Більшість із нас використовують вузли, щоб зав’язати шнурки, одягнути краватку чи шарф, закрити сумку тощо ... Можливо, ви знаєте набагато більше вузлів, якщо займаєтеся вітрильним спортом, кемпінгом, риболовлею, шиєте, або в’яжете.
Однак це все не математичні вузли!

Погляньте на наступні два малюнки вузлів. Заплутано, але обидва вони називаються вузлами "вісімка" через рисунок 8, який вони містять.
Яка між ними різниця? Ми впевнені, що ви можете зрозуміти це!

Звичайно! Тепер ви знаєте, що в математиці вузол - це одна, замкнута, безперервна нитка.
З урахуванням цього визначення, що є найпростішим математичним вузлом?
Як можна скласти математичний вузол із шматка нитки?

У цій грі ви деформуєте схеми математичних вузлів, щоб максимально зменшити кількість переходів.

Хоча вам дозволено «розрізати» нитку, натискаючи на неї, ви лише модифікуєте схему, але не базовий вузол. Ось чому існує обмеження щодо того, як можна повторно закріпити «обрізані» кінці. Це обмеження гарантує незмінність математичного вузла при будь-якій зміні маршруту ниток, навіть якщо вузол змінює свій зовнішній вигляд. .
Коли ви розвязуєте повсякденні вузли в реальному житті?
Спробуйте інші математичні ігри на вузол!

a closed curve in 3-dimensional space which does not замкнута крива в тривимірному просторі без самоперетинів, яка має скінченну товщину (щоб уникнути нескінченно великої кількості менших і менших вузлів уздовж лінії), Приклад: вузол вісімка. діаграма(схема) вузлів

проекція лінії вузлів у 2 виміри, де різні частини лінії вузла можуть перетинати одна одну (на цьому веб-сайті лінії перетинаються під кутом 90 °), але не лежать одна на одній.

Приклади діаграм вузлів:
Коло також називають тривіальним вузлом

the abstract object behind абстрактний об’єкт, що узагальнює (нескінченно багато) діаграм вузлів, які можуть бути деформовані, розтягнуті та зміщені одна в одну, не розрізаючись. Приклад: вузол 3 ₁ також називається `` трилисник '', що є найпростішим нетривіальним вузлом.

The mathematical term математичний термін неперервного перетворення однієї лінія вузлів до іншої.

На цьому веб-сайті схеми вузлів зображаються лише на 6-ма блоками, які ми називаємо ланками:

місце на схемі, де перетинаються дві ланки, одна над одною:

ланка, яка є частиною перетину, є верхні переходи (повністю видно) та нижні переходи (частково покриті).

зміна місцями верхнього та нижнього переходів, тобто зміна між цими двома перетинами: Якщо перетин змінено, стара та нова діаграма представляють різні вузли. Перевертання всіх перетинів еквівалентно зміні вузла на його дзеркальне відображення. Деякі вузли ідентичні їх дзеркальній версії, це означає, що між ними існує ізотопія. Вони називаються "ахіральними". Наприклад, вузол вісімка - ахіральний. Інші не можуть бути деформовані до їх дзеркальної версії, як трилисник. Їх називають "хіральними".
Чи можна цей вузол перетворити на своє дзеркальне відображення?

Це не властивість лінії вузлів і вузла. Це питання, як рухатись уздовж лінії вузлів. Можна рухатись у 2 напрямки, які також називаються 2 орієнтаціями.
Вузол, який може деформуватися через ізотопію в себе, але із зворотною орієнтацією, називається “оборотним”, інакше він називається “необоротним”. Найменший необоротний вузол - 8 ₁₇ , який є ахіральним, але якщо додати орієнтацію, він стає хіральним (докладніше див. На сторінці Вікіпедії оборотний вузол). Ускладнення структури (тут орієнтація) призводить до втрати симетрії (більше не ідентичне дзеркальному відображенню).
Як можна було деформувати вузол у вигляді вісімки, щоб його схема залишалася незмінною, але зі зворотною орієнтацією?
У більш ранньому прикладі вузол у вигляді вісімки був перетворений за допомогою простої деформації в своє дзеркальне відображення. Ця деформація також змінила орієнтацію − будь ласка, переконайтеся в цьому самі! Отже, якщо хтось хоче деформувати діаграму до її дзеркального відображення без повернення орієнтації, то можна просто об'єднати обидві послідовності.

Хіральний вузол (вузол, який не може бути деформований до свого дзеркального відображення) ще може бути перевернутим (симетричним проти зміни орієнтації). Такі вузли називаються «реверсивними».

Для даної діаграми вузлів перехрестя бувають праворукими або ліворукими.
Далі ми розглянемо два типи переходів та визначимо, який є праворуким, а який ліворуким.
Скільки різних перетинів існує, якщо врахувати верхні/нижні переходи та обидві можливі орієнтації?
Якщо ви тримаєте схему незмінною і перевертаєте лише один перетин, чи змінюється право/ліворукість цього перетину?
Як можна зрозуміти чи є перетин праворуким чи ліворуким використовуючи руки?

різниця між кількістю ліворуких та праворуких перетинів на одній схемі. Число закрученості характеризує діаграму, а не вузол, оскільки може бути 2 різні діаграми одного і того ж вузла з різними числами закрученості. Яке число закрученості цієї діаграми?

число або властивість вузла, що не міняється для всіх (нескінченно багатьох) діаграм вузла. Властивості вузла, який є хіральним/ахіральним, оборотним/необоротним є інваріантами вузлів.

мінімальна кількість перетинів, яку може мати будь-яка діаграма цього вузла після деформації, це характеристика кожного вузла і, отже, інваріант вузла.
Скільки перетинів на цій схемі?
Яке число перетинів вузла представленого на наведеній вище схемі?
Які два найменші числа перетину можуть мати вузли?

Частина лінії вузлів на схемі від одного перетину до наступного.
Скільки дуг має діаграма з N перетинами ?

порожній простір на діаграмі, оточений дугами. Весь порожній простір поза діаграмою - це також один отвір.
Скільки отворів має діаграма з N перетинами ?

Об'єднання послідовних дуг на діаграмі (тобто дуг, що слідують одна за одною), яка починається і закінчується на нижньому переході та містить певну кількість лише верхніх переходів.

Послідовність послідовних дуг на діаграмі (тобто дуг, що слідують одна за одною), яка починається і закінчується на верхньому переході та містить певну кількість лише верхніх переходів.

(У літературі ниткою часто називають те, що ми називаємо надланцюжком. Для нас має значення кількість верхніх переходів верхньої нитки, а також кількість нижніх переходів нижньої нитки.)

Яку нитку зображає горизонтальна лінія, що складається з п’яти дуг?
Скільки зайвих ниток має діаграма з перетинами N ?

У 1927 р. Німецький математик Курт Рейдемайстер і незалежно від нього Джеймс Вадделл Олександр та Гарланд Бейрд Бріггс (1926) довели, що будь-які дві діаграми, що представляють один і той самий вузол, можуть деформуватися одна в одну шляхом послідовності лише 3 різних типів рухів. Проблема полягає в тому, що під час деформації кількість переходів може тимчасово піднятися і точна верхня межа цього збільшення невідома, як і кількість необхідних ходів.

видаляє або додає отвір, оточений однією дугою: На якій схемі показано ліворукий перетин, а на якій праворукий?

видаляє або додає отвір, оточений 2 дугами: Що можна сказати про право/ліворукість двох переходів, доданих або видалених 2 рухом Рейдемейстера?

видаляє і додає отвір, оточений 3 дугами.
Які 2 типи отворів, оточених 3 дугами, ви можете уявити?

Не має нічого спільного з визначеним вище «переходом». Перехідний рух замінює верхню (нижню) нитку іншою верхньою (нижньою) ниткою, обидві нитки мають однакові кінці. Для прикладів, будь ласка, дивіться P-, P0 та P + нижче.

перехідний рух, коли нова нитка має менше переходів, ніж стара.
Знайдіть рух P-, що замінює зелену нитку на цій схемі:

рух, коли нова нитка має таку ж кількість переходів, що і стара.
Знайдіть рух P0, який замінює зелену нитку на цій схемі:

перехідний рух, коли нова нитка має більше переходів, ніж стара.
Знайдіть рух P +, який замінює зелену нитку на цій схемі:
Рух P + стає необхідним, якщо хочеться змінити число закрученості діаграми. Детальніше про це описано нижче в розділі "Пошук ходів P0".

Число розв'язування є властивістю вузла, а не властивістю діаграми, а отже, є інваріантом вузла.
Починаючи з діаграми вузлів, це мінімальна кількість разів, коли потрібно перевернути один або кілька перетинів, щоб отримати розв'язок. Перед першим переворотом та між подальшими переворотами діаграма може бути довільно деформована. Таким чином, число розв'язування нелегко визначити, оскільки допускається будь-яка деформація.
Чому у трилисника число розв'язування 1?

Прості випадки рухів R1, як тут: випадок, коли можна розгорнути петлю 4 рази та одразу ж розв'язати вузол, легко виявити, слідуючи вздовж лінії вузлів і шукаючи дугу з обома кінцями на одному перетині. Порядок виконання рухів R1 не має значення. Але є більш загальні випадки застосування рухів Рейдемейстера типу 1. Якщо верхня нитка починається у вузлі, який вона перетинає зверху, або іншими словами лежить повністю поверх інших дуг (тому і називається "верхня нитка"), то цей цикл, безсумнівно, можна просто видалити. Наприклад, спочатку можна зняти петлю зверху в центрі, а потім інші, по черзі: Петлю можна також видалити, якщо вона повністю знаходиться знизу (під іншими дугами):

Подібно до рухів R1, легко виявити рухи типу R2, як тут, де потрібно зробити два рухи R2 для того, щоб можна було виконати рух R1 і отримати коло: У наступному прикладі потрібно виконати рух R2 з однією і тією ж ниткою двічі, один раз витягнувши цю нитку знизу і один раз зверху: Останнім рухом буде не R2. Його додано лише для того, щоб показати, що цей вузол - це сума двох вузлів типу “трилисник”.

Наведений вище приклад гарно демонструє оптимальне використання інтерфейсу. Після перерізання лінії вузла: НЕ можна зразу повністю відступати одним кінцем, а потім повністю відступити другим кінцем, оскільки потрібно спочатку видалили перетин знизу, щоб обидва кінці були у статусі нижнього перетину, а в цьому статусі неможливо видалити перетин зверху. Натомість потрібно видалити один нижній перетин, перейти на інший кінець, видалити другий нижній перетин, що приведе обидва кінці в один і той самий отвір, що змінює статус кінців нитки на нейтральний, а потім дозволяє видаляти верхні перетини, а потім знову з'єднати кінці. Словом, потрібно перестрибувати між кінцями, щоб усунути всі нижні перетини, потім всі верхні перетини і так далі.

Така реалізація статусу кінців не є недоліком програми програми - вона гарантує, що інтерактивна модифікація схеми не змінить математичний вузол.

Р- рухи замінюють верхню нитку на таку, що має менше верхніх перетинів, або нижню нитку на таку, що має менше нижніх перетинів. В обох випадках кількість перетинів зменшується.

Щоб знайти такі рухи, треба пройти вздовж лінії вузла і шукати якомога більше послідовних верніх перетинів, або якомога більше послідовних нижніх перетинів - принаймні два. Якщо ми знайшли таку нитку, наприклад, верхню нитку, тоді треба спробувати знайти альтернативний маршрут з меншою кількістю верхніх перетинів, що з’єднує ті самі два кінці нижнього перетину.

У наступному прикладі нитка з 4 послідовними нижніми перетинами замінюється ниткою без нижніх перетинів, а потім ця нитка з 3 послідовними верхніми перетинами замінюється ниткою з одним верхнім перетином. Ще два P- рухи видаляють ще по 2 перетини. Отриману схему можна спростити ще більше рухами R1, як показано нижче. Чим більше послідовних перетинів одного виду ми знайдемо, тим більший шанс знайти інший маршрут, який потребує менше перетинів.

R1, R2 і P- рухи змінюють кількість перетинів. Рух R3 не змінює кількість перетинів, тому ми надаємо його опис після P-рухів. Наступний приклад показує, як, тим не менш, рух R3 може бути корисним, роблячи можливим P-рух. Як описано в першому розділі, отвір R3 оточений верхньою дугою з 2 кінцями верхнього переходу (тут A, B), середньою дугою з 1 кінцем верхнього переходу (C) і 1 кінцем нижнього переходу (B) і нижня дуга з 2 кінцями нижнього переходу (тут A, C). (сторінки Unknot у Вікіпедії сторінки Unknot у Вікіпедії )

У вищенаведеному розділі ми говорили, що рух R3 змінює для середньої нитки (тут через B, C) порядок нижніх та верхніх перетинів. Рух R3 вигідний, якщо він призводить до того, що у продовження середньої дуги збільшується кількість послідовних верхніх перетинів та / або послідовних нижніх перетинів і, таким чином, збільшує шанс знайти P- хід. Це має місце, якщо при продовженні середньої дуги після нижнього перетину В йде верхній перетин (D, E - верхні перетини) та / або після верхнього перетину (С) слідує нижній перетин (F , G, H - нижні перетини). Рух R3 переміщує середню дугу BC між верхньою та нижньою дугами на A: Раніше було лише 2 послідовних нижніх перетини на D і E, тепер - 3 на C, D і E. Цю довшу верхню нитку тепер можна перенаправити за допомогою P- руху:

що зменшує кількості переходів на 2 - з 13 до 11.

Крім того, інша сторона нитки може бути перенаправлена ​​за допомогою P- руху. Раніше було 3 послідовних нижніх перетини на F, G та H, зараз - 4: на B, F, G та H. Цей P- рух веде до: і також зменшує кількість перетинів на 2. Обидві схеми можна додатково спростити за допомогою рухів P- і R1, що призводить, нарешті, до розв'язування вузла. Ви бачите як? Просто дотримуйтесь наведених вище підказок щодо визначення P- рухів.

Давайте попрактикуємо це на прикладі.


Скільки рухів R3 можливо на цій схемі:

Наведений вище приклад гарно демонструє те, як виконувати рухи R3 за допомогою нашого інтерфейсу.

Як описано у розділі "Вступ із визначеннями"> "Рух Рейдемейстера 3", є 3 способи виконати рух R3: переміщення нижньої нитки, переміщення середньої нитки або переміщення верхньої нитки. Як показано там, усі 3 способи дають однаковий результат, вони виконують однаковий рух R3.

Наш інтерфейс дозволяє здійснити рух R3 лише з нижньою, або верхньою ниткою, але не з середньою. Причиною є особливість нашого інтерфейсу: ОБИДВА кінці можуть збільшувати/зменшувати кількість верхніх переходів, або ОБИДВА кінці можуть одночасно збільшувати/зменшувати кількість нижніх переходів. Але це не заважає нам виконувати рухи R3, оскільки переміщення будь-якої з 3-х ниток дає той самий результат.

Рухи P0 не змінюють кількість перетінив, як і рухи R3, які є спеціальними версіями рухів P0. Як і рух R3, рух P0 може бути корисним і дати можливість здійснити P- рух. Оскільки рухи P0 загалом менш корисні, вони трапляються частіше, але складніше визначити, чи вони дають можливість здійснити в подальшому P- рух.

Для того, щоб знайти рух P0, потрібно шукати верхній або нижній перехід, як і для P- рухів. Щоб перевірити, чи може рух P0 бути корисним, і дати можливість здійснити P- рух, слід діяти так само, як у випадку з рухом R3. Потрібно визначити, чи збільшує видалення нитки кількість послідовних верхніх чи нижніх перетинів, і подивитися, чи збільшиться кількість послідовних верхніх чи нижніх переходів після перенаправлення нитки. В будь-якому з цих випадків потрібно перевірити, чи можна перенаправляти нитки, у яких збільшилась кількість послідовних верхніх або нижніх переходів таким чином, щоб кількість перетинів зменшилась.

Давайте розглянемо приклад: Ми позначаємо перетини: знаходимо вигідний P0 рух крок за кроком.

Скільки верхніх ниток принаймні з двома верхніми переходами і скільки ниток з принаймні двома нижніми перетинами ви бачите?
Неважко помітити, що нитка IE має рух P0, який переміщає їїтаким чином, що та буде перетинати зверху нитки GC і BH: але питання полягає в тому, чи корисний цей рух P0.

Чи збільшило переміщення нитки IE кількість послідовних верхніх/нижніх переходів ниток DF або HJ, які перетинала раніше?
Чи було утворено більше послідовних верхніх/нижніх переходів після того як нитку було переміщено над нитками GC та BH?
Чи можна нитку BH перенаправити за допомогою P- руху, щоб зменшити кількість перетинів?
Той факт, що нова нитка довша (включає більше кроків) на цій схемі, ніж та, яку замінили, не має значення. Важливо лише зменшення кількості перетинів з 10 до 8, що тепер дозволяє ідентифікувати цей вузол як вузол 8₁₇.

На початковій схемі цей P- рух можна було спочатку здійснити P0 рух, а рух P0, згаданий вище, згодом як P- рух з такою ж загальною економією у 2 перетини.

У складних задачах може бути необхідним виконати кілька рухів P0, перш ніж P- рух стане можливим.

Діаграма максимально спрощується, якщо кількість перетинів дорівнює числу перетинів (див. Перший розділ). У цьому випадку переміщення P0 ніколи не дасть змогу здійснити P- рух.

Хід Р+ збільшує кількість перетинів на діаграмі. Чому такий хід може бути корисним для чогось, якщо метою зазвичай є спрощення діаграм? Щоб побачити їх призначення, нагадайте собі про числа перетинів, зручність переходів, закручені числа і про те, як різні ходи Рейдемейстера впливають на обидва числа. Тоді погляньте на наступне (складне) завдання.

Довгий час, починаючи з кінця^19-го століття, вважалося, що дві діаграми, названі 10,₁₆₁ і 10,₁₆₂ у таблиці вузлів Дейла Рольфсена, належать двом різним вузлам. У 1973 році Кеннет Перко зрозумів, що обидва символізують один і той же вузол. З тих пір пара записів в таблицях класичних вузлів, які фактично представляють один і той же вузол, називається парою Perko.
Ці дві схеми представляють один і той же вузол 10₁₆₁. Як вони можуть деформуватися один в одного? Як можна знайти таку послідовність ходів Р+ і Р- і, можливо, Р0, які здійснюють таку деформацію?
І ось ще один виклик. Як ці дві діаграми можуть бути деформовані одна в одну?

Рух U1 перевертає перетин, що згодом дозволяє спростити схему так, щоб позбутися усіх перетинів, і показати, що ця зміна призвела до розв'язання вузла.

Загалом хороші головоломки повинні мати унікальні рішення, тому наші головоломки U1 та U2 розглядають схеми, де перевертання лише одного перетину призводить до розв’язування вузла. Ця підказка дозволяє скоротити пошук.

Якщо схема включає петлю такого виду:

чи має значення, який з перетинів перевернути?
Тому або обидва перетини після перевертання призведуть до розв’язування вузла, або жоден з них. Оскільки в наших головоломках є лише один переворот, який призводить до розв’язування вузла, ці два перетини можна ігнорувати. Якщо є ще кілька потенційних перетинів, слід спробувати уявити, скільки рухів R1, R2 стане можливими після перевороту, і спробувати спершу той переворот, який, ймовірно, призведе до найбільшої кількості спрощень.

Ще одна підказка щодо мінімізації кількості переворотів - уявити, чи після перевороту залишиться вузол, наприклад, трилисник. Якщо так, то цей переворот не є правильним у головоломках U1.

У завданні кількість дозволених переворотів обмежена до мінімуму, необхідного для розв'язання вузла. Якщо ви зробили переворот, ви не можете перевернути його назад, оскільки схема, можливо, була змінена, тому доведеться перезагрузити схему.

Для головоломок U2 застосовується та сама підказка про еквівалентні перевороти, що і для головоломок U1. Крім того, для головоломок U2 є лише один переворот, який зменшує число розв'язування, тобто робить крок у напрямку до розв'язування вузла. Після того, як цей унікальний перший перетин буде перевернуто, а отримана схема буде спрощена, може з'явитися більше одного перевороту, який призведе до розв'язування вузла.

Дослідження, проведене Caribou Contest щодо чисел розв'язування, показало, що існують максимально спрощені схеми вузлів (з мінімальною кількістю перетинів), які не мають спрощувального перевороту. Іншими словами, є схеми, на яких перевертання будь-яких перетинів не допоможе з розв'язанням вузла. У цьому випадку спочатку потрібно виконати один або більше P0 рухів, які змінюють головоломку на U2-головоломку. Хороша новина полягає в тому, що схеми, які потребують спершу рух P0, є рідкістю, і тому, швидше за все, будь-який рух P0 змінить їх на головоломку U2.

Завдання Unknotting на цьому сайті спеціально відібрані. Знання їх особливостей, може допомогти у їх вирішенн
R3 Ходи
U1 і U2 рухи
Р0 рух
P0U рух