Sehirli Kvadrat

300000

84060
61655

Təlim məqsədləri

Giriş

Tərif

"Sehirli kvadat" 3×3 ölçülü elə kvadratdır ki, onun hər bir sütun, sətr və diaqonallarındakı ədədlərin cəmi bərabərdir.

Nümunə sual:
Diaqramı bir Sehrli Kvadrat kimi tamamlamaq üçün sual işarəsini hansı ədəd əvəz etməlidir?
```
     
	15  *  35
	50  *   ?
	25  *   *
			
```
Bunu həll etmək asandır. Birinci sütundakı cəm 15+50+25=90-dır. Diaqonaldan ortadakı ədəd, 90-25-35=30 və ikinci sıradan 50+30+?=90 → ? = 10.

Aşağıdakı kimi daha az ədədi verilmiş bir Sehirli Kvadratı necə həll edərdiniz?
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
			
```
Bu problemi həll etməyin standart yolu nədir? Burada dəyişənlərdən istifadə etmək olar
```
	P   Q   R
	U   V  47
	X  63   Z
	
```
şərtə əsasən tənliklər çıxarmaq olar
```
	P+Q+R = U+V+47 = X+63+Z = P+U+X = Q+V+63 = R+47+Z = P+V+Z = R+V+X,
	
```
və P üçün bir tənlik əldə etmək üçün P-dən başqa bütün bilinməyənləri aradan qaldıraraq bu tənliklər sistemini həll edin. Bunlar 7 dəyişən üçün 7 tənlikdir.

Aşağıdakı kimi bu cür tənlik sistemlərini həll etmədən Sehirli kvadrat problemlərini həll etmək istəyirik.

Ümumi münasibətlər və nümunələr

Sehrli Meydandakı rəqəmlər arasındakı sadə münasibətləri axtaraq.

Bir kvadratın çox sayda simmetriya əməliyyatı olduğundan (4 fırlanması + güzgü və onların birləşmələri), belə simmetriya əməliyyatları altında dəyişməyən kəmiyyətləri təyin edək. Məsələn, kvadratımız belədirsə
```
	P  Q  R
	U  M  W
	X  Y  Z
	
```
o zaman fırlanma və simmetriya altında dəyişməyən bu kəmiyyətlərdir
```
	C = küncdəki ədədlərin cəmi		(= P+R+X+Z)
	E = orta kənardakı ədədlərin cəmi		(= Q+U+W+Y)
	M = ortadakı ədəd		(= M)
	S = hər xətdəki cəm		(= P+Q+R = P+U+X = X+M+P = ...) .
			
```
Bu kəmiyyətlər üçün hansı əlaqələr əldə edilə bilər?
- Yuxarıdakı tənliklərdən P, Q, R, U, W, X, Y, Z dəyişənlərini çıxarıb C, E, M, S arasında aşağıdakı əlaqələri tapmaq çətin deyil.
  
  Lemma 1:
```
	2C + E = 4S        (1)
	M + C + E = 3S     (2)
	C + 2M = 2S        (3)
	C − M = S          (4)
	3M = S             (5)
						
```
  İsbat.
  
  Yuxarıdakı münasibətlər aşağıdakı kimi nəticələnir:
  
  (1) 4 kənarı cəmləməkdən
  (2) bütün ədədləri cəmləməkdən
  (3) 2 diaqonalın cəmlənməsindən
  (4) (1) - (2) -dən
  (5) (3) - (4) -dən
  
  ▢
  
  C, E və S-ni cəmləri ilə əvəz edərək (1), (2) və (3) -i doğrulayın.
  
  Necə kömək edə bilərlər? Məsələn, (5) münasibət aşağıdakı nümunələri həll etmək üçün kifayətdir.
  
  Misal:
```
	3  2  7
	*  ?  *
	*  *  *
						
```
  Həll
  
  1-ci sıradakı 3 rəqəmin hamısı verildiyi üçün S = 3 + 2 + 7 = 12 olduğunu bilirik.Buna görə də,(5)- ə görə, ? = 12/3 = 4.
  
  Misal:
```
	11  *  4
	*  6  *
	*  ?  *
						
```
  Həll
  
  Q = 1-ci sətrin ortadakı ədədi olsun. Beləliklə, (5)- ə görə, 11+Q+4 = 3×6 → Q = 18-4-11 = 3.
  
  Nəticə olaraq, ? = 18-6-3 = 9.
  
  Misal:
```
	*  *  5
	*  9  *
	?  *  *
						
```
  Həll
  
  (5)- ə görə, ?+9+5 = 3×9 = 27 → ? = 27-9-5 = 13.
  
  Misal:
```
	*  *  5
	*  ?  *
	9  *  *
						
```
  Həll
  
  (5)- ə görə, 5+?+9 = 3×? → 14 = 2×? → ? = 14/2 = 7.
  
  Misal: Aşağıdakı tapmacada 7,...,15 ədədləri var. P dəyəri neçədir?
```
	P   *   *
	*   *   *
	*   *  14
						
```
  Həll
  
  Bu Sehirli Kvadratda 7-dən 15-ə qədər daxil olan bütün ədədlərlə doldurulduğunu bilmədən, verilən bir ədəd kifayət etməzdi. Ancaq bu məlumatlardan və (5) -dən istifadə edərək,
  
  3S = (7+15) + (8+14) + (9+13) + (10+12) + 11 = 4×2 + 11 = 99 ⇒ S = 33 ⇒ M = 11 ⇒ 14 + 11 + P = 33 ⇒ P = 8.
  
  Aşağıdakı problem necə həll olunar?
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
						
```
  Burada daha çox əlaqəyə ehtiyacımız var.

Ümumi bir nəzəriyyə

Düşünə biləcəyiniz ən sadə sehrli kvadratlar hansılardır?
Strategiyamız mümkün olan ən sadə Sehrli Kvadratdan
```
	0 0 0
	0 0 0        (6)
	0 0 0
	
```
başlamaq və 'deformasiyalar'-ı , yəni Sehrli Kvadratı başqa Sehrli Kvadrata dəyişdirmək üsullarını tapmaq olacaq. Birinci belə deformasiya bütün sahələrə eyni 1 dəyərini əlavə etməkdir:
```
	1 1 1
	1 1 1        (7)
	1 1 1
				
```
Bu da Sehrli Kvadratdır. Başqa hansı ümumiləşdirici deformasiyalar var?
Daha çox mümkün deformasiyaları axtarmaqdan əvvəl, ilk növbədə lazımlı bir tərifdən istifadə edirik.

Tərif:
Riyazi obyektlər çoxluğu müəyyən əməliyyat altında o vaxt bağlanır ki, çoxluqdakı hər hansı obyekt üzərində həmin əməliyyatın yerinə yetirilməsi çoxluqda olan başqa bir obyektlə nəticələnsin. Misal üçün:
- Tam ədədlər çoxluğu cəm altında bağlanır, yəni hər hansı iki tam ədədi toplamaq tam ədədlə nəticələnir.
- Həqiqi ədədlər çoxluğu nisbət altında bağlanmır (lakin sıfırdan fərqli ədədlər nisbət altında bağlanır, yəni 0 olmayan ədədlərə bölünür).
Teorem 1:
Bütün Sehrli Kvadratlar toplama və skalyar hasil altında bağlanır (skalyar hasil sehrli kvadratdakı hər bir girişin həqiqi ədədə vurulması kimi müəyyən edilir).

Bu teoremi isbat etmək istəyirsiniz?
İsbat
1. Toplamada yerdəyişmə olduğu üçün: 2 Sehirli kvadrat varsa
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23        (8)
	a31 a32 a33
	
```
  və
```
	b11 b12 b13
	b21 b22 b23        (9)
	b31 b32 b33
	
```
  toplansa
```
	a11+b11  a12+b12  a13+b13
	a21+b21  a22+b22  a23+b23        (10)
	a31+b31  a32+b32  a33+b33
	
```
  alınan kvadrat da sehirli kvadrat olacaq, çünki, (10)-un ilk iki sırasındakı cəm bərabərdir.
```
	a11+b11 + a21+b21 + a31+b31
	= a11+a21+a31 + b11+b21+b31      (toplamada yerdəyişmə)
	= a12+a22+a32 + b12+b22+b32      ((8) və (9)-dakı sehirli kvadratlara görə)
	= a12+b12 + a22+b22 + a32+b32    (göstərmək istədiklərimiz)
							
```
  Bənzər şəkildə, (10)-dakı digər cəmlərin də bərabər olduğunu göstərmək olar.
2. Dağıtım qanununa görə, əgər (8):
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23
	a31 a32 a33
	
```
  Sehirli kvadrat isə
```
	b×a11  b×a12  b×a13
	b×a21  b×a22  b×a23
	b×a31  b×a32  b×a33
	
```
  bu da sehirli kvadratdır, çünki,
```
	a11 +   a12 +   a13  =    a21 +   a22 +   a23  sonra 
	b×(a11 +   a12 +   a13) = b×(a21 +   a22 +   a23)  və 
	b×a11 + b×a12 + b×a13  =  b×a21 + b×a22 + b×a23 .
							
```
  ▢
Nəticə 1.1:
Bu teoremin tətbiqi o deməkdir ki, Sehrli Meydanın bütün sahələrindən orta dəyəri çıxmaq (yəni M vuraq Sehrli Kvadrat (7) çıxmaqla) orta dəyəri 0 olan Sehrli Kvadrat verir.

Digər deformasiyalar tapmaq problemimizə qayıdaq. Növbəti, deformasiyaya müdaxilə etməmək üçün mərkəz dəyərini 0 olaraq saxlamalıdır -M × (7).
Sol üstü 1-ə dəyişdirək (mümkün olan ən kiçik dəyər):
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  *  *
			
```
M=0 olduğundan, S-də sıfır olmalıdır.
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  * −1
			
```
Sağ üst künc 0 qala bilər, lakin bütün digər dəyişikliklər düzəldilir:
```
	+1 −1  0
	−1  0 +1        (11)
	0 +1 −1
			
```
Bu da sehirli kvadratdır.

Simmetriya çevrilməsindən sonra Sehirli Kvadratın başqa bir deformasiyasını əldə edirik. Bu o deməkdir ki, Sehirli Kvadratın hər hansı bir yansıtması və ya fırlanması da Sehirli kvadrat verir. Əsas diaqonalda yansıtma yeni bir Sehirli kvadratı vermir, lakin fırlanma yeni bir Sehirli Kvadratı verir:
```
	0 −1 +1
	+1  0 −1        (12)
	−1 +1  0
			
```
İndi 1 teoremini üç dəfə tətbiq edirik.
Sehrli Kvadrat verilmişdir, əvvəlcə a22&x(7) kvadratını çıxırıq ki, orta qiymət sıfır olsun. Sonra yeni kvadratdan a11&x(11) kvadratını çıxırıq ki, sol yuxarı künc sıfır olsun. Orta sıfır olaraq qalır, çünki a11×(11) orta dəyəri 0-dır. Sonra a13×(12) kvadratı çıxarılır ki, yuxarı sağ künc sıfır olsun. Bunu edərkən orta qiymət və yuxarı sol künc sıfır olaraq qalır, çünki bu sahələr a13×(12)-də sıfırdır. Deməli, bu o deməkdir ki, istənilən Sehirli Kvadratdan uyğun kvadratların (7), (11) və (12) çoxluqlarını çıxaraq, S dəyəri sıfır olan
```
	0 * 0
	* 0 *
	* * *
	
```
formasının Sehrli Kvadratını əldə etmək olar (çünki orta qiymət sıfırdır). Bu asanlıqla bütün Sehrli Kvadratın olduğunu göstərir
```
	0 0 0
	0 0 0
	0 0 0
			
```
Ancaq bu, hər bir Sehrli kvadratın M × (7) + A × (11) + B × (12) kvadratlarının cəmləri kimi yazıla biləcəyi deməkdir.

Teorem 2:
Hər bir sehrli kvadrat aşağıdakı formada yazıla bilər
```
	M+A     M−A−B   M  +B
	M−A+B     M     M+A−B        (13)
	M  −B   M+A+B   M−A  .
			
```
İsbat.

Yuxarıda göstərildiyi kimi, hər Sehirli Kvadratı (7), (11) və (12) vuruqlar;n; çıxmaqla yalnız sıfırlardan ibarət kvadrata endirmək olar.

▢

Daha riyazi dildə demək olar ki:
Sehrli Kvadratlar (7), (11) və (12) bütün Sehrli Kvadratlar üçün generatorların tam çoxluğudur.
İndi bütün Sehrli Kvadratların mahiyyətini bildiyimizə görə, bunlar bütün Sehrli Kvadrat problemlərini həll etmək üçün faydalıdırmı? Qayda (5): 3M = S kvadratın tək komponenti ilə S arasında sadə və faydalı əlaqə tapdıq. Burada daha ikisi var.

Lemma 2:
Hər künc dəyəri diaqonalın əks künclərinə bitişik 2 dəyərin ədədi ortasıdır.

İsbat:

Məsələn, (13) -də sol üst künc üçün M + A = ((M + A + B) + (M + A-B)) / 2 və digər 4 künc üçün də.

▢

Bu sadə qayda əvvəlki problemi dərhal həll edir
```
	?  *  *
	*  * 47
	* 63  *
	
```
= (63+47)/2 = 55 sadələşdirərək ? Buradan da növbəti əlaqə:

Lemma 3:
Kvadratın ortasından keçən hər bir sətir üçün orta dəyər M xəttdəki digər iki dəyərin ortasıdır.

İsbat.

Yoxlama ilə (13).

▢

Nəticə 2.1:
Əgər tək ədəddən başqa heç nə verilmirsə, o zaman başqa ədəd müəyyən edilə bilməz.

Nəticə 2.2:
2 ədəd verilirsə və 2 və ya 3 lemmalar tətbiq edilirsə, 3^cü ədəd sabitləşdirilir.

Nəticə 2.4:
2 və ya 3 lemmalar ilə əlaqəli olmayan 3 ədəd verilirsə, bu 3 ədəd bütün Sehrli Kvadratı müəyyən edir.

Nəticə 2.4:
Bütün Sehirli Kvadrat məsələləri, verilən ədədlərdən M, A və B-ni hesablamaqla və bütün digər ədədləri tapmaq üçün M, A və B üçün dəyərləri (13) qoşmaqla asanlıqla həll olunur.

Ən çətin çətinlik səviyyəsi həqiqətən o qədər çətindirmi?

(13) Sehirli Kvadrata baxdıqda görürük ki, 3 müstəqil parametr A, B və M var. Yalnız iki dəyər verilsə (və ən çətin səviyyə üçün mərkəz dəyəri = M heç vaxt verilmir) o zaman M sərbəst şəkildə seçilə bilərdi, və verilən digər 2 qiymət A və B-ni təyin edərdi.

M-nin hansı dəyəri Sehirli Kvadratı tamamlamağı ən çox asanlaşdırandır?
- Mərkəz dəyəri olaraq M=0-ı seçməklə, mərkəzdən keçən bütün xətlər sadəcə 0 cəmi almaq üçün əks ədədin işarəsini dəyişdirməklə tamamlana bilər. Qalan ədədlər üçün yalnız iki ədədiniki fərqini/cəmini tapmaqlazımdır.
  
  Misal:
```
	*   80    *
	*    *   56
	*    *    *
						
```
  Həll
  Əvvəlcə aşağı sol küncdə orta (80+56)/2 = 136/2 = 68 dəyər əldə etmək üçün lemma 2-ni tətbiq edə bilərik:
```
	*  80   *
	*   *  56
	68   *   *
	
```
  Sonra ortada 0 əlavə edərək və işarələri dəyişdirərək ortada ədədləri əks etdirdikdən sonra :
```
	*   80  −68
	−56    0   56
	68  −80    *
	
```
  Nəhayət, bütün cəmlər 0 olduğundan, yuxarı sol künc 68−80 = −12 olmalıdır. Beləliklə, bu nümunənin ən sadə həlli:
```
	−12   80  −68
	−56    0   56
	68  −80   12
							
```
Daha sürətli olmaq üçün
- Əgər biz bir sətirdəki bütün ədədləri və onu kəsən xəttdəki 2 ədədi biliriksə, o zaman, xüsusən də ədədlər daha böyük olduqda hesablamağı bir qədər sürətləndirə bilərik.
  
  Nümunə:
```
	P  *  *
	U  ?  W
	X  *  *
	
```
  P, U, X, W harada məlumdur və biz harada tapmaq istəyirik?
  P + U + X = U +? + W və beləliklə P + X =? + W olduğunu bilirik. Buna görə,? = P + X-W.
  P, X-dən hansının W-yə ən yaxın olduğunu yoxlayaq, deyək ki, P və sonra ? = X+(P−W). hesablamaq olar. Bunu hesablamaq S = P+U+X-dən daha tezdir, ? = S−U−W, xüsusilə P−W kiçikdirsə. Bunu Muntjac səviyyəsində yoxlaya bilərsiniz.

Xülasə

Simmetriyaları olan ( burada fırlanmalar və güzgü simmetriyaları ) çətin bir riyazi məsələnin həlli (burada ən ümumi Sehirli Kvadratı tapırıq) üçün ümumi həlli (burada (11)-ci Sehirli Kvadrat) və bütün bu simmetriyalara malik olmayan ((11) fırlanma simmetriyasına malik deyil) xüsusi bir həlli öyrəndik ki, simmetriya əməliyyatını tətbiq etdikdə yeni xüsusi (burada (11) → fırlanma → (12))həll yaransın..
Bundan əlavə, xətti obyektlər üçün məsələlərdə xüsusi həllərin tam çoxluğunun vuruqlarını cəmləməklə ümumi həllin necə əldə oluna biləcəyini gördük (burada hər Sehirli kvadrat (7), (11) və (12) vuruqlarının cəmi kimi yazıla bilər. )).

İndi Sehirli kvadrat oyununu tez bir zamanda qazana bilərsiniz ... !