rsatadi.
Agar biz ketma-ketlikni tsikl bilan qo'shsak, yangi birlashtirilgan ketma-ketlik ekvivalent bo'ladi, chunki biz tsiklni qo'shdik. Birlashgan ketma-ketlikda n sekin urish ikki marta, bir marta asl ketma-ketlikda va bir marta tsiklda amalga oshiriladi. Qisqartirish orqali, ya'ni bu ikki marta bosishni o'chirib tashlash, yangi ketma-ketlik hali ham ekvivalent bo'ladi (chunki qisqartirish ekvivalent ketma-ketliklarni hosil qiladi) va endi n marta bosish o'rniga tsiklga tegishli c-n sekin urish bo'ladi. □
Natija:Agar c−n < bo'lsa, yangi ketma-ketlik qisqaroq. Bu agar va faqat n c / 2 > bo'lsa shunday bo'ladi. So'zlar bilan: Agar ketma-ketlikda tsiklning sekin urishining yarmidan ko'pi bo'lsa, tsiklni qo'shish va ikki marta bosishni o'chirish orqali ketma-ketlikni qisqartirish mumkin.
Misol:13 taxtasida 4×4 chiroqlar ro'yxatini tuzing (qog'ozga qalam bilan), barcha chiroqlar yoqilgan holda boshlang va 13 chiroqlarni bosing va natijaning rasmini chizing. (Nima uchun 13 va yo'q, 12 deysiz? Quyida ko'rib chiqamiz. :-) ) Endi 13 marta bosish qaysi biri tsiklga tegishli ekanligini tekshiring va yangi bosish ro'yxatini tuzing (qog'ozga qalam bilan), bu erda bu tsikl bosish tsikldagi boshqa sekin urish bilan almashtiriladi. Barcha chiroqlar yoqilganda yana bir marta boshlang va ushbu qisqa bosish ketma-ketligini bajaring.
Natija nima?
Ushbu qisqa ketma-ketlikning natijasi avvalgidek bo'lishi kerak.
4×4 taxtasida qisqartirilgan sekin urish uzunligining yuqori chegarasi nima?
-
Teoremas:
4×4 taxtasida bosish ketma-ketligi maksimal 12 marta bosish uchun qisqartirilishi mumkin.
Isbot:Biz 4×4 taxtasida qisqartirilgan ketma-ketlik faqat 4×4 = 16 marta bosish mumkinligini bilib oldik. Biz 8 kengashi uchun 4×4 marta bosish tsiklini bilamiz. Shuning uchun ketma-ketlik eng ko'pi bilan 16−8 = 8 marta bosish bo'lishi mumkin, ular tsiklga tegishli emas. Bundan tashqari, agar ketma-ketlik tsiklning sekinlarining yarmidan ko'prog'iga ega bo'lsa, uni qisqartirish mumkinligini aniqladik. Shuning uchun, qisqartirilgan va qisqartirilgan ketma-ketlik eng ko'pi bilan bo'lishi mumkin:
8 (siklga tegishli bo'lmagan sekinlar)
+ 8/2 (sikldan bosish yarmi)
= 12 marta bosish
4×4 taxtasida □
Barcha mumkin 4×4 kengashi muammolar Barcha chiroqlarni yoqish eng ko'pi bilan 12 marta bosish bilan hal qilinishi mumkin.
Tushuntirish:Teoremas, tsikllar bilan qisqartirib bo'lmaydigan 12 uzunlikdagi ketma-ketlik mavjudligini aytmaydi. Ehtimol, maksimal uzunlik 12, 10 yoki 8. Teoremasda faqat 12 marta bosish mumkin emasligini aytadi.
Yuqoridagi xulosalardan so'ng, barcha chiroqlarni yoqish uchun eng ko'p bosish sonini oladigan 4×4 muammosiga qanday misol bo'lishi mumkin?
Biz tsiklda emas, balki barcha chiroqlarni bosing, shuning uchun diagonallarda barcha 8 chiroqlar. Keyin biz tsikldan 4 chiroqni tanlaymiz, masalan, soat yo'nalishi bo'yicha har ikki tomondan bittadan. Bir © marta bosish bilan biz ushbu 12 marta bosishni qildik:
© · © ©
© © © ·
· © © ©
© © · ©
natijada kengash paydo bo'ldi
# O O #
O # # O
O # # O
# O O #
Bu 12-marta bosish ketma-ketligi endi qisqartirib bo'lmaydigan maksimal uzunlikmi?
Yo'q. Allaqachon ushbu 4 marta bosish
· © · ·
© · · ·
· · · ©
· · © · bir xil natijaga ega:
# O O #
O # # O
O # # O
# O O #
U nimani anglatadi?
Demak, biz 12+4=16 marta bosishning yangi tsikli bor, Hooray! 🥳 Agar biz ikki marta bosish ( © + = © ·) qoldirsak, 12 marta bosilgan bu yangi tsikli qoladi:
© · © © · © · · © © © ©
© © © · + © · · · = · © © ·
· © © © · · · © · © © ·
© © · © · · © · © © © ©
Iltimos, bu tsikl ekanligini tekshiring.
12-click tsiklini va 8-chertish tsiklini qo'shganimizda va uni qisqartirganimizda nima chiqadi?
Ikki tsiklning yig'indisi tsikl bo'lishi kerak, ya'ni u taxtani o'zgartirmaydi:
© © © © · © © · © · · ©
· © © · + © · · © = © © © ©
· © © · © · · © © © © ©
© © © © · © © · © · · ©
90 ° aylantirilgan versiyasini beradi 12-bosish tsiklining 3 ° burilgan versiyasi, bu bizning yangi 3rd tsiklimiz. Iltimos, bu sikl ekanligini tekshiring.
Bu 4×4 taxtasida bosish ketma-ketligining maksimal uzunligi uchun nimani anglatadi?
© · © © · · © ·
© · · · and © © © ·
· · · © · © © ©
© © · © · © · ·
ketma-ketliklarining har birida 8 marta bosish mavjud.
Ular 3 tsikli bilan qisqartirilishi mumkinmi?
Har biri 8 marta bosish tsikli bilan to'liq 4 marta bosish va har bir 12-bosish tsikli bilan to'liq 6 marta bosish bilan bog'liq. Iltimos, ushbu 6 bayonotini tekshiring. Ular tsiklining sekin urish yarmidan ko'pi bilan har bir tsikli bilan bir-biriga to'g'ri kelmaydi. Shunday qilib, bu ketma-ketliklarni ushbu 3 tsikl bilan qisqartirish mumkin emas, lekin ularga yana bir marta bosish ularni qisqartirish imkonini beradi.
Biz bu tasdiqlanmagan taxminni qilamiz:
Gipoteza:Tsikl bilan qisqartirilmaydigan 4×4 platada bosish ketma-ketligining maksimal uzunligi 8 ni tashkil qiladi.
Siz buni isbotlashingiz mumkin. Birinchisi, boshqa mustaqil tsikllar yo'qligini ko'rsatishi kerak.
Quyida biz 5×5 taxtalarini ko'rib chiqamiz va ko'proq simmetriyalarni o'rganamiz.
5×5 kengashlari haqida nima deyish mumkin? Bu kengash uchun tsikl topa olasizmi?
- hamma chiroqlar yoqilgandan boshlab boshlash
- har bir chiroqni bir marta bosing va olish
O # # # O # O O O # # O O O # # O O O # O # # # O - Diagonallardagi barcha chiroqlarni bir marta, shuningdek, markaz chiroqni bir marta bosing. Natijada, barcha chiroqlar yoqilgan.
- 25−9=16 marta bosish kabi ko'rsatilgan © diagonalizlarga barcha ikki marta bosish orqali ketma-ketlikni kamaytiring:
· © © © · © · © · © © © · © © (1) © · © · © · © © © · - va nishonlash, biz tsiklni topdik, HOORAY! 🥳
4×4 kengashlariga o'xshash biz
Iltimos, sinab ko'ring va yuqorida belgilangan © 16 chiroqlarni bosish 5×5 taxtasining chiroqlarini o'zgartirmasligiga o'zingizni ishontiring. Buni barcha chiroqlar yoqilganda osonlik bilan ko'rish mumkin.
5×5 taxtasida qisqartirilgan sekin urish uzunligining yuqori chegarasi nima?
-
Teoremas:
5×5 taxtasida sekin urish 17 dan ortiq bosish bo'lishi mumkin emas.
Isbot:Biz 5×5 taxtasida qisqartirilgan ketma-ketlik faqat 5×5 = 25 marta bosish mumkinligini bilib oldik. Biz 16 kengashi uchun 5×5 marta bosish tsiklini bilamiz. Shuning uchun ketma-ketlik ko'pi bilan 25−16 = 9 marta bosish bo'lishi mumkin, ular tsiklga tegishli emas. Bundan tashqari, agar ketma-ketlik tsiklning sekinlarining yarmidan ko'prog'iga ega bo'lsa, uni qisqartirish mumkinligini aniqladik. Shuning uchun, qisqartirilgan va qisqartirilgan ketma-ketlik eng ko'pi bilan bo'lishi mumkin: 9 (siklga tegishli bo'lmagan chertish)
+ 16/2 (bir sikldan sekin urish yarmi)
= 17 marta bosish
5×5 kengashida. □
Agar barcha chiroqlarni yoqish uchun 5×5 kengashi muammolari echimga ega bo'lsa, unda eng ko'pi bilan 17 marta bosish bilan echim mavjud.
Tushuntirish:Bu qisqartirib bo'lmaydigan 17 marta bosish ketma-ketligi mavjudligini anglatadimi?
Javob:Yo'q. Hozircha biz bilmaymiz.
Bu o'yinda simmetriya qanday rol o'ynaydi?
Kengash to'rtburchaklar shaklida bo'lganligi sababli, ON / OFF bo'lgan chiroqlarning naqshi 90 ° yoki 180 ° ga aylanish nosimmetrik bo'lishi mumkin yoki gorizontal yoki vertikal simmetriya chizig'i bo'ylab oyna simmetriyasiga ega bo'lishi mumkin. Agar taxta kvadrat bo'lsa, u diagonal yoki hatto ikkala diagonal bo'ylab oyna simmetriyasiga ega bo'lishi mumkin.
Quyidagi g'oya shundan iboratki, yechim simmetriyaga ega bo'lgan bir qator bosish va bu simmetriyaga ega bo'lmagan boshqa sekin urishdan iborat.
Qanday qilib muvaffaqiyatga erishishimiz mumkin?
Bizga ilhom kerak va biz uni o'yin o'ynashdan va tasodifiy chiroqlarni bosishdan g'alati ko'rinadigan yoki yaxshi simmetriyaga ega bo'lgan taxtaga ega bo'lgunimizcha olamiz. Va keyin biz sekin urish ketma-ketligi ham maxsus yoki yo'qmi, deb hayron bo'lamiz.
Biz shunga o'xshash taxtaga duch kelishimiz mumkin:
O O O O O
# O # O #
O O # O O (2)
# O # O #
O O O O O
va unga qanday etib kelganimizni unutganmiz. Buni "Yordam eslatmalari yoqilgan" ni tanlab, har bir pozitsiyani bosish orqali topish oson. Agar "Yordam eslatmalari: Siz XX marta bosishda g'olib bo'lishingiz mumkin" da ko'rsatilgan raqam tushirilgan bo'lsa, biz pozitsiyani yozib olamiz, agar bo'lmasa, yana bosing. Biz ushbu echimni qaerda bosishni ko'rsatadigan © joyda topamiz:
· · · · ·
© © © © ©
· · © · · (3)
· © · © ·
© · © · ©
Endi biz chindan ham hayron bo'lishimiz va juda qiziquvchan bo'lishimiz kerak!
Nima uchun?
Chunki taxta (2) simmetriya chizig'i sifatida o'rta gorizontal chiziq bilan oyna simmetriyasiga ega, ammo yechim bu simmetriyaga ega emas. Matematikada nosimmetrik muammoning nosimmetrik yechimiga ega bo'lishi kamdan-kam uchraydi.
Hozir nima?
Buni nosimmetrik qismini va nosimmetrik qismini (3) chiqarib olish orqali tekshirishimiz kerak.
Shuning uchun (3) ni nosimmetrik va nosimmetrik qismning yig'indisi sifatida yozamiz:
· · · · · · · · · · · · · · ·
© © © © © · © · © · © · © · ©
· · © · · = · · © · · + · · · · ·
· © · © · · © · © · · · · · ·
© · © · © · · · · · © · © · ©
Xazina ovchilari toshlarni izlayotgani kabi, biz ham matematikada noyob narsalarni qidiramiz. Yuqoridagi parchalanish noyob emas. Nosimmetrik qismni nosimmetrik va boshqa nosimmetrik qismning yig'indisi sifatida yozishning ko'plab usullari mavjud.
Noyob bo'linish bormi?
Biz nosimmetrik bosish simmetriya chizig'ining faqat bir tomonida bo'lishini talab qilib, uni noyob qilishimiz mumkin.
Biz + © = · dan foydalanamiz © va shuning uchun hozir yozing
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
© © © © © · © · © · © · © · © · · · · ·
· · © · · = · · © · · + · · · · · + · · · · ·
· © · © · · © · © · © · © · © © · © · ©
© · © · © · · · · · · · · · · © · © · ©
· · · · · · · · · ·
© © © © © · · · · ·
= · · © · · + · · · · ·
© © © © © © · © · ©
· · · · · © · © · ©
Biz biron bir narsada ekanligimizni bilib, endi bu haqda hamma narsani bilishni xohlaymiz.
Asl kengash nosimmetrik bo'lgani va nosimmetrik qismi nosimmetrik taxta qilishi kerakligi sababli, nosimmetrik ketma-ketlik ham nosimmetrik taxta qilishi kerak.
Bu nima?
· · · · · O O O O O
· · · · · O O O O O
· · · · · (4) generates the board # O # O # (5)
© · © · © O O O O O
© · © · © O O O O O
Iltimos tekshiring!
Nosimmetrik taxta hosil qiladigan va simmetriya chizig'ining bir tomonida barcha bosish juda oz sonli nosimmetrik echimlar mavjudligini ko'ramiz.
Agar kimdir taxta atrofida (5) yursa va unga va boshqa tomondan (4) echimga qarasa nima bo'ladi?
Kengash bir xil ko'rinadi (chunki u 180 ° simmetriyaga ega), lekin echim quyidagicha bo'ladi
© · © · ©
© · © · ©
· · · · · (6)
· · · · ·
· · · · ·
Shunday qilib, (6) bir xil nosimmetrik taxtani (5) ishlab chiqaradigan yana bir nosimmetrik ketma-ketlikdir. Bu baxtsiz hodisami yoki umuman shundaymi?
Bu umumiy bayonot:
Agar nosimmetrik muammo (bu erda (5), 180° simmetriyaga ega bo'lsa) nosimmetrik ketma-ketlik tomonidan ishlab chiqarilgan bo'lsa (bu erda (4)), unda simmetriya operatsiyasini bajarish (bu erda 180 ° aylanish) ushbu ketma-ketlikda bir xil taxtani yaratadigan yangi nosimmetrik ketma-ketlikni (bu erda (6)) hosil qiladi.
Ikkala nosimmetrik ketma-ketlikni bajarganda nima bo'ladi?
Birinchi ketma-ketlikdan keyin (4) uchta chiroq o'chiriladi (taxta (5)) va ikkinchi ketma-ketlikdan keyin (6) 3 chiroqlari yana yoqiladi, endi yoqiladi. Ya'ni, (4) + (6)
© · © · ©
© · © · ©
· · · · · (7)
© · © · ©
© · © · ©
- bu 12-marta bosish tsikli! HOORAY!! 🥳 Iltimos, ushbu 12 marta bosish orqali buni tekshiring.
Ushbu yangi tsikldan nima uchun foydalanish mumkin?
Boshqa 16-chertish tsikli singari, bu bosish ketma-ketligini qisqartirish uchun ishlatilishi mumkin.
16-click tsiklini 12-click tsikli bilan qisqartirish mumkinmi? Natijada tsikl bo'lishi kerak, chunki tsikl + tsikl = aylanish.
Ikkala tsiklni bajarish (tufayli © + © = · )
· © © © · © · © · © © © · © ©
© · © · © © · © · © · · · · ·
© © · © © + · · · · · = © © · © © (8)
© · © · © © · © · © · · · · ·
· © © © · © · © · © © © · © ©
bu tsikl bo'lishi kerak va ha, u oddiygina tsikl (7) 90° ga aylantiriladi.
16-bosish tsikli ham nosimmetrik muammoning ikkita nosimmetrik echimining yig'indisimi?
2-chertish tsiklini yig'indi sifatida yozishning 16 usuli bor:
· © © © · · · · · · · © © © ·
© · © · © © · · · · · · © · ©
© © · © © = © © · · · + · · · © © (9)
© · © · © © · © · · · · · · ©
· © © © · · © © © · · · · · ·
· © © © · · · · · · · © © © ·
© · © · © © · · · © · · © · ·
© © · © © = © © · © © + · · · · · (10)
© · © · © © · · · © · · © · ·
· © © © · · · · · · · © © © ·
(9) ning o'ng tomonidagi ikkita ketma-ketlikning har biri nosimmetrik ketma-ketlikdir va natijada nosimmetrik taxta paydo bo'ladi
# O O O O
O O O O O
O O O O O (11)
O O O O O
O O O O #
(10) ning o'ng tomonidagi ikkita ketma-ketlikning har biri nosimmetrik ketma-ketlik bo'lib, nosimmetrik taxta hosil bo'ladi
# O O O #
O O O O O
O O O O O (12)
O O O O O
# O O O #
Shunday qilib, 16-bosish tsikli nosimmetrik muammoning ikkita nosimmetrik echimining yig'indisidir, hatto ikki yo'lda.
Agar eslab qolish kerak bo'lgan ketma-ketliklar sonini kamaytirishni istasangiz,
· · · · ·
© · · · ·
© © · · · (13)
© · © · ·
· © © © ·
ni eslab qolish kifoya, chunki (9) ning o'ng tomonidagi boshqa ketma-ketlik bir xil ta'sirga ega va (10) ning o'ng tomonidagi ketma-ketliklar (13) ning 90° burilishlarining yig'indilaridir.
Bu nosimmetrik taxtalarni hal qilishga qanday yordam beradi?
Agar 5×5 platalar uchun ketma-ketliklar (4), (13) va ularning 90 ° burilishlari ko'zgu simmetrik taxtalarni ishlab chiqaradigan yagona nosimmetrik ketma-ketliklar bo'lib, (boshqa nosimmetrik ketma-ketliklarni hosil qiladigan nosimmetrik ketma-ketliklardan tashqari) to'g'ri bo'lsa, ko'zgu simmetrik taxtani hal qilish uchun faqat barcha chiroqlar yoqilguncha nosimmetrik harakatlarni bajarish kerak, yoki taxtalardan biriga (5) yoki (11) (yoki ularning 90 ° aylanishi) etib kelguncha va keyin (4) yoki (13) (yoki ularning 90 ° aylanishi) ketma-ketliklarini bajaradi.
Boshqacha qilib aytganda, oyna nosimmetrik 5x5 taxtasini hal qilish uchun faqat sekin urishning nosimmetrik kombinatsiyalarini sinab ko'rish kerak bo'lib, ular kamroq bunday nosimmetrik sekin urishni talab qiladi va shuning uchun kichikroq qidiruv daraxtiga olib keladi.
5×5 taxtasida qisqartirilgan sekin urishning maksimal uzunligi qanday?
Biz bu savolga javob bermayapmiz, lekin ikkita taklifimiz bor.
Gipoteza:5×5 kengashi uchun 12, 12 va 16 marta bosish bilan 3 tsiklining kombinatsiyasi bo'lmagan boshqa ko'chadan yo'q.
Gipoteza:5×5 platada qisqartirilgan sekin urishning maksimal uzunligi 13 ni tashkil qiladi.
Biz sizga boshqa mustaqil tsikl yoki 13 dan ortiq bosish bilan 12, 12 va 16 marta bosilgan 3 tsikl (7), (8) va (1) bilan qisqartirilishi mumkin bo'lmagan ketma-ketlikning isboti yoki qarshi misoli haqida o'ylashni sizga qoldiramiz. Birinchi gipotezani chiziqli algebra yordamida tekshirish mumkin (pastga qarang), ammo oddiy isbot yoki boshqa tsiklga ega bo'lish yaxshi bo'lar edi. 13 tsikli bilan qisqartirilmaydigan 13 marta bosilgan ketma-ketlikka misol
© · © · ©
· © · © ·
© · © · ©
· © · © ·
© · © · ©
Qidirish va isbotlashda zavqlaning!
Kengashdagi ON / OFF chiroqlarining barcha naqshlariga erishish mumkinmi?
H×w chiroqlari bilan ON / OFF chiroqlarining 2 h×w naqshi mavjud. Oldin bilib olganimizdek, 2soat × sekin urish mumkin bo'lgan ketma-ketliklar ham mavjud.
Ammo bir xil taxta naqshiga olib keladigan ketma-ketliklar mavjud, ya'ni har qanday ketma-ketlik va bu ketma-ketlik + tsikli. Shuning uchun biz erishish mumkin bo'lgan taxta naqshidan ko'ra ko'proq ketma-ketliklarga egamiz, shuning uchun erishib bo'lmaydigan taxta naqshi mavjud bo'lishi kerak.
Matematikada bunday holatlar uchun so'zlar mavjud. Agar har bir sekin urish ketma-ketligi boshqa naqshga olib kelsa, unda ketma-ketliklarning naqsh xaritasi injektiv deb ataladi. Agar har bir naqsh bosish ketma-ketligining natijasi bo'lsa, ketma-ketliklarning naqsh xaritasi surjektiv deb ataladi. Shuning uchun naqshga bosish ketma-ketliklari xaritamiz injektiv va surjektiv emas.
Oʻyinni oʻynash uchun maslahatlar
Tayyorgarlik amaliyoti
O'yinni tanlovda o'ynashga tayyorgarlik ko'rish uchun barcha chiroqlar yoqilgan taxta bilan boshlash foydali bo'ladi. Ushbu taxtani olish uchun "Dastlabki sekin urish" va "Binafsha chiroqlar" sonini 0 ga tushiradi va taxta hajmini oshiradi. Keyin to'g'ridan-to'g'ri qo'shnilarga yoki diagonal qo'shnilarga 2 marta bosish va natijada paydo bo'lgan naqshni eslang, shunda ular o'yinda paydo bo'lganda ularni tanib olasiz. Bunday urinishlarni burchakda, chekkada va o'rtada naqsh sifatida joylashuvga bog'liq bo'ladi.
Amaliyotning boshqa turi - 5×5 taxtasini barcha chiroqlar yoqilgan holda olish va diagonal yoki o'rta chiziqga nisbatan nosimmetrik bo'lgan yoki bir-birining 90 ° yoki 180 ° aylantirilgan versiyalari bosish va qaysi nosimmetrik naqshni olishingiz mumkinligini ko'rish.
O'chirilgan yaqin atrofdagi chiroqlarning kichik guruhi bo'lsa, avval nimani sinab ko'rish kerak?
Bunday holda, bunday kichik guruhlarning markazidagi harakatlar avval sinab ko'rish kerak, chunki bunday guruhlarning chetidagi bosish faqat o'chirib qo'yadi, ko'proq chiroqlar uzoqroq va OFF bo'lgan chiroqlar guruhini kengaytiradi. Agar muvaffaqiyatsiz bo'lsa, ko'proq chiroqlarni bosish kerak va butun taxtada bosish kerak bo'ladi.
Agar taxta naqshi simmetriyaga ega bo'lsa-chi?
Boshlang'ich taxta bir yoki ikkala diagonalga nisbatan yoki gorizontal va / yoki vertikal simmetriya chizig'iga nisbatan oyna simmetrik bo'lishi mumkin. Boshqa simmetriyalar 90 ° yoki 180 ° aylanish simmetriyasi bo'lishi mumkin. Bo'limda Bu o'yinda simmetriya qanday rol o'ynaydi? biz quyidagi strategiyani oldik.
Barcha chiroqlar yoqilganiga qadar yoki 5×5 o'lchamdagi taxtaga ega bo'lganda quyidagi taxtalardan biriga etib borguncha simmetriyani saqlab turadigan nosimmetrik sekin urish guruhlarini amalga oshiradi:
O O O O O # O O O O # O O O #
O O O O O O O O O O O O O O O
# O # O # (5) or O O O O O (11) or O O O O O (12)
O O O O O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O # # O O O #
(yoki ularning 90 ° aylanishi) va keyin shunchaki ketma-ketliklarni bajaradi:
· · · · · · · · · · · © © © ·
· · · · · © · · · · © · © · ©
· · · · · (4) resp © © · · · (13) resp © © · © © (1)
© · © · © © · © · · © · © · ©
© · © · © · © © © · · © © © ·
(mos ravishda 90 ° burilishi).
"Simmetrik" nimani anglatadi?
Agar simmetriya chizig'idagi biron bir yorug'lik o'chirilgan bo'lsa, bu nurning o'zini bosish kerak. Sababi: Agar uni bosmasa va faqat qo'shni yorug'likni bossa, simmetriya chizig'iga nosimmetrik bo'lgan boshqa qo'shni yorug'lik ham bosilishi kerak va keyin simmetriya chizig'idagi yorug'lik ikki marta o'chiriladi va o'chiriladi.
Xuddi shu sababga ko'ra, agar ushbu diagonaldagi biron-bir yorug'lik yoqilgan bo'lsa, bu nurni bosish kerak emas.
Agar pozitsiya ikkita simmetriya chizig'iga (2 diagonal yoki gorizontal va vertikal o'rta chiziq) nisbatan nosimmetrik bo'lsa, unda yuqoridagi qoidalar ikkala chiziqga ham qo'llaniladi. Ushbu chiziqlardagi har qanday yorug'lik OFF bosilishi kerak va bu diagonallardagi har qanday yorug'lik ON bo'lishi va nosimmetrik echimga ega bo'lishi uchun bosilishi kerak.
Agar taxta oyna nosimmetrik emas, balki aylanish nosimmetrik bo'lsa, bu simmetriyani saqlab qolish uchun bir xil aylanish simmetriyasi bilan bosish guruhlari yaratiladi.
Simmetriya nima bo'lishidan qat'iy nazar, siz yorug'likni bosganingizda, simmetriya bilan bog'liq yorug'lik (lar) ni ham bosing. Boshqacha qilib aytganda, agar u 90 ° simmetriya (4 barobar aylanish simmetriyasi) bo'lsa, boshqa 3 chiroqlarni ham bosing, agar u 180 ° simmetriya (2 barobar aylanish simmetriyasi) bo'lsa, boshqa bir yorug'likni ham bosing. Agar u oyna simmetriyasi bo'lsa, unda oynaning simmetrik nurini ham bosing. Agar yorug'lik o'zining nosimmetrik nuri bo'lsa, uni faqat bir marta bosing. Bir marta bosilishi kerak bo'lgan chiroqlarga misollar, agar bu chiziq simmetriya bo'lsa, har qanday simmetriya ostidagi markaziy yorug'lik yoki diagonal ko'zgu simmetriyasi ostida diagonaldagi yorug'lik yoki markaz orqali gorizontal yoki vertikal chiziqdagi yorug'likdir.
Agar yorug'lik va uning barcha nosimmetrik chiroqlarini bosgandan so'ng simmetriya oshsa (masalan, bitta oyna simmetriyasi o'rniga 2 oyna simmetriyasi), keyin ortib borayotgan simmetriyani foydalaning.
Agar taxta naqshida simmetriya bo'lmasa nima bo'ladi?
Agar kengashda simmetriya bo'lmasa, u holda OFFdan ko'ra ko'proq chiroqlarni yoqadigan sekin urish mumkin. Keyin chiroqlarni bir-biriga yaqinlashtiradigan harakatlar qilish mumkin. Ertami-kechmi nosimmetrik pozitsiya paydo bo'ladi va keyin nosimmetrik sekin urish bilan davom etadi.
So'nggi uchta savol ko'proq umumiy holatlarga tegishli.
Ba'zi bir kengash naqshiga olib keladigan sekin urish ketma-ketligini topish uchun umumiy echim strategiyasi qanday?
Ushbu jumboqning tarixi va umumiy yechimning tasmasi Vikipediyada berilgan. Yana bir matematik tavsif ko'proq havolalar bilan Wolfram MathWorld da berilgan. Bizning natijalarimiz ushbu nashrlarda mavjudmi yoki yo'qligini tekshirishni xohlashingiz mumkin.
Ba'zi chiroqlarning har bir boshlang'ich holati yoqilgan va qolganlari OFF bo'lgan barcha chiroqlar yoqilganiga o'zgartirilishi mumkinmi? Agar yo'q bo'lsa, qanday qilib aytish mumkin? Berilgan o'lchamdagi taxtada tsikl bor-yo'qligini qanday aniqlash mumkin va agar u mavjud bo'lsa, tsiklni topish mumkin?
Bu savollarga tenglamalarning chiziqli algebraik tizimini shakllantirish va tadqiq qilish orqali javob berish mumkin. Bu haqda ko'proq ma'lumotni yuqorida keltirilgan havolalarda o'qish mumkin.
Agar binafsha chiroqlar mavjud bo'lsa, yuqoridagi nazariya hali ham amal qiladimi?
Binafsha chiroqlar hamma narsani o'zgartirishi mumkin. Yuqoridagi har bir bayonotni binafsha chiroqlar mavjudligida hali ham amal qiladimi yoki bayonotlarni haqiqat saqlash uchun qanday o'zgartirish kerakligini tekshirish kerak. Chiziqli algebra binafsha chiroqlar bilan taxta qoplash uchun moslashuvchan va umumiy bo'ladi.
Follow or subscribe for updates: