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Magisches Quadrat

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Lernziele

Einleitung

Definition:

Ein "magisches Quadrat" ist ein Quadrat aus 3×3 Zahlen, bei dem die Summen aller Zahlen in einer Reihe, in einer Spalte und in beiden Diagonalen alle gleich sind.

Typische Fragestellung:
Welche Zahl muss das Fragezeichen ersetzen, um das Diagramm als magisches Quadrat zu vervollständigen?
```
	15  *  35
	50  *   ?
	25  *   *
			
```
Dies ist leicht zu lösen. Die Summe in jeder Zeile ist 15+50+25=90. Aus der Diagonalen folgt, dass der mittlere Wert 90−25−35=30 und aus der 2^{. Reihe} : 50+30+?=90 ⇒ ? = 10.

Wie würden Sie ein magisches Quadrat mit weniger vorgegebenen Zahlen lösen, wie das untenstehende?
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
			
```
Was ist die Standardmethode, um dieses Problem zu lösen? Man könnte Variablen
```
	P   Q   R
	U   V  47
	X  63   Z
	
```
einführen und alle Bedingungen als Gleichungen wie
```
	P+Q+R = U+V+47 = X+63+Z = P+U+X = Q+V+63 = R+47+Z = P+V+Z = R+V+X,
	
```
formulieren und dieses Gleichungssystem lösen, indem man alle Unbekannten außer P eliminiert, um eine Gleichung für P zu erhalten und diese zu lösen. Dies sind 7 Bedingungen für 7 Unbekannte.

Im Folgenden wollen wir Magic Square Probleme lösen, ohne solche Gleichungssysteme lösen zu müssen.

Allgemeine Zusammenhänge und Beispiele

Suchen wir nach einfachen Beziehungen zwischen den Zahlen im magischen Quadrat.

Da ein Quadrat viele Symmetrieoperationen hat (4 Umdrehungen + Spiegelung und deren Kombinationen), definieren wir Größen, die sich unter solchen Symmetrieoperationen nicht ändern. Wenn unser Quadrat zum Beispiel
```
	P  Q  R
	U  M  W
	X  Y  Z
	
```
ist, dann sind diese Größen, die sich bei Rotationen und Spiegelungen nicht ändern,
```
	C = Summe der Eckenwerte		(= P+R+X+Z)
	E = Summe der Werte für die mittlere Kante		(= Q+U+W+Y)
	M = mittlerer Wert		(= M)
	S = Summe in jeder Zeile		(= P+Q+R = P+U+X = X+M+P = ...) .
			
```
Welche Relationen lassen sich für diese Größen ableiten?
- Es ist nicht schwer, die folgenden Beziehungen zwischen C, E, M, S zu finden, indem man die Variablen P, Q, R, U, W, X, Y, Z aus den obigen Gleichungen eliminiert.
  
  Lemma 1:
```
	2C + E = 4S        (1)
	M + C + E = 3S     (2)
	C + 2M = 2S        (3)
	C − M = S          (4)
	3M = S             (5)
						
```
  Beweis.
  
  Die obigen Beziehungen ergeben sich wie folgt:
  
  (1) aus der Summierung der 4 Kanten
  (2) aus der Summierung aller Zahlen
  (3) aus der Summierung der 2 Diagonalen
  (4) von (1) − (2)
  (5) von (3) − (4)
  
  ▢
  
  Die Nummern 1, 2 und 3 sind zu überprüfen, indem C, E und S durch ihre Summen ersetzt werden.
  
  Wie können sie helfen? Zum Beispiel reicht die Relation (5) aus, um die folgenden Beispiele zu lösen.
  
  Beispiel:
```
	3  2  7
	*  ?  *
	*  *  *
						
```
  Lösung
  
  Da alle 3 Zahlen in der 1^{. Reihe gegeben} sind, wissen wir, dass S = 3+2+7 = 12 ist. Also durch (5), ? = 12/3 = 4.
  
  Beispiel:
```
	11  *  4
	*   6  *
	*   ?  *
						
```
  Lösung
  
  Sei Q = der mittlere Wert von 1^{r Reihe} . Dann durch (5), 11+D+4 = 3×6 ⇒ Q = 18−4−11 = 3.
  
  So? = 18−6−3 = 9.
  
  Beispiel:
```
	*  *  5
	*  9  *
	?  *  *
						
```
  Lösung
  
  Durch (5), ?+9+5 = 3×9 = 27 ⇒ ? = 27−9−5 = 13.
  
  Beispiel:
```
	*  *  5
	*  ?  *
	9  *  *
						
```
  Lösung
  
  Mit (5), 5+?+9 = 3×? ⇒ 14 = 2×? ⇒ ? = 14/2 = 7.
  
  Beispiel: Das folgende Rätsel enthält die Zahlen 7,...,15. Was ist der Wert von P?
```
	P   *   *
	*   *   *
	*   *  14
						
```
  Lösung
  
  Ohne zu wissen, dass dieses magische Quadrat mit den ganzen Zahlen von 7 bis einschließlich 15 gefüllt ist, hätte die eine gegebene Zahl nicht ausgereicht. Aber mit diesen Informationen und durch (5)
  
  3S = (7+15) + (8+14) + (9+13) + (10+12) + 11 = 4×2 + 11 = 99 ⇒ S = 33 ⇒ M = 11 ⇒ 14 + 11 + P = 33 ⇒ P = 8.
  
  Wie sieht es mit dem folgenden Problem aus?
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
						
```
  Hier brauchen wir mehr Beziehungen.

Eine allgemeine Theorie

Was sind die einfachsten magischen Quadrate, die du dir vorstellen kannst?
Unsere Strategie wird es sein, mit dem einfachstmöglichen magischen Quadrat
```
	0 0 0
	0 0 0        (6)
	0 0 0
	
```
zu beginnen und "Deformationen" zu finden, d.h. Methoden, um das magische Quadrat in ein anderes magisches Quadrat zu verwandeln. Die erste solche Verformung besteht darin, allen Feldern den gleichen Wert 1 hinzuzufügen:
```
	1 1 1
	1 1 1        (7)
	1 1 1
				
```
Das ist auch ein magisches Quadrat. Welche anderen verallgemeinernden Verformungen gibt es?
Bevor wir nach weiteren möglichen Verformungen suchen, verwenden wir zunächst eine praktische Definition.

Definition:
Eine Menge mathematischer Objekte wird unter einer bestimmten Operation geschlossen, wenn die Ausführung dieser Operation für Objekte in der Menge zu einem anderen Objekt aus der Menge führt. Zum Beispiel:
- Die Menge der ganzen Zahlen wird unter Addition geschlossen, d.h. die Addition von zwei beliebigen ganzen Zahlen ergibt eine ganze Zahl.
- Die Menge der reellen Zahlen wird bei der Division nicht geschlossen (sondern bei der Division ungleich Null , d.h. bei der Division durch Zahlen, die nicht 0 sind).
Satz 1:
Die Menge aller magischen Quadrate wird unter Addition und skalarer Multiplikation geschlossen (skalare Multiplikation, definiert als das Multiplizieren jedes Eintrags in einem magischen Quadrat mit einer reellen Zahl).

Möchten Sie versuchen, diesen Satz zu beweisen?
Beweis.
1. Denn die Addition ist kommutativ: Wenn 2 magische Quadrate
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23        (8)
	a31 a32 a33
	
```
  und
```
	b11 b12 b13
	b21 b22 b23        (9)
	b31 b32 b33
	
```
  addiert werden:
```
	a11+b11  a12+b12  a13+b13
	a21+b21  a22+b22  a23+b23        (10)
	a31+b31  a32+b32  a33+b33
	
```
  dann ist dies auch ein magisches Quadrat, weil z.B. die ersten beiden Reihen von (10) gleiche Summen haben.
```
	a11+b11 + a21+b21 + a31+b31
	= a11+a21+a31 + b11+b21+b31      (Kommutativität der Addition)
	= a12+a22+a32 + b12+b22+b32      (weil (8) und (9) magische Quadrate sind)
	= a12+b12 + a22+b22 + a32+b32    (die wir zeigen wollten)
							
```
  In ähnlicher Weise kann man die Gleichheit der Summen anderer Geraden von (10) zeigen.
2. Aufgrund des Distributivgesetzes gilt: Wenn (8):
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23
	a31 a32 a33
	
```
  ein magisches Quadrat ist, dann ist
```
	b×a11  b×a12  b×a13
	b×a21  b×a22  b×a23
	b×a31  b×a32  b×a33
	
```
  auch ein magisches Quadrat, weil zum Beispiel, wenn
```
	a11 +   a12 +   a13  =    a21 +   a22 +   a23  dann	b×(a11 +   a12 +   a13) = b×(a21 +   a22 +   a23)  und	b×a11 + b×a12 + b×a13  =  b×a21 + b×a22 + b×a23 .
							
```
  ▢
Folge 1.1:
Die Anwendung dieses Theorems bedeutet, dass die Subtraktion des mittleren Wertes von allen Feldern eines magischen Quadrats (d.h. Subtraktion von M mal magischem Quadrat (7)) ein magisches Quadrat mit dem mittleren Wert 0 ergibt.

Kehren wir zu unserem Problem zurück, andere Deformationen zu finden. Der nächste sollte den Mittenwert bei 0 halten, um die Verformung −M×(7) nicht zu beeinträchtigen.
Ändern wir die obere linke Seite auf 1 (den kleinstmöglichen Wert):
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  *  *
			
```
Da M=0 ist, dann muss S auch Null sein, d.h.
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  * −1
			
```
Die obere rechte Ecke kann 0 bleiben, aber dann werden alle anderen Änderungen korrigiert:
```
	+1  −1   0
	−1   0  +1        (11)
	 0  +1  −1
			
```
Dies ist ein magisches Quadrat für sich.

Eine weitere Verformung eines magischen Quadrats erhalten wir durch eine Symmetrietransformation. Das bedeutet, dass jede Spiegelung oder Drehung eines magischen Quadrats auch ein magisches Quadrat ergibt. Die Spiegelung auf der Hauptdiagonale ergibt kein neues magisches Quadrat, aber die Drehung ergibt ein neues magisches Quadrat:
```
	 0  −1  +1
	+1   0  −1        (12)
	−1  +1   0
			
```
Wir wenden nun Satz 1 dreimal an.
Bei einem magischen Quadrat subtrahieren wir zuerst das Quadrat a22×(7), um den mittleren Wert auf Null zu setzen. Dann subtrahieren wir vom neuen Quadrat das Quadrat a11×(11), so dass die obere linke Ecke Null wird. Die Mitte bleibt Null, da a11×(11) den mittleren Wert 0 hat. Dann wird ein Quadrat a13×(12) subtrahiert, so dass die obere rechte Ecke Null wird. Dabei bleiben der mittlere Wert und die obere linke Ecke Null, da diese Felder in a13×(12) Null sind. Das bedeutet also, dass man von jedem magischen Quadrat geeignete Vielfache von Quadraten (7), (11) und (12) subtrahieren kann, um ein magisches Quadrat der Form
```
	0 * 0
	* 0 *
	* * *
	
```
mit einem S-Wert von Null zu erhalten (weil der mittlere Wert Null ist). Das zeigt leicht, dass das ganze Magische Quadrat
```
	0 0 0
	0 0 0
	0 0 0
			
```
Das bedeutet jedoch, dass jedes magische Quadrat als Summe von Vielfachen von Quadraten geschrieben werden kann: M×(7) + A×(11) + B×(12).

Satz 2:
Jedes Magische Quadrat kann in der Form
```
	M+A     M−A−B   M  +B
	M−A+B     M     M+A−B        (13)
	M  −B   M+A+B   M−A  .
			
```
Beweis

Wie oben gezeigt, kann jedes magische Quadrat auf das Quadrat reduziert werden, das nur aus Nullen besteht, indem ein Vielfaches von (7), (11) und (12) subtrahiert wird.

▢

In einer eher mathematischen Sprache würde man sagen, dass:
Die Magischen Quadrate (7), (11) und (12) sind ein komplettes Set an Generatoren für alle Magischen Quadrate.
Jetzt, da wir die Essenz aller magischen Quadrate kennen, ist das alles so nützlich, um magische Quadrat-Probleme zu lösen? Mit Regel (5): 3M = S haben wir eine einfache und nützliche Beziehung zwischen einer einzelnen Komponente des Quadrats und S gefunden. Hier sind zwei weitere.

Lemma 2:
Jeder Eckenwert ist der Durchschnitt der 2 Werte, die an die diagonal gegenüberliegende Ecke angrenzen.

Beweis

Zum Beispiel in der oberen linken Ecke in (13), M+A = ((M+A+B)+(M+A−B))/2, und ebenso für die anderen 3 Ecken.

▢

Diese einfache Regel löst das frühere Problem
```
	?  *  *
	*  * 47
	* 63  *
	
```
sofort, indem sie es auf ? = (63+47)/2 = 55. Hier ist eine weitere Beziehung:

Lemma 3:
Für jede Linie, die durch die Mitte des Quadrats verläuft, ist der mittlere Wert M der Durchschnitt der beiden anderen Werte in der Linie.

Beweis

Durch Inspektion von (13).

▢

Folge 2.1:
Wenn nur eine einzige Zahl gegeben ist, dann kann auch keine andere Zahl bestimmt werden.

Folge 2.2:
Wenn 2 Zahlen angegeben werden und die Lemmata 2 oder 3 zutreffen, dann ist eine 3^. Zahl festgelegt.

Folge 2.3:
Wenn 3 Zahlen gegeben werden, die nicht durch die Lemmata 2 oder 3 miteinander verbunden sind, dann bestimmen diese 3 Zahlen das gesamte magische Quadrat.

Folge 2.4:
Alle Probleme des magischen Quadrats lassen sich leicht lösen, indem man M, A und B aus den gegebenen Zahlen berechnet und die Werte für M, A und B in (13) einfügt, um alle anderen Zahlen zu finden.

Ist der härteste Schwierigkeitsgrad wirklich so schwer?

Wenn wir uns das Magische Quadrat (13) ansehen, sehen wir, dass es 3 unabhängige Parameter A, B und M gibt. Wenn nur 2 gegeben sind (und für die härteste Stufe ist der Mittenwert = M nie gegeben), dann kann M frei gewählt werden und die anderen 2 gegebenen Werte würden A und B bestimmen.

Welcher Wert von M macht das Vervollständigen eines magischen Quadrats am einfachsten?
- Durch die Wahl von M=0 als Mittelwert können alle Linien durch den Mittelpunkt vervollständigt werden, indem einfach das Vorzeichen der Gegenzahl umgeschaltet wird, um eine Summe von 0 zu erhalten. Für die restlichen Zahlen muss man nur zwei Differenzen/Summen von zwei Zahlen machen.
  
  Beispiel:
```
	*   80    *
	*    *   56
	*    *    *
						
```
  Lösung
  Zuerst können wir Lemma 2 anwenden, um den Wert in der unteren linken Ecke des Durchschnitts (80+56)/2 = 136/2 = 68 zu erhalten:
```
	 *   80    *
	 *    *   56
	68    *    *
	
```
  Dann, nachdem wir 0 in der Mitte addiert und Zahlen in der Mitte gespiegelt haben, indem wir die Vorzeichen vertauscht haben:
```
	  *    80   −68
	−56     0    56
	 68   −80     *
	
```
  Da alle Summen 0 sind, muss die obere linke Ecke 68−80 = −12 sein. Daher ist die einfachste Lösung dieses Beispiels:
```
	−12    80   −68
	−56     0    56
	 68   −80    12
							
```
Zeitersparnis
- Wenn wir alle Zahlen in einer Zeile und 2 Zahlen in einer Zeile, die sie kreuzt, kennen, können wir die Berechnung etwas beschleunigen, insbesondere wenn die Zahlen größer sind.
  
  Beispiel:
```
	P  *  *
	U  ?  W
	X  *  *
	
```
  wobei P, U, X, W bekannt sind und wir ? finden wollen.
  Wir wissen, dass P+U+X = U+?+W und somit P+X = ?+W ist. = P+X−W.
  Was man tun kann, ist zu überprüfen, welche von P, X am nächsten zu W liegen, sagen wir, P und dann zu berechnen ? = X+(P−W). Dies ist viel schneller zu berechnen als S = P+U+X, ? = S−U−W, insbesondere wenn P−W klein ist. Das könntest du im Muntjac-Level üben.

Zusammenfassung

Wir lernten einen allgemeinen Ansatz zur Lösung eines schwierigen mathematischen Problems (hier das allgemeinste magische Quadrat finden), das Symmetrien aufweist (hier Rotationen und Spiegelsymmetrien) und eine spezielle Lösung (hier das Magische Quadrat (11)), die nicht alle diese Symmetrien aufweist ((11) ist nicht rotationssymmetrisch), so dass bei Anwendung der Symmetrieoperation eine neue spezielle Lösung erzeugt wird (hier (11) → Rotation → (12)).
Darüber hinaus haben wir gesehen, wie bei Problemen für lineare Objekte die allgemeine Lösung durch Addition von Vielfachen einer vollständigen Menge spezieller Lösungen erhalten werden kann (hier kann jedes magische Quadrat als Summe von Vielfachen von (7), (11) und (12) geschrieben werden).

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