Play Magic Square Online

300000

Magic Square

Umumiy o'yinlar soni: 84060
G'alabalarning umumiy soni: 61655

O'quv rejalari

Kirish

Ta'rif:

"Sehrli kvadrat" - bu 3×3 sonlarning kvadratidir, unda ketma-ketlikda, ustunda va ikkala diagonalizdagi barcha sonlarning yig'indilari bir xil.

Odatiy savol:
Diagrammani sehrli kvadrat sifatida bajarish uchun savol belgisini qaysi raqam almashtirishi kerak?
```
	15  *  35
	50  *   ?
	25  *   *
			
```
Buni hal qilish oson. Har bir qatorda yig'indi 15+50+25=90. Diagonaldan o'rta qiymat 90−25−35=30 va^2-qatordan : 50+30+?=90 ⇒ ? = 10.

Quyidagi kabi kamroq raqamlar bilan Sehrli kvadratni qanday hal qilasiz?
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
			
```
Ushbu muammoni hal qilishning standart usuli qanday?
```
	P   Q   R
	U   V  47
	X  63   Z
	
```
o'zgaruvchilarni kiritish va barcha shartlarni
```
	P+Q+R = U+V+47 = X+63+Z = P+U+X = Q+V+63 = R+47+Z = P+V+Z = R+V+X,
	
```
kabi tenglamalar sifatida shakllantirish va bu tenglamalar tizimini P uchun bitta tenglamani olish va uni hal qilish uchun P-dan tashqari barcha noma'lumlarni yo'q qilish orqali hal qilish mumkin. Bu 7 noma'lum uchun 7 shart.

Quyida biz bunday tenglamalar tizimlarini hal qilmasdan Magic Square muammolarini hal qilmoqchimiz.

Umumiy munosabatlar va misollar

Keling, Sehrli kvadratdagi raqamlar orasidagi oddiy munosabatlarni ko'rib chiqaylik.

Kvadrat simmetriya operatsiyalari ko'p bo'lganligi sababli (4 aylanish + aks ettirish va ularning kombinatsiyalari), bunday simmetriya operatsiyalarida o'zgarmaydigan miqdorlarni aniqlaylik. Masalan, agar bizning kvadratimiz
```
	P  Q  R
	U  M  W
	X  Y  Z
	
```
bo'lsa, unda aylanish va aksga ostida o'zgarmaydigan bu miqdorlar
```
	C = Burchak qiymatlari yigʻindisi		(= P+R+X+Z)
	E = Oʻrta tomonning qiymatlari yigʻindisi		(= Q+U+W+Y)
	M = o'rta qiymat		(= M)
	S = Har bir satrda yigʻindi		(= P+Q+R = P+U+X = X+M+P = ...) .
			
```
Bu miqdorlar uchun qanday munosabatlar olish mumkin?
- Yuqoridagi tenglamalardan P, Q, R, U, W, X, Y, Z o'zgaruvchilarini chiqarib tashlash orqali C, E, M, S o'rtasida quyidagi munosabatlarni topish qiyin emas.
  
  Lemma 1:
```
	2C + E = 4S        (1)
	M + C + E = 3S     (2)
	C + 2M = 2S        (3)
	C − M = S          (4)
	3M = S             (5)
						
```
  Isbot.
  
  Yuqoridagi munosabatlar quyidagicha natijada:
  
  (1) 4 qirralarini yig'ishdan
  (2) barcha sonlarni yig'ishdan
  (3) 2 diagonalizlarni yig'ishdan
  (4) dan (1) - (2)
  (5) dan (3) - (4)
  
  ▢
  
  (1), (2) va (3) ni C, E va S ni ularning summalari bilan almashtirish orqali tekshiring.
  
  Ular qanday yordam berishlari mumkin? Misol uchun, (5) munosabati quyidagi misollarni hal qilish uchun etarli.
  
  Misol:
```
	3  2  7
	*  ?  *
	*  *  *
						
```
  Yechim
  
  ^1-qatordagi barcha 3 sonlar berilganligi sababli S = 3+2+7 = 12 ekanligini bilamiz. Shunday qilib, (5), ? = 12/3 = 4.
  
  Misol:
```
	11  *  4
	*  6  *
	*  ?  *
						
```
  Yechim
  
  Q = 1-chi satrning o'rta qiymati. Keyin (5), 11+Q+4 = 3×6 ⇒ Q = 18−4−11 = 3.
  
  Shunday qilib, ? = 18−6−3 = 9.
  
  Misol:
```
	*  *  5
	*  9  *
	?  *  *
						
```
  Yechim
  
  By (5), ?+9+5 = 3×9 = 27 ⇒ ? = 27−9−5 = 13.
  
  Misol:
```
	*  *  5
	*  ?  *
	9  *  *
						
```
  Yechim
  
  By (5), 5+?+9 = 3×? ⇒ 14 = 2×? ⇒ ? = 14/2 = 7.
  
  Misol: Quyidagi jumboqda 7,...,15 raqamlari mavjud. P ning qiymati nima?
```
	P   *   *
	*   *   *
	*   *  14
						
```
  Yechim
  
  Ushbu Sehrli kvadrat 7 dan 15 gacha bo'lgan butun sonlar bilan to'ldirilganligini bilmasdan, berilgan bitta raqam etarli bo'lmagan bo'lar edi. Ammo bu ma'lumot bilan va (5) tomonidan,
  
  3S = (7+15) + (8+14) + (9+13) + (10+12) + 11 = 4×2 + 11 = 99 ⇒ S = 33 ⇒ M = 11 ⇒ 14 + 11 + P = 33 ⇒ P = 8.
  
  Quyidagi muammo haqida nima deyish mumkin?
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
						
```
  Bu erda bizga ko'proq munosabatlar kerak.

Umumiy nazariya

Siz o'ylab ko'rishingiz mumkin bo'lgan eng oddiy Sehrli kvadratlar nima?
Bizning strategiyamiz eng oddiy Magic Square
```
	0 0 0
	0 0 0        (6)
	0 0 0
	
```
dan boshlash va "deformatsiyalarni", ya'ni Sehrli kvadratni boshqa Sehrli kvadratga o'zgartirish usullarini topishdan iborat bo'ladi. Birinchi bunday deformatsiya barcha maydonlarga bir xil qiymatni 1 qo'shishdir:
```
	1 1 1
	1 1 1        (7)
	1 1 1
				
```
Bu ham sehrli kvadrat. Yana qanday umumlashtiruvchi deformatsiyalar mavjud?
Mumkin bo'lgan deformatsiyalarni qidirishdan oldin, biz avval qulay ta'rifdan foydalanamiz.

Ta'rif:
Matematik ob'ektlar to'plami ma'lum bir operatsiya ostida yopiladi, agar ushbu operatsiyani to'plamdagi har qanday ob'ektda bajarish to'plamdan boshqa ob'ektga olib keladi. Misol uchun:
- Butun sonlar to'plami qo'shimcha ostida yopiladi, ya'ni har qanday ikkita butun sonni birlashtirib, butun sonni hosil qiladi.
- Real sonlar to'plami bo'linish ostida yopilmaydi (lekin nolga teng bo'lmagan bo'linish bilan yopiladi, ya'ni 0 bo'lmagan sonlarga bo'linish).
1-teoremas:
Barcha sehrli kvadratlar to'plami qo'shish va skalar ko'paytirish (skalar ko'paytirish sehrli kvadratdagi har bir yozuvni haqiqiy raqam bilan ko'paytirish sifatida belgilanadi) yopiladi.

Ushbu teoremasni isbotlashga harakat qilmoqchimisiz?
Isbot.
1. Chunki qo'shish kommutativdir: Agar 2 ta sehrli kvadratlar
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23        (8)
	a31 a32 a33
	
```
  va
```
	b11 b12 b13
	b21 b22 b23        (9)
	b31 b32 b33
	
```
  birga qo'shilsa:
```
	a11+b11  a12+b12  a13+b13
	a21+b21  a22+b22  a23+b23        (10)
	a31+b31  a32+b32  a33+b33
	
```
  u holda bu ham sehrli kvadrat, chunki masalan, (10) ning dastlabki ikki satri teng summaga ega.
```
	a11+b11 + a21+b21 + a31+b31
	= a11+a21+a31 + b11+b21+b31      (qo'shishning kommutativligi)
	= a12+a22+a32 + b12+b22+b32      (chunki (8) va (9) sehrli kvadratlardir)
	= a12+b12 + a22+b22 + a32+b32    (va biz buni ko'rsatishni istadik)
							
```
  Xuddi shunday, (10) ning boshqa satrlari yig'indilarining tengligini ko'rsatish mumkin.
2. Taqsimlash qonuni tufayli, agar (8):
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23
	a31 a32 a33
	
```
  sehrli kvadrat bo'lsa,
```
	b×a11  b×a12  b×a13
	b×a21  b×a22  b×a23
	b×a31  b×a32  b×a33
	
```
  ham sehrli kvadratdir, chunki, masalan, agar
```
	a11 +   a12 +   a13  =    a21 +   a22 +   a23  keyin	b×(a11 +   a12 +   a13) = b×(a21 +   a22 +   a23)  va	b×a11 + b×a12 + b×a13  =  b×a21 + b×a22 + b×a23 .
							
```
  ▢
Natija 1.1:
Ushbu teoremasni qo'llash shuni anglatadiki, sehrli kvadratning barcha maydonlaridan o'rta qiymatni olib tashlash (ya'ni M marta sehrli kvadrat (7)) olib tashlash) o'rta qiymati 0 bo'lgan Sehrli kvadratni beradi.

Boshqa deformatsiyalarni topish muammomizga qaytaylik. Keyingi deformatsiyaga xalaqit bermaslik uchun markaz qiymatini 0 sifatida saqlashi kerak −M×(7).
Yuqori chapni 1 ga o'zgartiraylik (mumkin bo'lgan eng kichik qiymat):
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  *  *
			
```
Chunki, M = 0, keyin S ham nol bo'lishi kerak, ya'ni
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  * −1
			
```
Yuqori o'ng burchak 0 bo'lishi mumkin, ammo keyin boshqa barcha o'zgarishlar tuzatiladi:
```
	+1 −1  0
	−1  0 +1        (11)
	0 +1 −1
			
```
Bu sehrli kvadratning o'zi.

Biz simmetriya transformatsiyasi orqali Sehrli kvadratning yana bir deformatsiyasini olamiz. Bu shuni anglatadiki, Sehrli kvadratning har qanday aks ettirilishi yoki aylanishi ham Sehrli kvadratni beradi. Asosiy diagonalda aks ettirish yangi Magic Square bermaydi, lekin aylanish yangi Magic Square beradi:
```
	0 −1 +1
	+1  0 −1        (12)
	−1 +1  0
			
```
Endi biz 1 teoremasini uch marta qo'llaymiz.
Sehrli kvadratni bersak, avval o'rta qiymatni nolga aylantirish uchun a22×(7) kvadratini olib tashlaymiz. Keyin yangi kvadratdan a11×(11) kvadratini olib tashlaymiz, shunda yuqori chap burchak nolga teng. O'rta nol qoladi, chunki a11×(11) o'rta qiymati 0. Keyin a13×(12) kvadrati chiqariladi, shunda yuqori o'ng burchak nolga teng. Buni amalga oshirishda o'rta qiymat va yuqori chap burchak nol bo'lib qoladi, chunki bu maydonlar a13×(12) da nolga teng. Shunday qilib, bu shuni anglatadiki, har qanday Sehrli kvadratdan (7), (11) va (12) kvadratlarning mos ko'paytmalarini olib tashlash mumkin, S qiymati nolga teng bo'lgan
```
	0 * 0
	* 0 *
	* * *
	
```
shaklidagi Sehrli kvadratni olish mumkin (chunki o'rta qiymat nol). Bu butun Sehrli kvadratning
```
	0 0 0
	0 0 0
	0 0 0
			
```
Ammo, ya'ni har bir Sehrli kvadratni M×(7) + A×(11) + B×(12) kvadratlarining ko'paytmasi sifatida yozish mumkin.

2-teoremas:
Har bir Sehrli kvadratni quyidagi shaklda yozish mumkin
```
	M+A     M−A−B   M  +B
	M−A+B     M     M+A−B        (13)
	M  −B   M+A+B   M−A  .
			
```
Isbot

Yuqorida ko'rsatilganidek, har bir Sehrli kvadrat (7), (11) va (12) ning ko'paytmalarini olib tashlash orqali faqat nollardan iborat kvadratga qisqartirilishi mumkin.

▢

Matematik tilda shunday deyish mumkin:
Sehrli kvadratlar (7), (11) va (12) barcha Sehrli kvadratlar uchun generatorlarning to'liq to'plamidir.
Endi biz barcha Sehrli kvadratlarning mohiyatini bilamiz, bu Sehrli kvadratlar muammolarini hal qilishda foydalimi? (5): 3M = S qoidasi bilan biz kvadratning bitta komponenti va S o'rtasida oddiy va foydali munosabatni topdik. Mana yana ikkitasi.

Lemma 2:
Har bir burchak qiymati diagonal qarama-qarshi burchakka ulashgan 2 qiymatlarining o'rtacha qiymatidir.

Isbot

Masalan, yuqori chap burchagida (13), M+A = ((M+A+B)+(M+A-B))/2 va xuddi shunday boshqa 3 burchaklar uchun.

▢

Bu oddiy qoida oldingi muammoni
```
	?  *  *
	*  * 47
	* 63  *
	
```
ga qisqartirish orqali darhol hal qiladi ? = (63+47)/2 = 55. Mana yana bir munosabat:

Lemma 3:
Kvadratning o'rtasida bo'lgan har bir chiziq uchun o'rta qiymat M chiziqdagi boshqa ikki qiymatning o'rtacha qiymatidir.

Isbot

(13) tekshiruvi orqali.

▢

Natija 2.1:
Agar bitta raqamdan boshqa hech narsa berilmasa, unda boshqa raqamni aniqlab bo'lmaydi.

Xulosa 2.2:
Agar 2 ta raqam berilgan bo'lsa va 2 yoki 3 lemmalari qo'llanilsa,^3-chi raqam belgilanadi.

Xulosa 2.3:
Agar 2 yoki 3 lemmalari orqali bog'liq bo'lmagan 3 ta son berilgan bo'lsa, unda bu 3 raqam butun Sehrli kvadratni belgilaydi.

Xulosa 2.4:
Barcha Magic Square muammolari berilgan sonlardan M, A va B ni hisoblash va boshqa barcha sonlarni topish uchun M, A va B qiymatlarini (13) ga qo'yish orqali osonlikcha hal qilinadi.

Eng qiyin qiyinlik darajasi haqiqatan ham shunchalik qiyinmi?

Sehrli kvadratga (13) qarasak, A, B va M 3 mustaqil parametr mavjudligini ko'ramiz. Agar faqat 2 berilgan bo'lsa (va eng qiyin daraja uchun markaz qiymati = M hech qachon berilmaydi), u holda M erkin tanlanishi mumkin va qolgan 2 berilgan qiymatlar A va B ni belgilaydi.

M ning qaysi qiymati Sehrli kvadratni bajarishni eng oson qiladi?
- Markaz qiymati sifatida M = 0 ni tanlab, markazdan o'tgan barcha chiziqlarni qarama-qarshi sonning belgisini 0 yig'indisini olish uchun almashtirish orqali tugatish mumkin. Qolgan raqamlar uchun faqat ikkita sonning ikkita farqi / yig'indisini qilish kerak.
  
  Misol:
```
	*   80    *
	*    *   56
	*    *    *
						
```
  Yechim
  Birinchidan, pastki chap burchagida o'rtacha (80+56)/2 = 136/2 = 68 qiymatini olish uchun lemma 2ni qo'llashimiz mumkin:
```
	*  80   *
	*   *  56
	68   *   *
	
```
  Keyin, o'rtada 0 qo'shib, o'rtadagi sonlarni belgilarni almashtirish orqali aks ettirgandan so'ng:
```
	*   80  −68
	−56    0   56
	68  −80    *
	
```
  Nihoyat, barcha summalar 0 bo'lganligi sababli, yuqori chap burchak 68−80 = -12 bo'lishi kerak. Shuning uchun ushbu misolning eng oddiy yechimi quyidagicha:
```
	−12   80  −68
	−56    0   56
	68  −80   12
							
```
Vaqtni tejash
- Agar biz barcha sonlarni bitta chiziqdagi va uni kesib o'tadigan chiziqdagi 2 sonlarni bilsak, unda hisoblashni biroz tezlashtirishimiz mumkin, ayniqsa raqamlar katta bo'lsa.
  
  Misol:
```
	P  *  *
	U  ?  W
	X  *  *
	
```
  P, U, X, W ma'lum va biz topishni istaymiz ?.
  Biz bilamizki, P+U+X = U+?+W va shuning uchun P+X = ?+W. Shuning uchun, ? = P+X−W.
  Nima qilish mumkin, P, X dan qaysi biri W-ga eng yaqin ekanligini tekshirish va keyin hisoblash ? = X+(P−W). Bu S = P + U + X ga qaraganda tezroq hisoblash uchun tezroq ? = S−U−W, ayniqsa P−W kichik boʻlsa. Siz buni Muntjac darajasida amalga oshirishingiz mumkin.

Xulosa

Biz murakkab matematik muammoni hal qilish uchun umumiy yondashuvni o'rgandik (bu erda aylanish va ko'zgu simmetriyalari) va maxsus echim (bu erda Sehrli kvadrat (11)) bu simmetriyalarga ega bo'lmagan ((11) aylanish nosimmetrik emas), shuning uchun simmetriya operatsiyasini qo'llanilganda yangi maxsus yechim hosil bo'ladi (bu erda (11) → aylanish → (12)).
Bundan tashqari, biz chiziqli ob'ektlar uchun masalalarda maxsus yechimlarning to'liq to'plamining ko'paytmalarini qo'shish orqali umumiy yechimni qanday olish mumkinligini ko'rdik (bu erda har bir sehrli kvadratni (7), (11) va (12)) ning ko'paytmalari yig'indisi sifatida yozish mumkin).

Endi siz tezda Magic Square o'yinida g'alaba qozonishingiz mumkin ... Adolatli va maydon!

Follow or subscribe for updates: