大多数人利用绳结来系鞋带，戴领带或围巾，以及合上包包，等等……在航海、野营、钓鱼、缝纫、编织和梳头发的过程中，你能见到更多的绳结。 然而，它们并不属于数学绳结！

观察下图所示的两个绳结。令人困惑的是，它们都被称为“八字绳结”，因为它们包含数字8。
你能发现它们最大的不同吗? 我们知道你可以 指出 它们的不同!

当然！你现在了解到，在数学概念里，绳结是一个单一的、封闭的、连续的线。
在这个概念下, 最简单的数学绳结是什么?
如何用一根绳子打一个数学绳结？

在这个游戏中，通过变形绳结图来尽可能的减少交叉的数量。

当点击鼠标“切断”这些线时，你只是改变了图，而不是基础的绳结。这就是设置重新连接被“切断”末端限制的原因。 这一限制保证了数学绳结在重新连接后不变，即使绳结的外观有改变。.
在现实生活中，我们都在什么情况下解开日常绳结？
尝试一些其他的数学绳结游戏!

在三维空间中的一条闭合曲线，该曲线本身并不 相交，并且有一定的厚度(以避免绳结线上出现无限多个越来越小的绳结)，比如: 八字绳结。

一条绳结线在两个维度上的投影，其中绳结线的不同部分可以互相交叉(在此网站上，线交叉的角度为 90°)，但不相互重叠。

绳结图示例：
‘可解绳结’又称为‘平凡绳结’。

一组(无限多个)绳结图背后的抽象对象，这些结图都可以变形、拉伸和移动，且不需要切割。例如: 3₁绳结也被称为“三叶草绳结”，这是最简单的特殊绳结。

数学术语，指一条绳结线可以不被切断而变形成另一条绳结线。

本网站仅使用 6 个图块绘制了绳结图：我们称为阶。

图中阶和阶相互交叉的地方。

是交叉的一部分，有上方通道(完全可见)和下方通道(部分覆盖)，

可转换绳结图中交叉的上方通道和下方通道。 如果一个交叉被转换，原绳结图和新绳结图表示完全不同的绳结。转换所有的交叉相当于把一个绳结变换成它的镜像。一些绳结与它们的镜像完全相同，比如八字绳结，其他则并不相同，比如三叶草绳结。
这个绳结可以变形成它的镜像吗?

方向不是绳结线或绳结的属性，而是一个如何沿着绳结线移动的问题。绳结线可向 2 个方向移动。
如果一个绳结可以通过环境同痕转换成与自己方向相反的绳结，则可以称其为‘可逆绳结’，否则，则为不可逆绳结。最小的不可逆绳结为8₁₇ ，它们是非手性的，但如果加入一个方向，就变成了手性的（详见 可逆绳结维基百科）。添加更多的结构(这里指添加一个方向)会导致它失去对称性(不再与它的镜像相同)。

上述八字结的交叉数为 4，小于 8，因此必须是可逆的。
八字形结如何变形以保持其样子不变，但方向相反？
在前面的例子中，一个八字结通过一个简单的变形转换成它的镜像。这种变形也改变了方向 - 请自己验证一下！因此，如果想把图变形为其镜像而不改变方向，那么可以将两种变换方式结合起来。

-->手性结(不能变形成其镜像绳结的绳结)仍然可以是可逆的(对方向变化对称)。这样的绳结称为“可逆绳结”。

对于给定的绳结图，交叉要么是左交叉要么是右交叉。
下文中我们将从基本原理出发，推导出两种交叉类型，并分别命名为右交叉和左交叉。
如果我们将上通道/下通道以及两个方向都考虑在内的话，那么有多少个不同的交叉？
如果在绳结图不变的前提下仅转换一个交叉，交叉的偏向性是否会发生变化？
如何我们的手来判断一个交叉是左交叉还是右交叉？

在一个绳结图中左交叉和右交叉的数量之差，以绳结图为例，这个数字可以用来分辨具有同样绳结的 2 个不同绳结图。 这个绳结图的扭数是多少?

表示一个绳结所有(无限多）特征的一种数字或多项式或一种可行性陈述。一个绳结的手性/非手性，可逆/不可逆，可反转的性质都是扭结不变量。

一个绳结在任意图形的最小相交数，这是每个绳结自身的特征，因此是一个不变量。
这个绳结图有多少个交叉:
图中所表示的绳结的相交数是多少?
一个绳结可拥有的最少相交数是哪两个?

图中从一个交叉到下一个交叉的绳结线部分。
带有 N 个交叉的绳结图有多少个弧？

绳结图中被弧线包围的空白区域。绳结图外部的整个空白区域也是一个孔。
一个有 N 个交叉的绳结图有多少个孔？

纽结图中的连续弧线（即彼此相继的弧），起始端和终端都在下方通道。因此有0，1 或者多条上方通道。

A纽结图中的连续弧线（即彼此相继的弧），起始端和终端都在上方通道。因此有0，1或者多条下方通道。

（在文献中，我们通常称一条上方连续弧线为“线段”。对于我们来说，一条上方弧线的上方通道数量与一条下方弧线的下方通道数量同样重要，因此我们需要同时考虑两种情况。）

哪种线段是由 5 条弧线组成的平行线？
带有 N个交叉的纽结图有多少个上方连续弧线？

1927年，德国数学家库尔特·赖德迈斯特、詹姆斯·亚历山大和加兰·贝尔德·布里格斯(1926年) 分别证明了任何两个表示同一绳结的图形都可以通过 3 种不同的步法彼此变形。但问题是，在变形过程中，交叉的数量可能会暂时增加，而这种增加的上限和需要移动的数量都是未知的。

删除或添加由一个弧围成的孔: 哪个图形表示左交叉，哪个图形表示右交叉？

移除或添加由两个弧围成的孔: 在赖德迈斯特移动 2中，增加或移除的两个交叉偏向应该怎样描述？

删除或添加一个由 3 个弧围成的孔。
你能想出哪两种被 3 个弧线围成的孔?

这与上面定义的“通道”无关。通道移动用另一个上方-（下方-）弧线来代替先前的上方-（下方-）弧线，这两个弧线的终端相同。例如：参考 P-, P0 and P+的移动如下。

新弧线的通道移动要少于原有弧线的通道移动。
在该绳结图中找到可以替换青色线段的P-移动：

新线段的通道数量与原线段的通道数量相等。
在该绳结图中找出可以替换青色弧线的 P0 移动:

新线段通道数量多于原有线段的通道数量。这些步法包括所有其他可能的通道移动。除非 P+移动有其他一些有用的属性，否则并没有什么意义，因此不在该网站显示。
在这个图中找到一个P+移动取代青色线段:
如想要改变绳结图的扭数，P+移动是必要的。关于这一点的更多信息将在下方“寻找P0移动”中进一步描述。

这是绳结的属性而不是绳结图的属性。因此我们叫做“不变量”，它与绳结图的“形态”无关。
可解绳结的数量是为得到可解绳结进行交叉转换的最小数量。在交叉第一次转换之前以及转换中间，绳结图可以进行任意变形。因此可解绳结的数量很难确定。
为什么三叶草绳结的可解绳结数量为 1？

关于R1 移动的简单案例如下： 我们可以把线圈翻转 4 次，绳结马上就会解开，沿着结绳找到有两个有相同终端的弧线。执行 R1 移动的顺序并不重要。 关于赖德迈斯特移动 1 的应用还有更多普遍的案例。如果一个上方连续弧线起点和终点相同，但完全位于与其他弧线的顶部（因此可以称为“上方连续弧线”），那么可以切断或移除此线圈。例如，首先可以把顶端的青色线圈移除，然后再依次移除其他线圈： 当此线圈完全处于最底部时也可以移除：

与 R1 移动相似，我们很容易就可以找到 R2 移动的原型，如下：当 R2 移动在 R1 之前完成时会产生可解绳结： 在以下示例中，需要用相同的弧线执行两次 R2 移动，一次是从底部拉动线段，一次是从上面拉动线段： 最后一步不是R2移动。仅用于说明最后的绳结是两个三叶草绳结共同呈现的结果。

以上示例可以很好地证明游戏界面的最佳使用情况。在截断绳结之后： 我们不能一直撤回某一端后继续撤回另一端，因为我们首先移除了一个下方通道，使两端都处于下方通道的状态；在这一状态下，无法移除一个上方通道。相反，我们移除一个下方通道，跳到另一端，移除另一个下方通道，让两端处于同一个孔中，两端处于一个中立状态。然后我们可以移除上方通道，重新连接两端。简言之，在端点之间跳动以移除两端之间所有的下方通道和上方通道。

两端达到的状态并不是该程序的一个缺陷，反而保证了绳结图交互式的修改不会改变数学绳结。

P-移动通过上方通道较少的上方连续弧线替代上方通道较多的上方连续弧线，或者通过下方通道较少的弧线替代下方通道较多的下方连续弧线。在这两种情况中，交叉点的数量减少了。

为解锁这种移动，需要穿过结绳，尽可能多的找到连续的上方通道或者下方通道，至少要找到两个。如果找到这样的线段，比如一个上方连续弧线，尝试找到一条替代路径，这条路径的上方通道较少，可以连接相同的下方路径的两端。

在该例子中，有 4 条上方通道的原青色上方连续弧线被红色上方连续弧线所取代，红色上方连续弧线较长，但上方通道较少。 解锁的连续通道越多，找到不同路径（需要较少通道）的几率就越高。

R1, R2和 P- 移动改变了交叉的数量。R3 移动不会改变交叉的数量，因此我们把对 R3 移动的描述放在了P-移动之后。以下例子表明通过执行P-移动，R3 移动为有效移动。如第一部分所述，一个R3 孔由三部分组成：一个顶部弧线（2个上方通道终端）（此处为A,B），一个中部弧线（1个上方通道（C）和1个下方通道（B）），一个底部弧线（两个下方通道终端（此处为A,C）。 可解绳结来源 可解绳结来源)

在上一部分中，我们发现 R3 移动翻转了中间线段(这里是通过 B,C)下方和上方通道的顺序。如果 R3 移动导致中间弧线延续，连续上方通道或连续下方通道增加，进而增加找到 P-移动的几率，那么 R3 移动就是有效的。如果在中间弧线的延长线上，下方通道B之后有一个上方通道（D、E 都是上方通道），或者在上方通道（C）之后紧跟着一个下方通道（F、G、H都是下方通道），就会出现上述情况。R3 移动使中间弧线 BC 在点 A 的上方弧线和底部弧线之间滑动。 在这之前，D 和 E 仅有 2 个上方通道，现在 C, D 和 E 有 3 个上方通道。这个较长的上方连续弧线可以以P-移动的方式改变路径。
把交叉数量从 13 减到 11。

同样，线段的另一侧也可以以P-移动的方式改变路径。在改变路径之前，F, G 和 H 有3个连续的下方通道，现在B, F 和 G 有4个连续下方通道。这种P-移动会导致： 交叉数量减少2个。通过P-和R1 移动，两个绳结图都可以进一步简化，最终得到可解绳结。你知道怎么做吗？请参考上文——如何识别P-移动。

我们来通过一个例子来练习一下。


在这个绳结图中有多少个可能的R3移动:

上面的例子很好地展示了如何用我们的界面执行R3移动。

正如‘定义介绍’>‘赖德迈斯特移动 3’所示，有三种完成赖德迈斯特移动 3的方法：移动底部线段，移动中间线段，或者移动顶部线段。如图所示，这3种方法结果相同，均执行了Reidemeister 3移动。

我们的界面只允许通过移动底部线段或顶部线段来完成R3移动，但不允许移动中间线段。因为在我们的界面里，两端一次只能添加/移除一个上方通道，或者添加/移除一个下方通道。但这并不妨碍我们执行R3移动，因为移动三条线段中的任何一条都会得到相同的结果。

P0 移动是通道移动，未改变交叉数量，就像 R3 移动是 P0 移动的特殊形式。正如 R3 移动，P0 移动可以是有效的，并且可以进行P-移动。由于P0 移动通常情况下用处较小，它们出现的次数较为频繁，但是P0 移动是否能够进行P-移动的操作，挑战性较大。

为找到 P0 移动，我们需要找到一个类似于 P0 移动的上方弧和一个下方弧。为检验 P0 移动是否有效以及是否能够进行P-移动，我们需要执行与 R3 移动相似的步骤。一个人看一下移除这条线段是否会增加交叉线段连续上方通道或者连续下方通道的数量，另一个人检查在重新修改新的线段的路径之后，是否会增加交叉线段的连续上方通道或者连续下方通道的数量。选择两种情况中的任意一个，都要检查是否可以以较少交叉重新设置具有更多连续上方或下方通道的线段。

让我们看一下这个例子： 我们标出交叉： 逐步解锁有效的 P0 移动。

你能看到多少个至少有2个上方通道的上方连续弧线？多少个至少有2个下方通道的下方连续弧线？
不难看出 IE 弧线进行了一次 P0 移动，IE 弧线的新位置穿过了 GC 和 BH 弧线： 但问题是这个P0 移动是否有效。

移动 IE 线段会增加先前与 DF 或 HJ 交叉线段的连续上方通道或者连续下方通道的数量吗？
当该线段与 GC 和 BH 线段重合时会产生更多连续上方或下方通道吗？
BH 线段可以通过P-移动改变其路径减少交叉数量吗？
在该绳结图中，新的线段比（涉及到更多阶）被替代的线段更长。但这不是重点。重点是把交叉点数量从10 减到8，这样可以确定该绳结为绳结₁₇。

在最初的绳结图中，P-移动可以首先按照 P0 移动完成，然后再将上述 P0 移动按照 P- 移动完成，共减少两个交叉。

处理较为困难的问题时，可能需先执行几次P0 移动，然后才能进行P- 移动。

如果交叉数量是像这样的交叉数量（参见第一部分），那就需要最大程度地简化绳结图。在这种情况下，执行P0 移动之后无法进行P- 移动。

一个 P+ 移动增加了图中交叉点的数量。如果目标通常是为了简化图表，为什么这样的移动会有用处？为了了解它们的目的，提醒自己交叉点的数量、交叉点的手性、writhe 数字以及不同的 Reidemeister 移动如何影响这两个数字。然后看看下面这个（困难的）挑战。

自 19 世纪后期以来的很长一段时间里，Dale Rolfsen 的表格中名为 10₁₆₁ 和 10₁₆₂ 的两个图表被认为属于两个不同的结。1973 年，Kenneth Perko 意识到两者都代表同一个结。从那时起，这对经典条目实际上代表相同结的结表称为 Perko 对。
这两张图代表同一个结 10₁₆₁。它们如何能相互变形？ 怎样才能找到这样的一系列 P+ 和 P- 以及可能的 P0 移动来完成这种变形？
这是另一个挑战。 这两张图怎么能互相变形呢？

U1移动转换交叉，这样可以简化绳结图，删除所有交叉。并显示该转换产生了可解绳结。

通常完美的绳结应该有独特的解决方案。因此我们的 U1,U2 所展示的绳结图为仅转换一个交叉就可以产生可解绳结。该结果提示您可以减少搜索次数。

如果此图形包括类似的结绳:

对哪一个交叉进行转换很重要吗？
如果还有几个剩余的交叉，应试着去想象一下通过转换可以实现多少次 R1,R2移动。尝试首先进行转换，这样之后便可以生成最简图。

尽量减少尝试转换的另一个提示是，想象一下转换之后是否一定会像三叶草纽一样保留一个绳结。如果是这样的话，那么在 U1 中进行这样的转换就是错误的。

在工作表上，限制可用转换的数量为获得可解绳结所需的最少数量。如果进行了转换，则由于该图可能已更改而无法将其切换回原来的状态，因此必须重置该图。

对于 U2 图来说，关于等效转换的提示也同样适用于U1图。同样，对于 U2 图形来说，只有一个交叉可以减少可解绳结的数量，即找到可解绳结。一旦转换了唯一的第一个交叉，简化了绳结图，那么就有可能出现多个可转换的交叉，产生更多的可解绳结。

驯鹿竞赛关于可解绳结所进行的研究表明，最大程度简化的绳结图形是存在的（这种图形交叉的数量最少），但没有办法进行简化转换。换句话说，有些图形即使进行交叉点转换也无法达到可解绳结的状态。在这种情况下，首先应该进行 1 次或多次 P0移动，这样可以把图形变成U2图形。好消息是，首先进行 P0 移动的绳结图是不常见的。因此，任何P0 移动都有可能将其改变为 U2 图形。

本网页是特别挑选的解结游戏。了解其特点有助于破解游戏。
R3移动
U1和U2移动
P0移动
P0U移动