چراغ‌ها

همچنین از این فرصت برای تجزیه و تحلیل مسایل ریاضی استفاده کرده و نتایج این تجزیه و تحلیل را به قسمت‌های زیر تقسیم کرده‌ایم:

فرضیه (گزاره پیشنهادی به عنوان نقطه شروع برای بررسی بیشتر)
تعریف ) توضیح معنی یک کلمه یا واژه (
تئوری ) حکم (
مقدمه ) فرضیه (
اثبات ) فرضیه‌ای که به‌صورت قطعی یک حکم یا فرضیه را اثبات می‌کند. علامت □ به نشانۀ پایان اثبات می‌باشد (
استنباط ) فرضیه‌ای که براساس مقدمه یا تئوری پیش می‌رود (

خیر. وضعیت یک چراغ فقط به تعداد روشن کردن های آن چراغ و چراغ های همسایه ی آن بستگی دارد، نه به ترتیب تغییر وضعیت. اگر تعداد تغییر وضیت زوج باشد آنگاه چراغ وضیت خود را تغییر نمی دهد و اگر این تعداد فرد باشد آنگاه وضعیت تغییر می کند، بدون اینکه به ترتیب تغییر وضعیت بستگی داشته باشد.

مثال:

دو چراغ که نسبت به یکدیگر همسایه هستند را در نظر بگیرید. نام این چراغ‌ها بترتیب Aو B هستند. حالا این چراغ‌ها را این ترتیب انتخاب کنید: A, B, B, A. نتیجه این انتخاب‌ها چیست؟ ↠حالت روشن و خاموش بودن چراغ‌ها هیچ تغییری نمی‌کند. زمانیکه شما چراغ B را دو بار انتخاب می‌کنید، وضعیت چراغ به حالت اول باز می‌گردد. به‌همین ترتیب دو بار انتخاب کلیک A هم یاعث تغییر آن نمی‌شود.

حال بیایید ترتیب انتخاب بالا را برعکس انجام دهید یعنی: B, A , B , Aحال نتیجه چیست؟ ↠مجداداً هیچ چیز تغییر نمی‌کند و حالت چراغ‌ها مانند وضعیت اول ثابت باقی می‌مانند. بنابراین اگر حالتی از انتخاب کردن چراغ‌ها مانند انتخاب Aو سپس Bرا دو بار پشت هم تکرار کنید، وضعیت چراغ‌ها مانند حالت اول ثابت می‌ماند.

یک روش برای به حداقل رساندن تعداد کلیک‌ها روش زیر می‌باشد :

برای حل معما ابتدا تعداد کلیک‌های مورد نیاز برای هر چراغ را برای خودتان بنویسید.سپس به‌جای تمامی اعداد زوجی که برای چراغ‌ها به‌دست آوردید صفر و برای تعداد کلیک‌های فرد عدد 1 را قرار دهید. دنبالۀ ایجاد شدۀ جدید تاثیر مشابه‌ای مانند راه حل اول دارد.

تعریف
یک دنباله تعداد دفعات کلیکی می‌باشد که حداکثر برای یک چراغ در نظر گرفته می‌شود. به این وضعیت کاهش می‌گوییم.

m

n

m

n

از آنجا که ترتیب کلیک ها مهم نیست، کافی است برای هر چراغ بدانید که آیا در راه حل کلیک شده است یا خیر. بنابراین برای یک جستجوی کامل brute force کافی است که روی تمام ترکیبات همه چراغ ها کلیک کنید.

اگر صفحه بازی دارای تعداد h×w چراغ باشد، آنگاه 2^h×w ترکیب از آنها وچود دارد. (2 ترکیب برای هر چراغ که در هر ترکیب خاموش یا روشن است). این جست و جوی brute force بیش از حد طول می کشد. با این حال، اگر «یادداشت‌های راهنما» روشن باشد (در مسابقات موجود نیست)، می‌توانید به سادگی روی همه چراغ‌ها یکی یکی کلیک کنید و بررسی کنید که آیا این کلیک شما را به راه‌حل نزدیک‌تر کرده است یا خیر. اگر بله، آن را رها کنید، در غیر این صورت دوباره روی آن کلیک کنید.

مقدمه:

اگر در یک مستطیل مشبک همه ی چراغ ها روشن باشد و هر چراغ یک بار رویش کلیک شود سپس چراغهای گوشه ای خاموش خواهند شد (0)، همه ی چراغ ها گوشه ای روشن میشوند (#)و مابقی چراغ ها اموش خواهند ماند(0)همانطور که در برد 4 x 4نشان داده شده است.

            # # # #      O # # O
            # # # #      # O O #
            # # # #      # O O #
            # # # #      O # # O

            before       after

اثبات:

برای شروع، هر چراغ به خوی خود یکبار کلیک شده است بنابراین یکبار عوض شده است. هر چراغ همچنین هر بار که خانه کناری آن کلیک میشود، عوض میشود.

پس، اگر تعداد چراغ های همسایه زوج باشد، چراغ به تعداد زوج عوض خواهد شد، در کل به تعداد فرد. بنابراین خاموش خواهند ماند اگر بصورت پیش فرض خاموش خواهند ماند.

متشابها، اگر تعداد مربع های همسایه فرد باشد، چراغ ها به تعداد فرد عوض خواهند شد، در کل به تعداد زوج. بنابراین، روشن خواهند ماند اگر از بصورت پیش فرض روشن بوده باشند.

با شمارش تعداد همسایه های هر چراغ، هرنفر بیانیه ی مقدمه ای دریافت میکند. □

گر هر چراغ به تعداد زوج کلیک شود، عمل کاهش هیچ کلیکی بر چراغ انچتم نمیدهد و این عجیب نیست که همه چراغ ها روشن خواهند ماند. اما آیا یک دنباله کاهش یافته وجود دارد که با چراغ های روشن ، شروع و خاموش شود.؟

تعریف:

یک دنباله کاهش یافته که شامل حداقل یک کلیک میشود، اگر همه چراغ ها قبل و بعد از دنباله تغییر حالت نداده باشند، یک چرخه نامیده میشود.

ما به دنبال چرخه ها خواهیم گشت با شروع کردن با همه چراغ ها در حالت روشن و پایان دادن با همه چراغ ها روشن. چنین چرخه ای همه وضعیت های اولیه را دست نخورده و تغییر نیافته بجا خواهد گذاشت. مثلا اگر ما یک برد را با تعدادی چراغ روشن وو خاموش شروع کنیم و این چرخه را اجرا کنیم، آن چراغ مشابه روشن و خاموش میمانند. آیا میتوانید اثبات کنید چرا؟

ک احتمال برای پیدا کردن یک چرخه این است که:

شروع با همه چراغ ها روشن
داشتن 2دنباله کاهش یافته که همه چراغ ها را خاموش کند
اضافه کردن هر دو دنباله به یک دنباله که با همه چراغ ها روشن شروع کنیم، با همه چراغ ها روشن پایان یابد.
کاهش دادن آن دنباله تلفیقی به یک دنباله. این دنباله کاهش یافته شامل کلیک هایی باشد چون هر دو دنباله فرق دارند. پس حتما باید یک کلیک در یک دنباله باشد که در دنباله اصلی نباشد. آن دنباله کاهش یافته تلفیقی این کلیک را دارد.

برای چه اندازه برد این امکان وجود دارد؟ برای یک اندازه مشخص یک نفر میتواند این جواب را با فرمولی کردن یک معادله های سیستم جبر خطی تحقیق کردن در مورد آن بدست آورد.

این حالت از برد نسبت به 2قطر مربع قرینه است. در گذشته یاد گرفته ایم که در این برد متقارن چراغ های قطری خاموش باید کلیک شوند. اگر کلیک کنیم ، میفهمیم که همه چراغ ها روشن میشوند. لطفا خودتان امتحان کنید.

اگر یک چرخه پیدا شود می‌توان از آن برای کاهش تعداد دنباله کلیک های بعدی استفاده کرد.

مقدمه:

اگر چرخه ای با تعداد فرضی Cکلیک را داشته باشیم و دنباله داده شده به ما nکلیک داشته باشد، آنگاه جایگزین کردن nکلیک با تعداد c-nکلیک که در چرخه نیستند به ما یک دنباله مساوی میدهد.

اثبات:

این یک اثبات عملی است. برای مثال به ما نشان خواهد داد چگونه همچین دنباله ای را بسازیم.

اگر ما دنباله را به چرخه خود اضافه کنیم، چرخه ساخته شده جدید مساوی قبلی خواهد بود چونکه ما چرخه را به آن اضافه کردیم. در دنباله جدید هر تعداد از کلیک ها دوبار انجام میشوند؛ یکبار در دنباله اصلی و یک بار هم در چرخه. با کاهش دادن: به طور مثال با پاک کردن دبل کلیک ها دنباله جدید هنوز هم برابر قبلی خواهد بود ) زیرا کاهش دادن دنباله های برابر خواهد ساخت (و الان ما به جای nکلیک تعداد c-nکلیک خواهیم داشت.□

استنباط:

اگر c-nآنگاه دنباله جدید کوتاه تر خواهد بود. این قضیه برقرار خواهد بود اگر و تنها اگر n > c/2اگریک دنباله در تعداد بیشتر از نصف کلیک ها با یک چرخه اشتراک داشته باشد آنگاه دنباله با استفاده از چرخه قابل کاهش یافتن خواهد بود.

مثال:

با مداد و کاغذ یک لیست از 13چراغ روی یک جدول 4x4بسازید. با همه چراغ های روشن شروع کنید و 13چراغ را کلیک کرده و یک شکل از نتیجه را روی کاغذ بکشید. ) چرا 13و مثلا چرا 12نه؟ در ادامه خواهیم دید. (حالا چک کنید که کدام یک از این 13کلیک به چرخه تعلق دارد و یک لیست از آن بسازید که کدام کلیک ها ازین چرخه با کلیک های دیگر چرخه جابجا شده اند.

حالا دوباره با چراغ های روشن شروع کنید و این دنباله کوتاه تر را اجرا کنید. نتیجه چیست؟

تئوری:

یک دنباله از کلیک ها روی یک صفحه 4×4حداکثر میتواند به 12کلیک کاهش یابد.

اثبات:

پیشتر آموختیم که یک دنباله کاهش یافته روی یک صفحه 4×4تنها میتواند 4×4=16کلیک داشته باشد. بنابراین یک دنباله میتواند حداکثر 16-8=8کلیک داشته باشد که به چرخه تعلق ندارند. ما یاد گرفتیم که اگر یک دنباله بیشتر از نصف کلیک های یک چرخه را داشته باشد قابلیت کوتاه شدن و خلاصه شدن را دارد. بنابراین یک دنباله کاهش یافته و خلاصه شده حداکثر میتواند داشته باشد:
) 8کلیک که به چرخه تعلق ندارد (
) + 8/2نصف کلیک های یک چرخه (
= 12کلیک
روی هر صفحه □ .4×4

استنباط:

هر صفحه ممکن 4×4را میتوان حداکثر با 12کلیک حل کرد.

شفاف سازی:

این قضیه این را بیان نمیکند که آیا دنباله ای به طول 12 وجود دارد که نمی توان آن را با چرخه ها کوتاه کرد. شاید حداکثر طول 12، 10 یا 8 باشد. قضیه فقط می گوید که نمی تواند بیش از 12 کلیک داشته باشد.

ما نیازداریم که همه چراغ هایی که در چرخه نیستند را روشن کنیم، پس هر 8خانه در قطر را باید روشن کنیم. سپس باید 4چراغ از چرخه را انتخاب کنیم، برای مثال اولین خانه در جهت ساعت گرد در هر سمت. برای یک پازل با راه حل 12کلیکی ما به این پازل میرسیم:

            # O O #
            O # # O
            O # # O
            # O O #

خیر. در حال حاضر این 4 کلیک

            · © · ·
            © · · ·
            · · · ©
            · · © ·

            # O O #
            O # # O
            O # # O
            # O O #

یعنی ما یک چرخه جدید 12+4=16 کلیک داریم، هورا! 🥳 اگر دابل کلیک کنیم (© + © = ·)، این چرخه جدید 12 کلیکی باقی می ماند:

            © · © ©       · © · ·       © © © ©
            © © © ·   +   © · · ·   =   · © © ·
            · © © ©       · · · ©       · © © ·
            © © · ©       · · © ·       © © © ©

مجموع دو چرخه باید یک چرخه باشد، یعنی صفحه بازی را تغییر نمی دهد:

            © © © ©       · © © ·       © · · ©
            · © © ·   +   © · · ©   =   © © © ©
            · © © ·       © · · ©       © © © ©
            © © © ©       · © © ·       © · · ©

90° نسخه چرخانده شده از چرخه 12 کلیک است، که چرخه سوم جدید ما است. لطفاً بررسی کنید که این نیز یک چرخه است.

دنباله های

            © · © ©         · · © ·
            © · · ·   and   © © © ·
            · · · ©         · © © ©
            © © · ©         · © · ·

هر کدام 8 کلیک دارند.

آیا می توان آنها را با 3 چرخه کوتاه تر کرد؟

ما این حدس اثبات نشده را در نظر می گیریم:

فرضیه:

حداکثر طول یک دنباله کلیک روی یک تخته 4×4 که با یک چرخه کوتاه نمی شود، 8 است.

به اثبات خوش آمدید. ابتدا باید نشان داد که هیچ چرخه مستقل دیگری وجود ندارد.

مشابه جدول های 4در 4ما باید:

با همه چراغ های روشن شروع کنیم.

هرچراغ را یکبار کلیک کنیم تا به شکل زیر برسیم:

هر چراغ روی قطر را یکبار و همچنین چراغ خانه وسط را یکبار کلیک میکنیم. نتیجه این خواهد شد که همه چراغ ها روشن میشوند.
دنباله را با از بین بردن همه دبل کلیک ها کاهش میدهیم که برای ما 25−9=16کلیک باقی خواهد گذاشت که با #نشان داده شده اند.
```
                    · © © © ·
                    © · © · ©
                    © © · © ©      (1)
                    © · © · ©
                    · © © © ·
```
تبریک! ما یک چرخه پیدا کردیم.

لطفا یکبار امتحانش کنید و خودتان را قانع کنید که کلیک کردن روی 16خانه که با علامت # مشخص شده اند چراغ های یک صفحه 5در 5را تغییر نمیدهد. این به سادگی مشاهده میشود وقتی که با خانه های روشن شروع کنیم.

تئوری:

یک دنباله از کلیک ها روی صفحه 5در 5حداکثر میتواند به 17کلیک کاهش خواهد یافت.

اثبات:

ما یادگرفتیم که حداکثر تعداد کلیک کاهش یافته روی یک صفحه 5در 5میتواند 5x5=25کلیک داشته باشد. ما یک چرخه 16کلیکی برای یک صفحه 5در 5را میشناسیم. بنابراین یک دنباله میتواند حداکثر 25-16=9کلیک داشته باشد که به چرخه تعلق ندارند. ما همینطورآگاه شدیم که اگریک دنباله بیشتر از نصف کلیک های یک چرخه را داشته باشد میتواند کوتاه شود. بنابراین یک دنباله کاهش یافته کوتاه شده حداکثر:
9) کلیک دارد که به چرخه تعلق ندارد (
+ 16/2) نصف کلیک های یک چرخه (
= 17 کلیک □

استنباط:

اگر یک صفحه پازل 5در 5داشته باشیم که از ما بخواهد همه چراغ ها را روشن کنیم،در صورتی که این پازل قابل حل شدن داشته باشد در حداکثر 17کلیک حل میشود.

شفاف سازی:

آیا این به این معنا است که توالی 17 کلیک وجود دارد که نمی شود کوتاه تر آن ها را نمایش داد؟

پاسخ:

نه. تا اینجا ما نمی دانیم.

از آنجایی که تخته بازی مستطیل شکل است، الگوی چراغ‌هایی که روشن/خاموش هستند ممکن است متقارن چرخشی 90° یا 180° باشد و یا ممکن است یک تقارن آینه ای در امتداد یک خط تقارن افقی یا عمودی داشته باشد. اگر تخته مربع باشد، ممکن است تقارن آینه ای در امتداد یک قطر یا حتی هر دو قطر داشته باشد.

در ادامه ایده این است که راه حل شامل تعدادی کلیک است که آن تقارن را دارند و کلیک های دیگری که آن تقارن را ندارند.

چگونه می توانیم در بازی پیشرفت کنیم؟

ممکن است با تابلویی مانند این مواجه شویم:

            O O O O O         
            # O # O #         
            O O # O O      (2)
            # O # O #         
            O O O O O

و فراموش کرده باشیم که چگونه به آن رسیده ایم. با انتخاب "روشن کردن یادداشت های راهنما" و کلیک کردن روی هر موقعیت به راحتی می توان این را فهمید. اگر عدد نشان داده شده در "یادداشت های راهنما: شما می توانید با حداکثر XX کلیک برنده شوید" کاهش یافته بود، ما موقعیت را یادداشت می کنیم، و اگر نه، دوباره روی آن کلیک می کنیم. ما این راه حل را در جایی پیدا می کنیم که © یک کلیک را نشان می دهد:

            · · · · ·
            © © © © ©
            · · © · ·      (3)
            · © · © ·
            © · © · ©

حالا باید غافلگیر و کنجکاو شویم!

چرا?

حالا چی؟

بنابراین (3) را به صورت مجموع یک قسمت متقارن و یک قسمت نامتقارن می نویسیم:

        · · · · ·     · · · · ·     · · · · ·
        © © © © ©     · © · © ·     © · © · ©
        · · © · ·  =  · · © · ·  +  · · · · ·
        · © · © ·     · © · © ·     · · · · ·
        © · © · ©     · · · · ·     © · © · ©

همانطور که دنبال کنندگان گنج به دنبال جواهرات هستند، ما در ریاضیات نیز به دنبال اشیاء منحصر به فرد هستیم. تجزیه فوق منحصر به فرد نیست. روش های زیادی برای نوشتن قسمت نامتقارن به صورت مجموع یک قسمت متقارن و قسمت غیر متقارن دیگر وجود دارد.

آیا یک تقسیم منحصر به فرد وجود دارد؟

ما از © + © = · استفاده میکنیم و بنابراین اکنون بنویسید

           · · · · ·     · · · · ·     · · · · ·     · · · · ·
           © © © © ©     · © · © ·     © · © · ©     · · · · ·
           · · © · ·  =  · · © · ·  +  · · · · ·  +  · · · · ·
           · © · © ·     · © · © ·     © · © · ©     © · © · ©
           © · © · ©     · · · · ·     · · · · ·     © · © · ©

           · · · · ·     · · · · ·
           © © © © ©     · · · · ·
        =  · · © · ·  +  · · · · ·
           © © © © ©     © · © · ©
           · · · · ·     © · © · ©

با دانستن اینکه در حال رسیدن به نتیجه هستیم، اکنون می خواهیم همه چیز را در مورد آن بدانیم.

چون تخته اصلی متقارن بوده و قسمت متقارن باید تخته متقارن بسازد، پس دنباله نامتقارن هم باید تخته متقارن بسازد.

این چیست؟

خواهیم دید که راه حل های غیر متقارن بسیار کمی وجود دارند که یک تخته متقارن ایجاد می کنند و همه کلیک هایشان در یک طرف خط تقارن وجود دارد.

اگر کسی در اطراف تخته بازی (5) راه برود و از طرف دیگر به آن و به راه حل (4) نگاه کند چه میشود؟

بنابراین (6) دنباله غیر متقارن دیگری است که همان تخته متقارن (5) را تولید می کند. آیا این یک تصادف است یا به طور کلی چنین است؟

این یک بیان کلی است:

اگر یک مسئله متقارن (اینجا (5)، دارای تقارن 180 درجه باشد) که توسط یک دنباله غیر متقارن (اینجا (4)) ایجاد می شود، انجام عمل تقارن (در اینجا یک چرخش 180 درجه) دنباله غیر متقارن جدید (اینجا (6)) روی این دنباله ایجاد می کند که تخته بازی یکسان را ایجاد می کند (اینجا (5)).

وقتی یکی هر دو دنباله نامتقارن را اجرا می کند چه اتفاقی می افتد؟

این چرخه جدید برای چه چیزی می تواند استفاده شود؟

آیا می توان چرخه click-16 را با چرخه click-12 کوتاه کرد؟ نتیجه باید یک چرخه باشد زیرا چرخه + چرخه = چرخه.

آیا چرخه click-16 نیز حاصل جمع دو راه حل نامتقارن یک مسئله متقارن است؟

چگونه این به حل تخته های متقارن کمک می کند؟

ما به این سوال پاسخ نمی دهیم، اما دو پیشنهاد داریم.

فرضیه:

هیچ چرخه دیگری برای تخته 5×5 وجود ندارد که ترکیبی از 3 چرخه با 12، 12 و 16 کلیک نباشد.

فرضیه:

حداکثر طول دنباله کلیک کوتاه شده ای از کلیک ها روی یک صفحه 5×5، 13 است.

ما این را به شما واگذار می کنیم که در مورد یک اثبات یا یک مثال متقابل به شکل یک چرخه مستقل دیگر یا یک دنباله با بیش از 13 کلیک فکر کنید که با 3 چرخه (7)، (8) و (1) که به ترتیب دارای 12، 12 و 16 کلیک کلیک هستند، نمی توان آنها را کوتاه کرد. فرضیه اول را می توان با استفاده از جبر خطی بررسی کرد (به ادامه مطلب مراجعه کنید)، اما یک اثبات ساده یا یک چرخه متفاوت خوب است. نمونه ای از یک دنباله با 13 کلیک که با 3 چرخه قابل کاهش نیست:

            © · © · ©
            · © · © · 
            © · © · ©
            · © · © · 
            © · © · ©

از جستجو (جستجوی دوباره) و اثبات لذت ببرید!

با چراغ هایی به تعداد hxw ، به تعداد 2 به توان hxw الگو از چراغ های روشن/خاموش وجود دارد. همانطور که قبلا متوجه شدیم، همچنین به تعداد 2 به توان hxw دنباله ممکنی از کلیک ها وجود دارد.

اما توالی هایی وجود دارند که منجر به یک الگوی صفحه خاص می شوند، یعنی هر دنباله و این دنباله + چرخه. بنابراین ما توالی های بیشتری نسبت به الگوی صفحه قابل دسترسی داریم، بنابراین باید الگوی صفحه ای وجود داشته باشد که قابل دسترسی نیستند.

در ریاضیات کلماتی برای چنین موقعیت هایی وجود دارد. اگر هر دنباله از کلیک ها منجر به الگوی متفاوتی شود، نقشه توالی به الگو injective نامیده می شود. اگر هر الگو ای نتیجه توالی ای از کلیک ها باشد، نقشه توالی به الگو را surjective می نامند. بنابراین نقشه ما از توالی کلیک‌ها روی الگو، غیر تزریقی (non-injective) و غیر سطحی (non-surjective) است.

تمرین آماده سازی

اگر گروه کوچکی از چراغ‌های اطراف خاموش هستند، ابتدا باید چه چیزی را امتحان کنید؟

اگر الگوی تخته متقارن باشد چه باید کرد؟

تخته اولیه ممکن است با توجه به یک یا هر دو مورب یا با توجه به خط تقارن افقی و/یا عمودی متقارن آینه ای باشد. سایر تقارن ها ممکن است 90° یا 180° تقارن چرخشی باشند. در بخش تقارن در این بازی چه نقشی دارد؟ استراتژی زیر را استخراج کردیم.

یکی گروه‌هایی از کلیک‌های متقارن را انجام می‌دهد که تقارن را تا زمانی که همه چراغ‌ها روشن می‌شوند حفظ می‌کنند، یا زمانی که صفحه‌ای به اندازه 5×5 دارند تا زمانی که به یکی از این تخته‌ها می‌رسند:

                    O O O O O            # O O O O             # O O O #
                    O O O O O            O O O O O             O O O O O
                    # O # O #  (5) or    O O O O O  (11) or    O O O O O  (12)
                    O O O O O            O O O O O             O O O O O
                    O O O O O            O O O O #             # O O O #

(یا چرخش‌های 90 درجه آنها) و سپس به سادگی اجرا می‌شود. دنباله ها:

                    · · · · ·            · · · · ·             · © © © ·
                    · · · · ·            © · · · ·             © · © · ©
                    · · · · ·  (4) resp  © © · · ·  (13) resp  © © · © ©  (1)
                    © · © · ©            © · © · ·             © · © · ©
                    © · © · ©            · © © © ·             · © © © ·

(به ترتیب چرخش 90° آنها).

"بازی متقارن" به چه معناست؟

اگر هر چراغی در خط تقارن خاموش است، خود این چراغ باید کلیک شود. دلیل: اگر یکی روی آن کلیک نکند و فقط روی یک چراغ همسایه کلیک کند، سپس چراغ دیگر متقارن با خط تقارن باید همچنین کلیک شود و سپس چراغ روی خط تقارن دو بار تغییر داده می شود (کلیک می شود) و خاموش می ماند.

به همین دلیل، اگر چراغی در این قطر روشن است، نباید روی این چراغ کلیک کرد.

اگر موقعیت با توجه به دو خط متقارن (2 مورب یا خط میانی افقی و عمودی) متقارن باشد، سپس قوانین فوق برای هردو خط اعمال می شود. هر چراغی روی این خطوط که خاموش است باید کلیک شود و هر چراغی روی این مورب ها که روشن است نباید کلیک شود تا همه چراغ ها روشن باشند و یک راه حل متقارن داشته باشد.

اگر تخته تقارن آینه ای نباشد، بلکه متقارن چرخشی باشد، برای حفظ این تقارن، گروه هایی از کلیک ها با همان تقارن چرخشی ایجاد می شود.

تقارن هرچه باشد، وقتی روی یک نور کلیک می کنید، روی نور(های) مربوط به تقارن نیز کلیک کنید. به عبارت دیگر، اگر تقارن 90 درجه است (تقارن چرخشی 4 برابر) سپس روی 3 چراغ دیگر نیز کلیک کنید، اگر تقارن 180 درجه است (تقارن چرخشی 2 برابر) سپس روی یک چراغ دیگر نیز کلیک کنید. اگر تقارن آینه ای است، روی چراغ متقارن آینه نیز کلیک کنید. اگر نوری نور متقارن خودش است، فقط یک بار روی آن کلیک کنید. نمونه‌هایی برای چراغ‌هایی که یک بار کلیک می‌شوند، نور مرکزی تحت هر تقارن یا نوری روی تقارن آینه مورب زیر مورب یا نوری در یک خط افقی یا عمودی از طریق مرکز هستند، اگر آن خط، خط تقارن باشد.

اگر پس از کلیک بر روی یک چراغ و همه چراغ های متقارن آن، تقارن افزایش یابد (مثلاً 2 تقارن آینه ای به جای یک تقارن آینه ای)، از این به بعد از تقارن افزایش یافته استفاده کنید.

اگر الگوی تخته متقارن نباشد چه باید کرد؟

تارخچه این بازی و روش‌های کلی حل آن را می‌توانید در آدرس زیر مطالعه کنید: http://en.wikipedia.org/wiki/Lights_Out_(game). توصیف عمیق‌تر روش حل این بازی به‌صورت مفاهیم ریاضی به‌مراه مابع بیشتر در آدرس زیر قرار دارد: http://mathworld.wolfram.com/LightsOutPuzzle.html.

پاسخ این سوالات را با بررسی کردن معادلات سیستم جبر خطی معما می‌توان یافت. برای کسب آموزی‌های بیشتر به منابع ارایه شده بالا رجوع کنید.

چراغ‌های بنفش در واقع همۀ وضعیت را تغییر می‌دهند. در حین حل معما باید حتما با موارد اشاره شده در بالا دقت کنید. در واقع باید تمامی شرایط بالا را برای حالتی که چراغ‌های بنفش وجود دارند بررسی کنید تا مطمئن شوید فرضیه‌های گفته شده درست عمل می‌کنند. در واقع اصول جبر خطی ذکر شده در قسمت بالا به اندازه‌ای انعطاف‌پذیر است که می‌توان مشکل حضور چراغ‌ای بنفش در معما را حل کرد.

چراغ‌ها©

چراغ‌ها^©