La Carré Magique

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Objectifs d'Apprentissage

Introduction

Définition:

Dans un « Carré Magique » 3×3, les 3 nombres sur chaque rangée, colonne et diagonale ont toujours la même « Somme Magique ».

Une question typique:
Quel nombre doit remplacer le point d'interrogation pour que la figure soit un Carré Magique?
```
     
	15  *  35
	50  *   ?
	25  *   *
			
```
C'est facile à résoudre. On trouve la somme de chaque ligne, 15+50+25=90. Puis, la diagonale donne la valeur centrale, 90−25−35=30 ce qui permet de compléter la 2^ème rangée, 50+30+?=90 → ? = 10.

Comment compléter un Carré Magique avec moins de nombres fournis, tel que ci-dessous?
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
			
```
Quelle est la méthode standard pour résoudre ce genre de problème? On pourrait introduire des variables
```
	P   Q   R
	U   V  47
	X  63   Z
	
```
et formuler toutes les conditions sous forme d'équations, telles que
```
	P+Q+R = U+V+47 = X+63+Z = P+U+X = Q+V+63 = R+47+Z = P+V+Z = R+V+X,
	
```
pour ensuite résoudre ce système d'équations en éliminant tous les inconnus sauf P afin d'obtenir une seule équation pour P et trouver ainsi sa valeur. Il y a 7 conditions pour 7 inconnus.

Par la suite, on se tâchera de résoudre les problèmes de type Carré Magique sans un tel système d'équations.

Relations Générales et Exemples

On part à la recherche des relations simples reliant les nombres dans le Carré Magique.

Étant donné qu'un carré a de nombreuses opérations symétriques (4 rotations + réflexion et les combinaisons de ces dernières), on définira les quantités qui ne changent pas par la suite de telles opérations. Par exemple, si le carré est
```
	P  Q  R
	U  M  W
	X  Y  Z
	
```
alors les quantités qui ne changent jamais après des rotations et/ou des réflexions sont
```
	C = la somme des valeurs dans les coins		(= P+R+X+Z)
	E = la somme des valeurs des bords		(= Q+U+W+Y)
	M = la valeur centrale		(= M)
	S = la somme de chaque ligne		(= P+Q+R = P+U+X = X+M+P = ...) .
			
```
Quelles relations peut-on dériver pour ces quantités?
- On peut aisément trouver les relations suivantes entre C, E, M, S en éliminant les valeurs P, Q, R, U, W, X, Y, Z des équations ci-dessus.
  
  Lemme 1:
```
	2C + E = 4S        (1)
	M + C + E = 3S     (2)
	C + 2M = 2S        (3)
	C − M = S          (4)
	3M = S             (5)
						
```
  Démonstration.
  
  On obtient les relations ci-dessus de la manière suivante :
  
  (1) on effectue la somme des 4 bords
  (2) on effectue la somme de tous les nombres
  (3) on effectue la somme des 2 diagonales
  (4) on soustrait (1) − (2)
  (5) on soustrait (3) − (4)
  
  ▢
  
  Vérifiez (1), (2), et (3) en remplaçant C, E, et S par leurs sommes.
  
  Comment ces relations peuvent-elles aider? Par exemple, la relation (5) suffit pour résoudre les exemples suivants.
  
  Exemple :
```
	3  2  7
	*  ?  *
	*  *  *
						
```
  Solution
  
  Puisqu'on fournit les 3 nombres de la 1^ère rangée, on sait que S = 3+2+7 = 12. Puis, par (5), ? = 12/3 = 4.
  
  Exemple :
```
	11  *  4
	*  6  *
	*  ?  *
						
```
  Solution
  
  Soit Q = la valeur inconnue dans la 1^ère rangée. Puis, par (5), 11+Q+4 = 3×6 ? Q = 18−4−11 = 3.
  
  Et donc, ? = 18−6−3 = 9.
  
  Exemple :
```
	*  *  5
	*  9  *
	?  *  *
						
```
  Solution
  
  Par (5), ?+9+5 = 3×9 = 27 ⇒ ? = 27−9−5 = 13.
  
  Exemple :
```
	*  *  5
	*  ?  *
	9  *  *
						
```
  Solution
  
  Par (5), 5+?+9 = 3×? ⇒ 14 = 2×? ⇒ ? = 14/2 = 7.
  
  Exemple : Le casse-tête suivant contient tous les nombres 7,...,15. Quelle est la valeur de P?
```
	P   *   *
	*   *   *
	*   *  14
						
```
  Solution
  
  Un seul nombre fourni n'aurait pas suffit pour compléter le Carré Magique, mais on sait aussi qu'il contient les nombres de 7 à 15 inclus. Alors, grâce à cette info et par (5),
  
  3S = (7+15) + (8+14) + (9+13) + (10+12) + 11 = 4×2 + 11 = 99 ⇒ S = 33 ⇒ M = 11 ⇒ 14 + 11 + P = 33 ⇒ P = 8.
  
  Et pour le problème ci-dessous?
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
						
```
  Il faut encore plus de relations.

Une Théorie Générale

Quels sont les Carrés Magiques les plus simples que vous pouvez imaginer?
Cette stratégie consistera à commencer par le Carré Magique le plus simple
```
	0 0 0
	0 0 0        (6)
	0 0 0
	
```
pour ensuite trouver des « déformations », c.-à-d. des méthodes permettant de transformer ce Carré Magique en un autre Carré Magique. La première telle déformation est de rajouter la même valeur 1 à toutes les cases :
```
	1 1 1
	1 1 1        (7)
	1 1 1
				
```
C'est aussi un Carré Magique. Quelles sont les autres déformations généralisantes?
Tout d'abord il faut définir ce que c'est qu'un objet mathématique « linéaire ».

Définition :
Un objet mathématique est linéaire si
- la somme de deux de ces objets en donne un autre, et
- un multiple d'un tel objet en donne un autre.
Théorème 1 :
Les Carrés Magiques sont tous des objets mathématiques linéaires.

Vous voulez tenter de démontrer ce théorème?
Démonstration.
1. Puisque l'addition est commutative : Si on ajoute 2 Carrés Magiques
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23        (8)
	a31 a32 a33
	
```
  et
```
	b11 b12 b13
	b21 b22 b23        (9)
	b31 b32 b33
	
```
  pour obtenir
```
	a11+b11  a12+b12  a13+b13
	a21+b21  a22+b22  a23+b23        (10)
	a31+b31  a32+b32  a33+b33
	
```
  alors ceci est un Carré Magique aussi car, par exemple, les deux premières rangées de (10) ont des sommes égales.
```
	a11+b11 + a21+b21 + a31+b31
	= a11+a21+a31 + b11+b21+b31      (la commutativité de l'addition)
	= a12+a22+a32 + b12+b22+b32      (puisque (8) et (9) sont des Carrés Magiques)
	= a12+b12 + a22+b22 + a32+b32    (ce qu'on voulait démontrer)
							
```
  De même, on peut démontrer l'égalité des sommes des autres lignes de (10).
2. Par la distributivité, si (8) :
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23
	a31 a32 a33
	
```
  est un Carré Magique, alors
```
	b×a11  b×a12  b×a13
	b×a21  b×a22  b×a23
	b×a31  b×a32  b×a33
	
```
  est aussi un Carré Magique, car, par exemple, si
```
	a11 +   a12 +   a13  =    a21 +   a22 +   a23  alors 
	b×(a11 +   a12 +   a13) = b×(a21 +   a22 +   a23)  et 
	b×a11 + b×a12 + b×a13  =  b×a21 + b×a22 + b×a23 .
							
```
  ▢
Corollaire 1,1 :
L'application de ce théorème permet de savoir que lorsqu'on soustrait la valeur centrale de toutes les cases d'un Carré Magique (c.-à-d. on soustrait M fois le Carré Magique (7)), on obtient un Carré Magique de valeur centrale 0.

Revenons à la poursuite d'autres déformations. La prochaine devrait éviter de changer la valeur centrale de 0 pour ne pas interférer dans la déformation −M×(7).
Si on met 1 pour la valeur supérieure gauche (la plus petite valeur possible) :
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  *  *
			
```
Étant donné M=0, alors S égale aussi zéro, c.-à-d.
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  * −1
			
```
La case supérieure droite peut garder la valeur 0 mais alors toutes les autres modifications sont fixes :
```
	+1 −1  0
	−1  0 +1        (11)
	0 +1 −1
			
```
Ceci est un Carré Magique en lui-même.

On obtient encore une déformation d'un Carré Magique par une transformation symétrique. Ceci veut dire que toute réflexion ou rotation d'un Carré Magique donne aussi un Carré Magique. La réflexion sur la diagonale principale ne donne pas de nouveau carré, mais on en obtient un par la rotation :
```
	0 −1 +1
	+1  0 −1        (12)
	−1 +1  0
			
```
Ensuite, on applique trois fois le théorème 1.
Étant donné un Carré Magique, on soustrait d'abord le carré a22×(7) pour faire en sorte que la valeur centrale soit zéro. Puis, on soustrait du carré résultant le carré a11×(11) pour que la case supérieure gauche devienne zéro. La case centrale reste zéro puisque a11×(11) a déjà 0 comme sa valeur centrale. Ensuite, on soustrait le carré a13×(12) pour que la valeur supérieure droite devienne zéro. Ainsi, les cases centrale et supérieure gauche restent 0 car ces cases contiennent 0 dans le carré a13×(12). Alors ceci veut dire qu'on peut soustraire de tout Carré Magique un nombre approprié de carrés (7), (11) et (12) pour obtenir un Carré Magique de la forme
```
	0 * 0
	* 0 *
	* * *
	
```
avec une valeur S de zéro (puisque la valeur centrale est zéro). Ceci montre que le Carré Magique complet est
```
	0 0 0
	0 0 0
	0 0 0
			
```
Mais alors, ceci veut dire que tout Carré Magique peut s'exprimer sous la forme d'une somme de multiples des carrés M×(7) + A×(11) + B×(12).

Theorème 2:
Chaque Carré Magique peut s'écrire sous la forme
```
	M+A     M−A−B   M  +B
	M−A+B     M     M+A−B        (13)
	M  −B   M+A+B   M−A  .
			
```
Démonstration.

Comme montré ci-haut, chaque Carré Magique peut se réduire en ce carré ne contenant que des zéros par la soustraction des multiples des carrés (7), (11), et (12).

▢

En langage mathématique, on dirait plutôt que :
Les Carrés Magiques (7), (11), et (12) constituent l'ensemble complet de générateurs pour tous les Carrés Magiques.
Maintenant qu'on connaît l'essentiel de tous les Carrés Magiques, est-ce aussi utile que ça pour résoudre les problèmes de type Carré Magique? Pour rappel, la règle (5): 3M = S a permis de trouver une relation simple reliant un seul composant du carré et S. Voici encore 2 telles relations.

Lemme 2 :
Chaque valeur dans un coin est la moyenne des 2 valeurs adjacentes au coin opposé.

Démonstration.

Par exemple, pour la case supérieure gauche dans (13), ((M+A+B)+(M+A−B))/2, et c'est pareil pour les autres coins.

▢

Cette règle très simple résoud d'un seul coup le problème vu plus tôt
```
	?  *  *
	*  * 47
	* 63  *
	
```
en réduisant sa solution à ? = (63+47)/2 = 55. Encore une autre relation :

Lemme 3 :
Pour chaque ligne passant par la case centrale, la valeur centrale M est la moyenne des deux autres valeurs sur la même ligne.

Démonstration.

Démonstration. Via l'inspection de (13).

▢

Corollaire 2,1 :
Si on ne fournit qu'un seul nombre, alors il est impossible de déterminer les autres.

Corollaire 2,2 :
Si on fournit 2 nombres et les lemmes 2 ou 3 s'appliquent, alors un 3ème nombre est fixé.

Corollaire 2,3 :
Si on fournit 3 nombres qui ne sont pas reliés par les lemmes 2 ou 3, alors ces 3 nombres déterminent le Carré Magique complet.

Corollaire 2,4 :
Tous les problèmes de type Carré Magique se résoudent facilement par le calcul des valeurs M, A, et B à partir des nombres fournis, et le remplacement de ces valeurs dans (13) pour trouver tous les autres nombres.

Le niveau de difficulté le plus élevé est-il vraiment plus compliqué?

Lorsqu'on examine le Carré Magique (13) on voit qu'il y a 3 paramètres indépendants A, B, et M. Si on ne donne que 2 nombres (et dans les casse-tête les plus difficiles, la valeur centrale M n'est jamais fournie), alors on peut attribuer une valeur M au choix et les 2 autres valeurs détermineront A et B.

Quelle valeur de M facilite le plus la solution d'un Carré Magique?
- Lorsqu'on choisit M=0 comme valeur centrale, on peut compléter rapidement les lignes passant par le centre en changeant le signe du nombre opposé pour obtenir une somme de 0. Et pour les autres valeurs, il ne reste qu'à effectuer deux sommes/différences à deux nombres.
  
  Exemple :
```
	*   80    *
	*    *   56
	*    *    *
						
```
  Solution
  On applique le lemme 2 pour obtenir la valeur de la case inférieure gauche, la moyenne de (80+56)/2 = 136/2 = 68 :
```
	*  80   *
	*   *  56
	68   *   *
	
```
  Puis, après avoir rajouté 0 au centre et rempli les lignes passant par le centre par les nombres de signe opposé :
```
	*   80  −68
	−56    0   56
	68  −80    *
	
```
  Enfin, étant donné que toutes les sommes égalent 0, la case supérieure gauche égale forcément 68-80=-12. Alors la solution la plus simple pour cet exemple est :
```
	−12   80  −68
	−56    0   56
	68  −80   12
							
```
Économiser son temps
- Si on connaît tous les nombres sur une ligne et 2 nombres sur une ligne l'intersectant, alors on peut effectuer le calcul plus vite, spécialement lorsque les nombres sont plus grands.
  
  Exemple :
```
	P  *  *
	U  ?  W
	X  *  *
	
```
  Où les valeurs P, U, X, W sont connues et on veut trouver ? .
  On sait que P+U+X = U+?+W et donc P+X = ?+W. Alors, ? = P+X−W.
  On peut, par exemple, vérifier laquelle des valeurs P, X est la plus proche de W. Supposez que c'est P, alors on effectue ? = X+(P-W). C'est beaucoup plus rapide que de devoir calculer S = P+U+X, ? = S-U-W, particulièrement quand la valeur P-W est petite. Pratiquez cette technique au niveau Muntjac.

Sommaire

On a appris une approche générale pour la résolution d'un problème mathématique difficile (dans ce cas, l'identification du Carré Magique le plus général) qui a des symétries (par rotation et par réflexion) et une solution spéciale (le Carré Magique (11)) qui ne partage pas toutes ces symétries ((11) n'a pas de symétrie rotationnelle) de telle sorte que lorsqu'on applique l'opération symétrique, on génère une nouvelle solution spéciale (par exemple (11) → rotation → (12)).
En effet, on a vu comment, pour les problèmes comportant des objets linéaires, on peut obtenir la solution générale en rajoutant des multiples d'un ensemble complet de solutions spéciales (chaque Carré Magique peut s'exprimer sous la forme de multiples de carrés (7), (11), et (12)).

Maintenant, allez, complétez quelques Carrés Magiques! Vous verrez, ce sera carrément plus facile. ;)