Play Magic Square Online

300000

Магический квадрат

Общее количество прослушиваний: 84060
Общее количество побед: 61655

Цели обучения

Знакомство

Определение:

«Магический квадрат» — это квадрат из 3×3 чисел, в котором суммы всех чисел в ряду, в столбце и в обеих диагоналях одинаковы.

Типичный вопрос:
Какое число должно заменить вопросительный знак, чтобы завершить диаграмму в виде магического квадрата?
```
	15  *  35
	50  *   ?
	25  *   *
			
```
Это легко решить. Сумма в каждой строке равна 15+50+25=90. Из диагонали следует, что среднее значение равно 90−25−35=30, а из^2-го ряда: 50+30+?=90 ⇒ ? = 10.

Как бы вы решили магический квадрат с меньшим количеством заданных чисел, как показано ниже?
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
			
```
Каков стандартный способ решения этой проблемы? Можно ввести переменные
```
	P   Q   R
	U   V  47
	X  63   Z
	
```
и сформулировать все условия в виде уравнений, таких как
```
	P+Q+R = U+V+47 = X+63+Z = P+U+X = Q+V+63 = R+47+Z = P+V+Z = R+V+X,
	
```
, и решить эту систему уравнений, исключив все неизвестные, кроме P, чтобы получить одно уравнение для P и решить его. Это 7 условий для 7 неизвестных.

Далее мы хотим решать задачи магических квадратов без необходимости решать такие системы уравнений.

Общие отношения и примеры

Давайте поищем простые связи между числами в Магическом квадрате.

Поскольку квадрат имеет много операций симметрии (4 оборота + зеркальное отражение и их комбинации), давайте определим величины, которые не изменяются при таких операциях симметрии. Например, если наш квадрат равен
```
	P  Q  R
	U  M  W
	X  Y  Z
	
```
, то эти величины, которые не изменяются при поворотах и зеркальных отражениях, равны
```
	C = Сумма угловых значений		(= P+R+X+Z)
	E = Сумма значений среднего края		(= Q+U+W+Y)
	M = среднее значение		(= M)
	S = сумма в каждой строке		(= P+Q+R = P+U+X = X+M+P = ...) .
			
```
Какие соотношения можно вывести для этих величин?
- Нетрудно найти следующие соотношения между C, E, M, S, исключив из приведенных уравнений переменные P, Q, R, U, W, X, Y, Z.
  
  Лемма 1:
```
	2C + E = 4S        (1)
	M + C + E = 3S     (2)
	C + 2M = 2S        (3)
	C − M = S          (4)
	3M = S             (5)
						
```
  Доказательство.
  
  Указанные соотношения выводятся из следующих источников:
  
  (1) от суммирования 4 ребер
  (2) от суммирования всех чисел
  (3) от суммирования 2 диагоналей
  (4) из (1) − (2)
  (5) из (3) − (4)
  
  ▢
  
  Проверьте (1), (2) и (3), заменив C, E и S на их суммы.
  
  Чем они могут помочь? Например, отношения (5) достаточно для решения следующих примеров.
  
  Пример:
```
	3  2  7
	*  ?  *
	*  *  *
						
```
  Решение
  
  Поскольку даны все 3 числа в^1-м ряду, мы знаем, что S = 3+2+7 = 12. Таким образом, с помощью (5), ? = 12/3 = 4.
  
  Пример:
```
	11  *  4
	*  6  *
	*  ?  *
						
```
  Решение
  
  Пусть Q = среднее значение^1-й строки. Тогда на (5) 11+Q+4 = 3×6 ⇒ Q = 18−4−11 = 3.
  
  Таким образом? = 18−6−3 = 9.
  
  Пример:
```
	*  *  5
	*  9  *
	?  *  *
						
```
  Решение
  
  По (5), ?+9+5 = 3×9 = 27 ⇒ ? = 27−9−5 = 13.
  
  Пример:
```
	*  *  5
	*  ?  *
	9  *  *
						
```
  Решение
  
  По (5), 5+?+9 = 3×? ⇒ 14 = 2×? ⇒ ? = 14/2 = 7.
  
  Пример: Следующая головоломка содержит числа 7,...,15. Каково значение P?
```
	P   *   *
	*   *   *
	*   *  14
						
```
  Решение
  
  Не зная, что этот Магический Квадрат заполнен целыми числами от 7 до 15 включительно, одного данного числа было бы недостаточно. Но с этой информацией и с помощью (5),
  
  3S = (7+15) + (8+14) + (9+13) + (10+12) + 11 = 4×2 + 11 = 99 ⇒ S = 33 ⇒ M = 11 ⇒ 14 + 11 + P = 33 ⇒ P = 8.
  
  Как насчет проблемы ниже?
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
						
```
  Здесь нам нужно больше отношений.

Общая теория

Какие самые простые магические квадраты вы можете придумать?
Наша стратегия будет заключаться в том, чтобы начать с максимально простого Магического Квадрата
```
	0 0 0
	0 0 0        (6)
	0 0 0
	
```
и найти «деформации», т.е. методы изменения Магического Квадрата в другой Магический Квадрат. Первая такая деформация заключается в добавлении одного и того же значения 1 ко всем полям:
```
	1 1 1
	1 1 1        (7)
	1 1 1
				
```
Который также является Магическим Квадратом. Какие еще бывают обобщающие деформации?
Прежде чем искать другие возможные деформации, мы сначала воспользуемся удобным определением.

Определение:
Множество математических объектов замыкается при выполнении определенной операции, если выполнение этой операции над какими-либо объектами в наборе приводит к появлению другого объекта из набора. Например:
- Множество целых чисел замыкается при сложении, т.е. сложение любых двух целых чисел дает целое число.
- Множество действительных чисел не замыкается при делении (но замыкается при ненулевом делении, т.е. делении на числа, которые не равны 0).
Теорема 1:
Множество всех магических квадратов замыкается при сложении и скалярном умножении (скалярное умножение, определяемое как умножение каждого элемента магического квадрата на вещественное число).

Хотите попробовать доказать эту теорему?
Доказательство.
1. Потому что сложение коммутативно: если 2 магических квадрата
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23        (8)
	a31 a32 a33
	
```
  и
```
	b11 b12 b13
	b21 b22 b23        (9)
	b31 b32 b33
	
```
  сложены вместе:
```
	a11+b11  a12+b12  a13+b13
	a21+b21  a22+b22  a23+b23        (10)
	a31+b31  a32+b32  a33+b33
	
```
  , то это также магический квадрат, потому что, например, первые два ряда (10) имеют равные суммы.
```
	a11+b11 + a21+b21 + a31+b31
	= a11+a21+a31 + b11+b21+b31      (Коммутативность сложения)
	= a12+a22+a32 + b12+b22+b32      (потому что (8) и (9) являются магическими квадратами)
	= a12+b12 + a22+b22 + a32+b32    (которые мы хотели показать)
							
```
  Аналогично можно показать равенство сумм других строк (10).
2. Согласно закону распределения, если (8):
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23
	a31 a32 a33
	
```
  является магическим квадратом, то
```
	b×a11  b×a12  b×a13
	b×a21  b×a22  b×a23
	b×a31  b×a32  b×a33
	
```
  также является магическим квадратом, потому что, например, если
```
	a11 +   a12 +   a13  =    a21 +   a22 +   a23  тогда	b×(a11 +   a12 +   a13) = b×(a21 +   a22 +   a23)  и	b×a11 + b×a12 + b×a13  =  b×a21 + b×a22 + b×a23 .
							
```
  ▢
Следствие 1.1:
Применение этой теоремы означает, что вычитание среднего значения из всех полей магического квадрата (т.е. вычитание M умноженное на магический квадрат (7)) дает магический квадрат со средним значением 0.

Вернемся к нашей проблеме поиска других деформаций. Следующий должен оставить центральное значение равным 0, чтобы не мешать деформации −M×(7).
Давайте изменим верхний левый на 1 (наименьшее возможное значение):
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  *  *
			
```
Поскольку M=0, то S также должно быть равно нулю, т.е.
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  * −1
			
```
Правый верхний угол может остаться равным 0, но тогда все остальные изменения исправляются:
```
	+1 −1  0
	−1  0 +1        (11)
	0 +1 −1
			
```
Это и есть сам по себе Магический квадрат.

Мы получаем еще одну деформацию магического квадрата через преобразование симметрии. Это означает, что любое зеркальное отражение или вращение магического квадрата также дает магический квадрат. Зеркальное отражение по основной диагонали не дает нового Магического Квадрата, но вращение дает новый Магический Квадрат:
```
	0 −1 +1
	+1  0 −1        (12)
	−1 +1  0
			
```
Теперь мы применяем теорему 1 три раза.
Получив магический квадрат, сначала мы вычитаем квадрат a22×(7), чтобы сделать среднее значение нулевым. Затем мы вычитаем из нового квадрата квадрат a11×(11) так, чтобы верхний левый угол стал нулевым. Среднее значение равно нулю, потому что a11×(11) имеет среднее значение 0. Затем квадрат a13×(12) вычитается так, что правый верхний угол становится нулем. При этом среднее значение и верхний левый угол остаются нулевыми, потому что эти поля равны нулю в a13×(12). Таким образом, это означает, что из любого магического квадрата можно вычесть подходящие кратные квадраты (7), (11) и (12), чтобы получить магический квадрат вида
```
	0 * 0
	* 0 *
	* * *
	
```
со значением S, равным нулю (потому что среднее значение равно нулю). Это легко показывает, что весь Магический Квадрат
```
	0 0 0
	0 0 0
	0 0 0
			
```
Но это означает, что каждый магический квадрат может быть записан как сумма кратных квадратов M×(7) + A×(11) + B×(12).

Теорема 2:
Каждый Магический Квадрат может быть записан в виде
```
	M+A     M−A−B   M  +B
	M−A+B     M     M+A−B        (13)
	M  −B   M+A+B   M−A  .
			
```
Доказательство

Как показано выше, каждый магический квадрат может быть уменьшен до квадрата, состоящего только из нулей, путем вычитания кратных (7), (11) и (12).

▢

Говоря более математическим языком, можно было бы сказать, что:
Магические квадраты (7), (11) и (12) - это полный набор генераторов для всех магических квадратов.
Теперь, когда мы знаем суть всех Магических Квадратов, так ли это полезно для решения задач Магических Квадратов? С помощью правила (5): 3M = S мы обнаружили простое и полезное соотношение между одним компонентом квадрата и S. Вот еще два.

Лемма 2:
Каждое угловое значение является средним из 2 значений, примыкающих к диагонально противоположному углу.

Доказательство

Например, в верхнем левом углу в (13) M+A = ((M+A+B)+(M+A−B))/2, а также для остальных 3 углов.

▢

Это простое правило мгновенно решает предыдущую задачу
```
	?  *  *
	*  * 47
	* 63  *
	
```
, сокращая ее до ? = (63+47)/2 = 55. Вот еще одна связь:

Лемма 3:
Для каждой линии, проходящей через середину квадрата, среднее значение M является средним значением двух других значений на линии.

Доказательство

Путем осмотра (13).

▢

Следствие 2.1:
Если дано только одно число, то никакое другое число не может быть определено.

Следствие 2.2:
Если даны 2 числа и применяются леммы 2 или 3, то^3-е число является фиксированным.

Следствие 2.3:
Если даны 3 числа, которые не связаны между собой через леммы 2 или 3, то эти 3 числа определяют весь Магический квадрат.

Следствие 2.4:
Все задачи магических квадратов легко решаются путем вычисления M, A и B из заданных чисел и подстановки значений M, A и B в (13), чтобы найти все остальные числа.

Действительно ли самый сложный уровень сложности настолько сложен?

Когда мы смотрим на Магический квадрат (13), мы видим, что существуют 3 независимых параметра A, B и M. Если дано только 2 (а для самого сложного уровня центральное значение = М никогда не дано), то М может быть выбрано свободно, а остальные 2 данных значения определяли бы А и В.

Какое значение M делает заполнение магического квадрата наиболее простым?
- Выбрав M=0 в качестве центрального значения, все линии через центр могут быть завершены простым переключением знака противоположного числа для получения суммы 0. Для остальных чисел нужно сделать только две разницы/суммы двух чисел.
  
  Пример:
```
	*   80    *
	*    *   56
	*    *    *
						
```
  Решение
  Сначала мы можем применить лемму 2 для получения значения в нижнем левом углу среднего значения (80+56)/2 = 136/2 = 68:
```
	*  80   *
	*   *  56
	68   *   *
	
```
  Затем, после сложения 0 в середине и зеркального отражения чисел в середине путем переключения знаков:
```
	*   80  −68
	−56    0   56
	68  −80    *
	
```
  Наконец, поскольку все суммы равны 0, верхний левый угол должен быть 68−80 = −12. Поэтому самым простым решением данного примера является:
```
	−12   80  −68
	−56    0   56
	68  −80   12
							
```
Экономия времени
- Если мы знаем все числа в одной строке и 2 числа в линии, которая ее пересекает, то мы можем немного ускорить вычисления, особенно когда числа больше.
  
  Пример:
```
	P  *  *
	U  ?  W
	X  *  *
	
```
  , где известны P, U, X, W и мы хотим найти ?.
  Мы знаем, что P+U+X = U+?+W и, следовательно, P+X = ?+W. Следовательно, ? = P+X−W.
  Что можно сделать, так это проверить, какие из P, X наиболее близки к W, скажем, P, а затем вычислить? = X+(P−W). Это намного быстрее вычислить, чем S = P+U+X, ? = S−U−W, особенно если P−W мала. Вы можете практиковать это на уровне Мунтжака.

Сводка

Мы изучили общий подход к решению сложной математической задачи (здесь мы находим самый общий магический квадрат), который имеет симметрии (здесь вращения и зеркальные симметрии) и специальное решение (здесь магический квадрат (11)), которое не имеет всех этих симметрий («(11) не симметрично вращательно»), так что при применении операции симметрии генерируется новое специальное решение (здесь (11) → → вращения (12)).
Кроме того, мы увидели, как в задачах для линейных объектов общее решение может быть получено путем сложения кратных полного множества специальных решений (здесь каждый магический квадрат может быть записан как сумма кратных (7), (11) и (12)).

Теперь вы можете быстро выиграть в игре Magic Square... честно и справедливо!

Следите за обновлениями или подписывайтесь на них: