幻方

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学习目标

介绍

定义：

“（三阶）幻方”是将数字安排在 3×3 的正方形格子中，使每行、每列和每条对角线上的 3 个数字之和都相等。

典型例题：
在问号处填写什么数字，可以使下图构成一个幻方？
```
     
	15  *  35
	50  *   ?
	25  *   *
			
```
解法很简单。每一条直线上的数字之和为 15+50+25=90。根据对角线上的数字可知，中间的数字为 90-25-35=30，再看第二行：50+30+?=90 → ? = 10。

如何解决已知数字有限的幻方问题？
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
			
```
这个问题的标准解法是什么？我们可以引入变量。
```
	P   Q   R
	U   V  47
	X  63   Z
	
```
根据所有已知条件可列出方程，如下
```
	P+Q+R = U+V+47 = X+63+Z = P+U+X = Q+V+63 = R+47+Z = P+V+Z = R+V+X,
	
```
我们可以消除除P值以外的所有未知数来获得一个关于 P 的方程组，然后解方程式。共有包含 7 个未知数的7个已知条件。

下面，我们用另外一种无需解方程组的方式来解决幻方问题。

通用关系及例子

我们寻找一下幻方中各个数字之间的简单关系。

由于正方形有许多对称操作(4种旋转+镜像对称及其组合)，让我们定义出在这种对称操作下保持不变的数量关系。比如，幻方阵是这样的：
```
	P  Q  R
	U  M  W
	X  Y  Z
	
```
那么旋转和镜像对称后保持不变的数量关系有
```
	C = 四个顶点处的数值之和		(= P+R+X+Z)
	E = 各边中点处的数值之和		(= Q+U+W+Y)
	M = 最中间的数值		(= M)
	S = 各条线上的数值之和		(= P+Q+R = P+U+X = X+M+P = ...) .
			
```
从这些数量关系可以推导出什么其它关系？
- 将上述方程消去变量 P, Q, R, U, W, X, Y, Z，就不难发现 C, E, M, S之间的关系。
  
  论点 1：
```
	2C + E = 4S        (1)
	M + C + E = 3S     (2)
	C + 2M = 2S        (3)
	C − M = S          (4)
	3M = S             (5)
						
```
  证明。
  
  上述关系的推导过程如下:
  
  (1) 由幻方四边相加求和可得
  (2) 由所有数字相加求和可得
  (3) 由两条对角线上的数字相加求和可得
  (4) 由 (1) - (2) 可得
  (5) 由 (3) - (4) 可得
  
  ▢
  
  (1), (2) 和 (3) 可通过将 C, E, S 替换为它们的和来验证。
  
  这些关系式有什么用？例如，关系式 (5) 可以解决下面的问题。
  
  举例：
```
	3  2  7
	*  ?  *
	*  *  *
						
```
  解决方法
  
  因为第一行的3个数字都已知，我们知道S = 3+2+7 = 12。因此由 (5) 可得，?= 12/3 = 4。
  
  举例：
```
	11  *  4
	*  6  *
	*  ?  *
						
```
  解决方法
  
  假设 Q = 第一行的中间值。然后由关系式 (5) 可得11+Q+4 = 3? → Q = 18-4-11 = 3。
  
  因此，? = 18-6-3 = 9.
  
  举例：
```
	*  *  5
	*  9  *
	?  *  *
						
```
  解决方法
  
  由关系式 (5)可得，?+9+5 = 3? = 27 → ? = 27-9-5 = 13.
  
  举例：
```
	*  *  5
	*  ?  *
	9  *  *
						
```
  解决方法
  
  由关系式 (5) 可得，5+?+9 = 3? → 14 = 2? → ? = 14/2 = 7.
  
  举例: 已知下面的幻方由整数 7, 8, ...,15 这九个数组成。求 P 值是多少?
```
	P   *   *
	*   *   *
	*   *  14
						
```
  解决方法
  
  如果没有幻方由整数 7 到 15 组成的信息，只靠一个已知数值是无法求解的。但是根据已知条件和关系式 (5) 可得,
  
  3S = (7+15) + (8+14) + (9+13) + (10+12) + 11 = 4×2 + 11 = 99 ⇒ S = 33 ⇒ M = 11 ⇒ 14 + 11 + P = 33 ⇒ P = 8.
  
  那么下面这个问题如何求解？
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
						
```
  这里我们需要使用更多关系式。

一般理论

你能想到的最简单的幻方阵是什么?
下面的方案就从最简单的幻方阵开始
```
	0 0 0
	0 0 0        (6)
	0 0 0
	
```
找到‘变形’，也就是把这个幻方变成另一个幻方。第一个变形是将幻方里的所有数值都加 1:
```
	1 1 1
	1 1 1        (7)
	1 1 1
				
```
同样这也是一个幻方。还有什么其他一般的变形?
首先，我们定义一个“线性”数学对象。

定义：
我们说这个数学对象是线性的如果：
- 两个数学对象相加得到另一个类似的数学对象
- 一个数学对象的倍数是另一个类似的数学对象
定理1:
幻方是线性数学对象。

如何论证这一定理？
证明。
1. 因为加法的可交换性：如果 2 个幻方
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23        (8)
	a31 a32 a33
	
```
  和
```
	b11 b12 b13
	b21 b22 b23        (9)
	b31 b32 b33
	
```
  相加得到:
```
	a11+b11  a12+b12  a13+b13
	a21+b21  a22+b22  a23+b23        (10)
	a31+b31  a32+b32  a33+b33
	
```
  那么 (10) 也是一个幻方，因为方阵 (10) 的每两行（比如前两行）相加之和都相同。
```
	a11+b11 + a21+b21 + a31+b31
	= a11+a21+a31 + b11+b21+b31      (加法交换律)
	= a12+a22+a32 + b12+b22+b32      (因为 (8) 和 (9) 都是幻方)
	= a12+b12 + a22+b22 + a32+b32    (得到我们想要的结果)
							
```
  同样，我们可以证明方阵 (10) 中其他行的数值之和都相等。
2. 根据分配律，如果 (8):
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23
	a31 a32 a33
	
```
  是幻方，那么
```
	b×a11  b×a12  b×a13
	b×a21  b×a22  b×a23
	b×a31  b×a32  b×a33
	
```
  也是一个幻方，因为假如
```
	a11 +   a12 +   a13  =    a21 +   a22 +   a23  那么 
	b×(a11 +   a12 +   a13) = b×(a21 +   a22 +   a23)  即 
	b×a11 + b×a12 + b×a13  =  b×a21 + b×a22 + b×a23 .
							
```
  ▢
推论 1.1:
应用这个定理意味着在一个幻方的各个数值都减去中间值 (在幻方 (7)中，即减去 M) 于是得到一个中间值为 0 的幻方。

让我们回到变形问题上。下一个变形应该保持中间位置的数值为0，以不干扰变形 -M×(7)。
现在把左上角数字改为1 (最小可能值):
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  *  *
			
```
因为 M=0，所以 S 也一定为零，即
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  * −1
			
```
右上角数字可以保持为 0，那么其他变量也都可以确定下来:
```
	+1 −1  0
	−1  0 +1        (11)
	0 +1 −1
			
```
这就组成了一个幻方。

通过对称变换，我们得到幻方的另一种变形。也就是说，对幻方进行任意的镜像对称或旋转都会得到一个幻方。沿主对角线进行镜像对称不会得到一个新幻方，但是旋转会得到一个新幻方:
```
	0 −1 +1
	+1  0 −1        (12)
	−1 +1  0
			
```
现在我们使用三次定理 1。
给定一个幻方，首先我们减去正方形 a22×(7)使中间值为零。然后从新的正方形中减去正方形a11×(11)，这样左上角就变成了零。中间值保持为 0，因为a11×(11)的中间值是 0。然后减去一个正方形a13×12，使右上角变为零。这样做，中间值和左上角保持为零，因为a13×12中的这两处数值为零。也就是说，所有符合正方形(7)、(11) 和 (12) 倍数的幻方都可以相减，得到以下形式的正方形。
```
	0 * 0
	* 0 *
	* * *
	
```
其中 S 值为 0 (因为中间值为0)。显而易见，整个幻方的排列方式是
```
	0 0 0
	0 0 0
	0 0 0
			
```
但是，这就说明每个幻方都可以写成 M×(7) + a×(11) + B×(12) 的平方和。

定理 2：
每个幻方都可以写成以下形式
```
	M+A     M−A−B   M  +B
	M−A+B     M     M+A−B        (13)
	M  −B   M+A+B   M−A  .
			
```
证明。

如上所示，每个幻方都可以通过 (7)、(11) 和 (12) 的倍数相减而化为只有 0 的正方形。

▢

用数学语言表述，即 :
幻方 (7)、(11) 和 (12)是所有幻方的完全生成元。
现在我们知道了所有幻方的本质，这对解决幻方问题有用吗? 根据规则 (5): 3M = S，我们发现在正方形的单个分量和 S 之间存在一个简单又实用的关系。

论点 2：
每个顶点上的数值等于和它对角线方向顶点相邻的两个数值的平均值。

证明

比如，以 (13) 的左上角数值为例，M+A = ((M+A+B)+(M+A-B))/2，其他四个顶点也是如此。

▢

这一简单定律立即解决了前面的问题
```
	?  *  *
	*  * 47
	* 63  *
	
```
将其简化为 ?=(63+47)/2 = 55。得到另一个关系式:

论点 3
正方形中每条包含中间值的线上，其他两个数值的平均值等于中间值M

证明。

通过检验（13）可得。

▢

推论 2.1：
如果只给出一个数字，那么就不能确定其他数字。

推论 2.2:
如果给出两个数并且适用于引理 2 或 3，那么第三个数就能确定下来。

推论 2.3:
如果给出 3 个数字，且不适用于引理 2 或 3，那么这 3 个数字能确定幻方内的全部数值。

推论 2.4:
解决所有幻方问题都可以先通过已知的数字计算得出 M、A 和 B，然后将 M、A 和 B 的值代入 (13) 算出其他所有数值。

难度最大的题目真的有那么难吗?

幻方 (13) 有 3 个独立参数 A, B, M。如果只给出 2 个数字 (难度最大的题目中，不会已知中心值 = M)，那么 M 可被自由赋值，然后根据另 2 项已知数值可得出 A 和 B 的值。

M 为何值时幻方问题的难度最小？
- 设中心值 M=0，所有通过中心的线都可以简单地通过转换数字正负以保证数字和为0的方法来完成计算。对于剩下的数，只需要两两计算差/和。
  
  举例:
```
	*   80    *
	*    *   56
	*    *    *
						
```
  解决方法
  首先我们可以用引理 2 得出左下角的数值为 (80+56)/2 = 136/2 = 68:
```
	*  80   *
	*   *  56
	68   *   *
	
```
  赋予中间值为 0，然后通过镜像对称变换数字正负号:
```
	*   80  −68
	−56    0   56
	68  −80    *
	
```
  最后，因为所有直线上数字之和为 0，幻方左上角数值肯定是 68-80 = -12。因此，本例最简单的解决方法为:
```
	−12   80  −68
	−56    0   56
	68  −80   12
							
```
节省时间
- 如果已知一条线上的全部数字以及与之相交的另外一条线上的两个数字，我们就可以稍微加快计算速度，特别是当数值较大的时候。
  
  举例：
```
	P  *  *
	U  ?  W
	X  *  *
	
```
  这个幻方已知 P，U，X，W 的值，现在想求 ? 处的数值是多少。
  由题目可知 P+U+X = U+?+W，因此 P+X = ?+W。所以，? = P+X-W.
  现在我们可以检查 P 和 X 哪个最接近 W，比如是 P，然后计算 ? = X+(P-W)。这比计算 S = P+U+X, ? = S-U-W 要快得多，尤其是当 P-W 很小的时候。你可以在简单级别进行练习。

总结

目前我们学习了解决涉及对称性（旋转和镜面对称）的复杂数学问题（找到最普遍的幻方）的一般解法，以及不涉及对称性数学问题 ((11)不是旋转对称) 的特殊解法（幻方问题 (11)）。这样在进行对称运算时，就会出现一个新的特殊解法 ( (11) ? 旋转 ? (12))。
此外，我们还学习了解决线性对象问题的一般方法，即将全部方法的倍数相加 (每个幻方都可以写成 (7), (11) 和 (12) 的倍数之和)。

现在你可以堂堂正正地快速赢得幻方游戏的胜利了！