Unknotting ©

300000

Ushbu qo'llanma sizni tugun nazariyasi mavzusi bilan tanishtiradi. Birinchi bo'limda muhim matematika nazariyasi tushunchalari va terminologiyasiga kirish berilgan. Agar siz faqat tugunlarni ochish jumboqlarini hal qilish uchun tezkor maslahatlarni izlayotgan bo'lsangiz, ikkinchi bo'limga o'ting. Agar ba'zi so'zlarning ma'nosi aniq bo'lmasa, har doim birinchi bo'limga murojaat qilishingiz mumkin.

Ta'riflar bilan kirish

Kirish
Avval birinchi narsa: tugunlar nima? Matematikadagi tugunlar kundalik hayotingizdagi tugunlardan farq qiladi.

Har kuni qanday tugunlarni ishlatasiz?

Bu matematik tugunlardan qanday farq qiladi?

Kundalik hayotda matematik tugunlar bormi?

Albatta! Siz endi bilasizki, matematikada tugun bitta, yopiq, uzluksiz ipdir.

Ushbu ta'rifni yodda tutgan holda, eng oddiy matematik tugun nima?

Eng oddiy matematik tugun - bu bitta halqa yoki doira:

Keyinchalik bu tugun haqida ko'proq gaplashamiz, ammo haqiqiy hayotda bu kabi oddiy looplarning ko'plab misollari mavjud.

Qanday qilib ipdan matematik tugun yasash mumkin?

Eng oddiy matematik tugun - doira. Buni amalga oshirish uchun ipingizning uchlarini bir-biriga yopishtiring.

Agar siz doirangizni bir marta bursangiz nima bo'ladi?

Bu boshqa tugunmi?

Doira hosil qilish uchun barcha tugunlar deformatsiyalanishi mumkinmi?

Tugun diagrammasi eng oddiy shakldan qanday farq qilishi mumkin?

Unknotting o'yini qanday ishlaydi?

Taʼriflar
Bu yerdan boshlab biz faqat matematik tugunlar haqida gapiramiz. Tushunmovchiliklarga yo'l qo'ymaslik va biron bir bayonot to'g'ri yoki noto'g'ri ekanligini hal qilish uchun biz ushbu sahifaning qolgan qismi uchun bir necha so'zlarning ma'nosini aniqlashdan boshlashimiz kerak.
& tugunlar chizig'i:

o'zini kesib o'tmaydigan va chekli qalinlikka ega bo'lgan 3 o'lchovli fazoda yopiq egri (chiziq bo'ylab cheksiz ko'p kichik va kichik tugunlarni oldini olish uchun), Misol: Shakl-8 tugun.
DiagrammaComment:
tugun chizig'ining 2 o'lchamga proyeksiyasi, bu erda tugun chizig'ining turli qismlari bir-birini kesib o'tishi mumkin (ushbu veb-saytda chiziqlar 90 ° burchak ostida kesishadi), lekin bir-birining ustiga yotmang.

Ununnot



Riyollar



Sakkizinchi shakl



Shoʻrvacolor



Uch burish

"Unknot" shuningdek, "arzimas tugun" deb ham ataladi.
Ushbu 3 diagrammalarning har biri qaysi tugunni ifodalaydi?

Untugun. Qanday qilib ular to'rtburchakka deformatsiyalanishi mumkinligini ko'ryapsizmi?

Bu diagramma qaysi tugunni ifodalaydi?

Trefoil.

Buni oldingi trefoil diagrammasiga qanday qilib deformatsiyalashni ko'ryapsizmi?

Siz yuqori arkni pastga aylantirib, ushbu diagrammani ikkinchisiga aylantirishingiz mumkin.

matematik tugun (yoki oddiygina tugun):
(cheksiz ko'p) tugun diagrammalari to'plami ortidagi mavhum ob'ekt, ularning barchasi deformatsiyalanishi, cho'zilishi va kesilmasdan bir-biriga o'tishi mumkin. Misol: tugun 3₁ , shuningdek, "trefoil" deb ham ataladi, bu eng oddiy notrivial tugun.

atrof-muhit izotopiyasi:
bir tugun chizig'i doimiy ravishda boshqasiga buzilishi mumkin bo'lgan matematik atama.

qadam:
Ushbu veb-saytida tugun diagrammalari biz qadamlar deb ataladigan faqat 6 kafel yordamida chiziladi:

o'tish joyi:
diagrammada ikki qadam kesib o'tadigan joy, biri ikkinchisining ustida:

o'tkazmoq:
O'tishning bir qismi bo'lgan pog'ona, over-dovonlar (to'liq ko'rinadigan) va pastki o'tish (qisman qoplangan) mavjud.

almashtirmoq:
o'tish joyining ustki va pastki o'tishini almashtirish, ya'ni ushbu ikkita o'tish joyi o'rtasida almashish:

Agar o'tish o'tishi o'zgartirilsa, eski va yangi diagrammalar umuman turli tugunlarni ifodalaydi. Barcha o'tish joylarini almashtirish tugunni oyna tasviriga o'zgartirishga tengdir. Ba'zi tugunlar ularning ko'zgu versiyasiga o'xshash, ya'ni ular orasida atrof-muhit izotopiyasi mavjud. Bular "achiral" deb ataladi. Misol uchun, 8-raqamli tugun achiraldir. Boshqalar esa trefoil kabi ko'zgu versiyasiga deformatsiyalanishi mumkin emas. Ular "chiral" deb ataladi.
Bu tugun o'zining ko'zgu tasviriga deformatsiyalanishi mumkinmi?

Ha! Ushbu diagramma achiral bo'lgan sakkiz raqamli tugunni ifodalaydi va uning ko'zgu tasviriga quyidagicha deformatsiya qilinishi mumkin:

Boshlangʻich pozitsiyasi

180 ° aylanish

Bir ipni koʻchirish

Koʻzgu tasviri

E'tibor bering, birinchi diagramma va oxirgi diagramma o'rtasidagi yagona farq shundaki, barcha o'tish joylari almashtirilgan!

oriyentasiya:
Bu tugun chizig'ining ham, tugunning ham xususiyati emas. Bu tugun chizig'i bo'ylab qanday harakat qilish kerakligi masalasi. 2 yo'nalishi deb ham ataladigan 2 yo'nalishda harakat qilish mumkin.

Atrof-muhit izotopiyasi orqali o'z-o'zidan deformatsiyalanishi mumkin, ammo yo'nalishi teskari bo'lgan tugun "teskari" deb ataladi, aks holda u noto'g'ri deb ataladi. Eng kichik qaytarilmaydigan tugun 8₁₇ bo'lib, u achiraldir, ammo agar yo'nalish qo'shilsa, u chiral bo'lib qoladi (ko'proq ma'lumot oling Invertible Knot Vikipediya sahifasi). Ko'proq struktura qo'shish (bu erda yo'nalish) 8₁₇ simmetriyani yo'qotishiga olib keladi (endi uning oyna tasviri bilan bir xil emas).

Yuqorida aytib o'tilgan sakkiz raqamli tugun 4 o'tish raqamiga ega, shuning uchun 8 dan kamroq, va shuning uchun teskari bo'lishi kerak.
Qanday qilib sakkiz raqamli tugun diagrammasini o'zgarishsiz qoldirish uchun deformatsiyalanishi mumkin, lekin yo'nalishi teskari bilan?
Quyidagi ketma-ketlik tugunning teskari ekanligini isbotlaydi, chunki bu tugunning diagrammasi bir xil diagrammaga deformatsiyalanishi mumkin, ammo teskari yo'nalishda.

Dastlabki proyeksiyaName

Qayta yoʻnalish

Keyin

Qayta yoʻnalish

Keyin

Qayta yoʻnalish

Keyin

Qayta yoʻnalish

Keyin

Keyin

Genişləndirilmiş, indi
əks oriyentasiya ilə

Avvalgi misolda, sakkiz raqamli tugun oddiy deformatsiya orqali oyna tasviriga aylantirilgan. Bu deformatsiya ham yo'nalishni o'zgartirdi - iltimos, o'zingiz tekshiring! Shunday qilib, agar diagrammani yo'nalishni o'zgartirmasdan ko'zgu tasviriga deformatsiyalashni istasangiz, unda ikkala ketma-ketlikni ham birlashtirish mumkin.

Kiral tugun (ko'zgu tasviriga deformatsiyalanmagan tugun) hali ham teskari (yo'nalishni o'zgartirishga qarshi nosimmetrik) bo'lishi mumkin. Bunday tugunlar "teskari" deyiladi.

əllərin keçməsi:
Berilgan tugun diagrammasi uchun o'tish o'ng yoki chap qo'l bilan amalga oshiriladi.
Quyida biz ikki turdagi o'tish joylarini ko'rib chiqamiz va qaysi biri o'ng yoki chap qo'l ekanligini aniqlaymiz.
Agar biz qaysi dovon over-/under-pass ekanligini ko'rib chiqsak va ikkala yo'nalishni ham hisobga olsak, qancha turli xil o'tish mavjud?
Hammasi bo'lib 8 ta holat mavjud:
Agar gorizontal o'tish over-pass bo'lsa, unda 4 variant mavjud:

1

2

3

4

Xuddi shunday, agar vertikal o'tish over-pass bo'lsa, unda yana 4 variant mavjud:

5

6

7

8

Printsip: Qo'llar yo'nalishga (tugun chizig'idan qadam qo'yish yo'nalishi) bog'liq bo'lmasligi kerak, shuning uchun ikkala o'qni teskari qilib, biz 4 juft kesishishni aniqlaymiz: 1 = 4, 2 = 3, 5 = 8, 6 = 7. Shuning uchun, qaysi guruhga ega bo'lsak, 1 va 4 o'tish bir guruhda bo'lishi kerak va hokazo.
Printsip: Agar biz butun tugunni aylantirsak, o'tish tegishli bo'lgan guruh o'zgarmasligi kerak. Shuning uchun biz 1 = 7 = 4 = 6 va 2 = 5 = 3 = 8 kesishmalarini aniqlaymiz.
Barcha identifikatsiyalardan so'ng bizda hali 2 guruhlar mavjud:
1, 7, 4, 6 guruhlardagi o'tish joylari o'ng tomondan o'tish joylari deb ataladi
2, 5, 3, 8 guruhlardagi o'tish joylari chap tomondan o'tish deb ataladi.

Diaqram dəyişməz saxlanılsa və yalnız bir keçid dəyişdirilərsə, bu kəsiyinin təhvil verilməsi dəyişirmi?
Ha. Sakkizta o'tish joyidan birini almashtirishga harakat qilib ko'ring, keyin qaysi biriga aylanganini tekshiring va u hali ham bir xil qo'llar guruhida ekanligini tekshiring. Misol uchun, 1ni almashtirish 5 kesishishini beradi, ikkalasi ham turli qo'llar guruhlarida bo'ladi.

Bayonot: O'tish joyi o'ng qo'l yoki chap qo'l bilan ekanligi masalasi nafaqat kesishmaning o'ziga, balki uning atrofidagi diagrammaga ham bog'liq.

Isbot: Gorizontal o'tish yuqorida yoki pastda bo'ladimi, yolg'iz qo'lni hal qilmaydi. Ikkala holat ham o'ng va chap tomon bo'lishi mumkin (yuqoridagi 8 ta o'tish joyiga qarang). Agar tugunni over-pass gorizontal bo'lishi uchun aylantirsa va agar u o'ng tomonga (Sharqga) o'tish orqali o'tishni qoldirsa, u holda janubdan (keyin o'tish o'ng tomondan) yoki shimoldan (keyin o'tish chap tomondan) o'tishga qaytadimi, tugunning qolgan qismiga bog'liq.

Ikki guruh o'tish joylarining chap va o'ng qo'l deb atalishi, o'ng va chap qo'l bilan o'tishlarni ajratish mumkinligiga ishora qiladi.

Qo'llarini ishlatib, o'tish o'ng yoki chap qo'l ekanligini qanday eslash mumkin?
Barmoqlaringizni uzating, shunda barchasi bir tekislikda bo'ladi va bosh barmog'ingiz bir-biriga parallel bo'lgan boshqalarga to'g'ri burchak ostida bo'ladi. Qo'lingizni aylantiring, shunda kaftingiz va bosh barmog'ingiz over-passning chiquvchi yo'nalishiga va barmoqlaringiz pastki o'tishning chiquvchi yo'nalishiga ishora qiladi. Buni qila oladigan qo'l qo'lni hal qiladi. Misol uchun, quyidagi o'tish uchun siz qo'lingizni quyidagicha uzatasiz:

Buni faqat chap qo'lingiz bilan qilishingiz mumkinligi sababli, bu chap qo'l bilan o'tishdir.

O'ng va chap tomondan o'tish joylari musbat yoki salbiy kesishmalar deb ham ataladi.

raqamni yozish:
bir diaqramda sol və sağ əlli keçidlərin sayı arasındakı fərq. Bükülmə rəqəmi düyün deyil, diaqramı xarakterizə edir, çünki eyni düyünün müxtəlif bükülmə nömrələri ilə 2 müxtəlif diaqramı ola bilər.

Bu diaqramın əyilmə nömrəsi nədir?
Diaqramdakı sağ əlli keçidlər qırmızı, sol əlli keçidlər isə yaşıl rənglə vurğulanır. Bükülmə nömrəsini əldə etmək üçün sol və sağ əllə kəsişmələrin sayını hesablaya bilərik, sonra sol əllə kəsişmələrin sayından sağ əlli kəsişmələrin sayını çıxara bilərik.

Ushbu diagrammada 2 chap va 4 o'ng qo'l bilan o'tish mavjud, shuning uchun uning burilish soni 2 − 4 = -2.

düyün invariant:
tugunning barcha (cheksiz ko'p) diagrammalari uchun xarakterli bo'lgan raqam yoki polinom yoki texnik-iqtisodiy bayonot. Chiral / achiral, invertible / invertible, reversible bo'lgan tugunning xususiyatlari tugun invariantlaridir.

o'tish raqami:
Ushbu tugunning har qanday diagrammasi deformatsiyadan keyin bo'lishi mumkin bo'lgan o'tishlarning minimal soni, bu har bir tugunning o'ziga xos xususiyati va shuning uchun tugun invariantidir.
Ushbu diagrammada qancha o'tish mavjud?

Ushbu diagrammada 5 ta kesish mavjud.

Yuxarıdakı diaqramda göstərilən düyünün kəsişmə nömrəsi nədir?
Nol! O'tish raqami mavhum matematik tugunning xususiyati bo'lib, diagrammaning xususiyati emas. Yuqoridagi diagramma untugunni olish uchun deformatsiyalanishi mumkin bu nol o'tish joyiga ega.

Qanday qilib ko'ryapsizmi?

O'tish raqami tugunning har qanday diagrammasida o'tishlarning minimal soni bo'lganligi va noldan kam kesishish bo'lmasligi sababli, yuqoridagi diagrammada ko'rsatilgan tugunning o'tish soni nolga teng.

Bir düyünün ola biləcəyi ən aşağı iki kəsişmə nömrəsi hansılardır?
Eng past o'tish raqami unknotga tegishli bo'lib, u 0. 1 kesishgan tugun diagrammasi quyidagicha ko'rinadi:

va tugunni ochish uchun deformatsiyalangan bo'lishi mumkin. 2 kesishgan tugun diagrammasi quyidagicha ko'rinadi

va shuningdek, tugunni ochish uchun deformatsiyalangan bo'lishi mumkin.
Yuqorida ko'rsatilgan trefoil diagrammasi 3 ta o'tish joyiga ega va untugonga deformatsiyalanib bo'lmaydi, shuning uchun eng past o'tish raqamlari 0 va 3.

yoyga:
Bir kesishmadan keyingi o'tishga qadar diagrammada tugun chizig'ining bir qismi.
N kəsişmələri olan diaqramda neçə qövs var?
Hər kəsişmənin 4 qövs ucu var. Hər bir qövsün 2 ucu var, ona görə də kəsişmələrdən 4/2 = 2 dəfə çox qövs var, ona görə də 2N qövs.

teshik:
yoylar bilan o'ralgan diagrammadagi bo'sh joy. Diagramma tashqarisidagi barcha bo'sh joy ham bitta teshikdir.
N kəsişmələri olan diaqramda neçə dəlik var?
Bir necha tugunlarni chizish va formulani taxmin qilish mumkin, lekin uni ham olish mumkin. Euler formulasiga ko'ra, m chiziqlar (bu erda m=2N yoylari) har biri n nuqtadan 2 tasini bog'laydigan tekislikdagi har qanday chizilgan rasm uchun (bu erda n=N kesishmalar ) yuzlarning f soni (bu erda teshiklar) f = 2 + m − n. Bu tugunning teshiklari sonini beradi: 2 + 2N − N = N + 2

over-strand:
Diagrammadagi ketma-ket yoylar ketma-ketligi (ya'ni bir-biridan keyingi yoylar) pastki o'tishda boshlanadi va tugaydi, aks holda 0, 1 yoki undan ortiq o'tishni o'z ichiga oladi.

pastki qismi:
Diagrammadagi ketma-ket yoylar ketma-ketligi (ya'ni bir-biridan keyingi yoylar) over-passda boshlanadi va tugaydi, aks holda 0, 1 yoki undan ortiq pastki o'tishlarni o'z ichiga oladi.

(Adabiyotda "ip" ko'pincha biz over-strand deb ataladigan narsa uchun ishlatiladi. Biz uchun over-strandning over-pass soni ham, pastki ipning pastki o'tish soni ham muhimdir. Shuning uchun biz pastki va ortiqcha iplarni ko'rib chiqamiz.)

Besh yoydan iborat gorizontal chiziq qanday ipdir?

Bu, 4 alt keçidi olan bir alt teldir.

N kesishmalari bo'lgan diagrammada qancha over-strands bor?
Hər kəsişmədə iplərin 2 ucu var (ya 2 müxtəlif ipin bir ucu və ya hər iki ucu bir ipdən). Digər tərəfdən, hər bir ipin kəsişmə nöqtəsində olan 2 ucu var. Buna görə də kəsişmələrin sayı yuxarı tellərin sayına bərabərdir və simmetriyaya görə də alt iplərin sayına bərabərdir, buna görə də hər birinin Ni var.

Reidemeister hərəkət edir:
1927 yilda nemis matematigi Kurt Reidemeister va mustaqil ravishda Jeyms Waddell Aleksandr va Garland Baird Briggs (1926) bir xil tugunni ifodalovchi har qanday ikkita diagramma faqat 3 xil turdagi harakatlar ketma-ketligi orqali bir-biriga deformatsiyalanishi mumkinligini isbotladilar. Muammo shundaki, deformatsiya paytida o'tish soni vaqtincha ko'tarilishi mumkin va bu o'sish uchun keskin yuqori chegara va kerakli harakatlar soni noma'lum.

Reidemeister 1 harakat:
bitta yor bilan o'ralgan teshikni olib tashlaydi yoki qo'shadi:





Qaysi diagrammada chap tomondan o'tish va qaysi biri o'ng tomondan o'tish ko'rsatilgan?
Chap diagrammada o'ng tomondan o'tish va o'ng diagrammada chap tomondan o'tish ko'rsatilgan. Shuning uchun Reidemeister 1 harakati o'ng yoki chap tomondan o'tish sonini 1 ga o'zgartiradi va shuning uchun diagrammaning writhe sonini o'zgartiradi.

Reidemeister 2 harakat:
2 yoy bilan o'ralgan teshikni olib tashlaydi yoki qo'shadi:





Reidemeister 2 harakatida qo'shilgan yoki olib tashlangan ikkita o'tish joyining qo'llari haqida nima deyish mumkin?
Ikki o'tish joyidan biri o'ng qo'l va biri chap qo'l. Shuning uchun Reidemeister 2 harakati diagrammaning writhe sonini o'zgartirmaydi.

Reidemeister 3 harakat:
3 yoylari bilan o'ralgan teshikni olib tashlaydi va qo'shadi.
2 yoylari bilan o'ralgan qaysi 3 turdagi teshiklarni o'ylab ko'rishingiz mumkin?
Yoki:

1) har bir arkda 1 ta over-pass va 1 ta under-pass mavjud:

keyin 3 yoylarning hech biri boshqa o'tish orqali / ostiga / orqali ko'chirilishi mumkin emas

Yoki:

2) Bir arkda 2 ta over-passes, bittasida 1 ta over- va 1 ta pastki o'tish va bittasida 2 ta pastki o'tish mavjud:

Keyin 3 ta harakat mavjud. Over-over-strand bo'lib qolgan over-over-ipni ko'chirish mumkin:

yoki over-under-strand bo'lib qolgan pastki ipni harakatlantiring:

yoki pastki ipni ushlab turadigan pastki ipni harakatlantiring:

3 harakatlarning natijasi har doim bir xil ekanligini tekshiring.
Yuqoridagi harakatlarning o'ng tomonlarini taqqoslaganda, barcha 3 harakatlar bir xil natijalarga olib kelishini ko'rish oson. Shuning uchun, agar Reidemeister 3 harakati bo'lsa, unda faqat bitta bor. Barcha o'zgarishlar shundaki, barcha 3 yoylari uchun boshqa ikkita yoyni endi teskari tartibda kesib o'tadi. Bu shuni anglatadiki, o'rta ark uchun over-pass va under-pass tartibi teskari bo'ladi.

Reidemeister 3 harakatida 3 o'tish joylarining qo'llari o'zgaradimi?
Yo'q. Buni ko'rish uchun har bir ipga har qanday yo'nalishni tanlang va yuqoridagi qo'l qoidasidan foydalaning.

Biz nimani o'rgandik?
Biz quyidagilarni bilib oldik:
Reidemeister 3 harakatiga imkon beradigan 3 yoyli teshiklarni qanday topish mumkin,
bunday teshik uchun qaysi yoyning harakatlanishi muhim emas,
3 o'tish joylarining qo'llari o'zgarmaydi,
o'rta ark uchun over- va under-pass tartibi teskari bo'ladi.
Bu topilmalar quyida tugunlarni soddalashtirishni o'rganganimizda foydali bo'ladi.

ko'chirish:
Bu yuqorida belgilangan "o'tish" bilan hech qanday aloqasi yo'q. O'tish harakati ustki (ostida) ipni boshqa bir ustki (ostida) ipga almashtiradi, bu erda ikkala ipning ham bir xil uchlari bor. Misol uchun, iltimos, qarang P-, P0 va P + quyida harakat qiladi.

P- harakat:
yangi ipning eski ipga qaraganda kamroq o'tishi bo'lgan o'tish harakati.
Ushbu diagrammada yashil ipni almashtiradigan P- harakatini toping:

Ushbu diagrammada yangi qizil iplik eski yashil ipga qaraganda kamroq o'tadi. Shuning uchun bu diagrammada P- harakati ko'rsatilgan.

P0 koʻchirish:
yangi ipning eski ipi bilan bir xil sonli o'tishga ega bo'lgan o'tish harakati.
Ushbu diagrammada yashil ipni almashtirish uchun P0 harakatini toping:

Ushbu diagrammada yangi qizil iplik eski yashil iplik bilan bir xil sonli o'tishga ega. Shuning uchun bu diagrammada P0 harakati ko'rsatilgan.

P+ koʻchirish:
yangi ipning eski ipga qaraganda ko'proq o'tishi bo'lgan o'tish harakati.
Ushbu diagrammada yashil ipni almashtiradigan P + harakatini toping:

Ushbu diagrammada yangi qizil iplik eski yashil ipdan ko'ra yana bir o'tishga ega, shuning uchun bu P + harakati.

Agar diagrammaning burilish sonini o'zgartirishni xohlasak, P + harakatlari zarur bo'ladi. Bu haqda ko'proq ma'lumot quyida "P0 harakatlarini topish" ostida keltirilgan.

yechiladigan raqam:
Unknotting raqami diagrammaning xususiyati emas, balki tugunning xususiyatidir va shuning uchun tugun invariantidir.
Tugun diagrammasidan boshlab, tugunni olish uchun bir yoki bir nechta o'tish joylarini almashtirish kerak bo'lgan minimal son. Birinchi kalitdan oldin va o'zaro kalitlar diagrammasi o'zboshimchalik bilan deformatsiyalanishi mumkin. Shuning uchun unnotting raqamini aniqlash oson raqam emas, chunki har qanday deformatsiyaga yo'l qo'yiladi.
Nima uchun trefoilda 1 raqamini ochish bor?
Trefoil 0 tugunini ochish raqamiga ega bo'lishi mumkin emas, chunki u untugunga deformatsiyalanib bo'lmaydi (bu bo'lishi kerak va isbotlanishi mumkin). Unknotda 0 raqamini ochish bor. Shunday qilib, trefoil ≥1 raqamini ochadi. Boshqa tomondan, yuqorida ko'rsatilgan trefoil diagrammasining har qanday o'tishini almashtirish tugunni keltirib chiqaradi, shuning uchun trefoilning unknoting soni ≤1. Agar u ≥1 va ≤1 bo'lsa, u =1 bo'lishi kerak.

Diagrammalarni qanday soddalashtirish mumkin

R1 harakatlarini topish
Bu erda bo'lgani kabi R1 harakatlarining oddiy holatlari:

bu erda 4 marta loopni aylantirish va darhol untugunni olish mumkin tugun chizig'ini kuzatib borish va ikkala uchi bilan bir xil kesishmada yoyni qidirish orqali aniqlash oson. R1 harakatlarini bajarish tartibi muhim emas.

Ammo Reidemeister 1 harakatlarini qo'llashning umumiy holatlari mavjud. Agar over-strand o'tish joyidan boshlansa, lekin aks holda boshqa yoylarning ustiga butunlay yotsa (shuning uchun "over-strand" deb ataladi), unda bu pastadir, albatta, qisqartirilishi va shu bilan olib tashlanishi mumkin. Misol uchun, avval markazning tepasidagi loop, so'ngra ikkinchilarini birma-bir olib tashlash mumkin:

Ushbu loop butunlay ostida yotganda ham olib tashlanishi mumkin:

R2 harakatlarini topish
R1 harakatlariga o'xshab, bu erda R2 harakati untugunni berishdan oldin ikkita R2 harakatini bajarish kerak bo'lgan bu erda prototip R1 harakatlarini aniqlash oson:

Quyidagi misolda R2 harakatini bir xil iplar bilan ikki marta, bir marta bu ipni pastdan va bir marta yuqoridan tortib olish kerak:

Oxirgi qadam R2 harakati emas. Bu faqat tugun ikki trefoil tugunlarining yig'indisi ekanligini ko'rsatish uchun qo'shiladi.

Interfeys haqida (1)
Yuqoridagi misol interfeysning optimal ishlatilishini namoyish qilish uchun javob beradi. Tugun chizig'ini kesib olgandan so'ng:

Bir uchini oxirigacha chekinish mumkin emas; va keyin boshqa uchini oxirigacha cheking, chunki avval er osti o'tishini olib tashlaydi va ikkala uchi ham under-pass holatida bo'ladi va bu holatda over-passni olib tashlash mumkin emas. Buning o'rniga, biri bitta osti o'tishni olib tashlaydi, boshqa uchini ham bir xil teshikka olib keladi, bu uchlarini neytral holatga o'zgartiradi va keyin over-passlarni olib tashlashga va keyin uchlarini qayta birlashtirishga imkon beradi. Muxtasar qilib aytganda, barcha pastki o'tishlarni olib tashlash uchun uchlari o'rtasida sakrab o'tadi, keyin barcha over-passlar va hokazo.

Oxirlar holatining bunday amalga oshirilishi dasturning zaifligi emas, lekin diagrammani interaktiv o'zgartirish matematik tugunni o'zgartirmasligini kafolatlaydi.

P- harakatlarini topish
P- harakatlari over-strandni kamroq over-pass yoki pastki ipni kamroq pastki o'tish bilan almashtiradi. Ikkala holatda ham o'tish soni kamayadi.

Bunday harakatlarni topish uchun tugun chizig'idan bir qadam qo'ying va iloji boricha ketma-ket o'tishlarni yoki iloji boricha ketma-ket o'tishlarni qidiradi, kamida ikkita. Agar bunday ipni, masalan, over-strand topsa, unda bir xil ikkita pastki o'tish uchini bog'laydigan kamroq over-pass bilan muqobil yo'lni topishga harakat qiladi.

Quyidagi misolda ketma-ket 4 ta pastki o'tishi bo'lgan ip, pastki o'tishi bo'lmagan ipga almashtiriladi va keyin ketma-ket 3 ta o'tish bilan bu ipni bitta over-pass bilan ipga almashtiradi. Yana ikki P- harakati har 2 ta o'tish joyini olib tashlaydi. Olingan diagramma, quyida ko'rsatilganidek, yana ikkita R1 harakati bilan soddalashtirilishi mumkin.

Bir turdagi ketma-ket o'tish qanchalik ko'p bo'lsa, kamroq o'tishga muhtoj bo'lgan boshqa marshrutni topish imkoniyati shunchalik yuqori bo'ladi.

R3 harakatlarini topish
R1, R2 va P- harakatlari o'tish sonini o'zgartiradi. R3 harakati o'tish sonini o'zgartirmaydi, shuning uchun uning tavsifini P- harakatidan keyin joylashtiramiz. Quyidagi misolda R3 harakatlari P- harakatlarini amalga oshirish orqali qanday foydali bo'lishi mumkinligini ko'rsatadi. Birinchi bo'limda tasvirlanganidek, R3 teshik 2 over-pass uchlari (bu erda A, B), 1 over-pass uchi (C) va 1 osti o'tish uchi (B) bilan o'rta ark va 2 osti o'tish uchi (bu erda A, C) bilan pastki ark bilan o'ralgan.

(unknot olingan Unknot Vikipediya sahifasi)

Yuqoridagi bo'limda R3 harakati o'rta iplik uchun (bu erda B,C orqali) pastki va over-pass tartibini teskari deb topdik. Agar R3 harakati o'rta yoyning davomiyligiga ketma-ket over-pass va / yoki ketma-ket pastki o'tishlarning ko'payishiga olib kelsa va shu bilan P- harakatini topish imkoniyatini oshirsa, R3 harakati foydalidir. Agar o'rta yoyning davomiyligida B osti o'tganidan keyin over-pass kelsa (D,E - over-passes) va/yoki over-pass (C) dan keyin (F,G,H pastki o'tishlar) kuzatilgan bo'lsa, shunday bo'ladi. R3 harakati miloddan avvalgi o'rta yoyni yuqori va pastki ark o'rtasida A da kaydıradi:

Ilgari, D va E-da ketma-ket 2 ta over-pass bor edi, endi C, D va E-da 3 bor. Ushbu uzun over-strand endi P- harakatida qayta yo'naltirilishi mumkin:

o'tish sonini 2 dan 13 gacha 11 ga kamaytirish.

Bundan tashqari, ipning boshqa tomoni P- harakatida qayta yo'naltirilishi mumkin. Ilgari, F, G va H-da ketma-ket 3 ta under-pass bor edi, endi B, F, G va H-da 4 ta. Ushbu P- harakati quyidagilarga olib keladi:

va shuningdek, o'tish sonini 2 ga kamaytirmoqda. Ikkala diagramma ham P- va R1 harakatlari orqali yanada soddalashtirilishi mumkin. Qanday qilib ko'ryapsizmi? Yuqorida berilgan P- harakatlarini qanday aniqlash bo'yicha maslahatlarga amal qiling.

Keling, buni bir misol bilan amalda qo'llaylik.

Ushbu diagrammada qancha R3 harakati mumkin:

Uchta R3 harakati mumkin. Har biri uchun biz ishtirok etadigan uchta yoyni ochiq ko'k rangda ko'rsatamiz. Osonlikcha e'tibordan chetda qoldiriladigan uchinchi narsa, bu erda teshik faqat 3 yoylar bilan "o'ralgan" butun tashqi makondir.

1. R3 harakati

2. R3 harakati

3. R3 harakati

1. R3 harakat qiling va foydali yoki yo'qligini bilib oling:
Ushbu R3 harakati foydali. Bu quyida ko'rsatilgan harakatlar ketma-ketligida ko'rsatilganidek keyinchalik P- harakatiga imkon beradi. R3 harakati foydali bo'lishi uchun bizning ta'rifimiz P- harakatiga ruxsat berish shart emas, balki ketma-ket ortiqcha yoki pastki o'tish sonini ko'paytirishdir va bu harakatlarning barchasini bajarmasdan ham ko'rish oson. Quyidagi diagrammada R3 teshigining o'rta yoyi A da over-pass, B da pastki o'tish va C va D-da ikkita over-pass mavjud. R3 harakatida, Diagramma 3da ko'rsatilganidek, o'rta ark uchun over- va under-pass tartibi teskari bo'ladi, endi ketma-ket 3 over-passes. Bu 3-diagrammada 5 dan kam o'tishga muhtoj bo'lgan P- harakatini topish uchun etarli.

Quyidagi diagrammalar ketma-ketligi haqida: Dia 1-da biz Dia 2-da R3 harakatini tayyorlash uchun joy ochamiz (bu erda yuqori arkni harakatlantirib) Dia 3-da natija bilan. Dia 4-da biz Dia 5-da P- harakatini tayyorlash uchun joy ochamiz, bu erda 3 over-pass bilan yashil iplik Dia 6-da faqat 1 over-pass bilan qizil ipga almashtiriladi. Dia 7-da biz Dia 9-da keyingi P- harakati uchun joy ajratish uchun bir ipni siljitamiz, natijada Dia 10 va Dia 11 qisqartirilgandan keyin bu tugun_{5 1} deb osonlik bilan aniqlanadi.

1. Kengaytirish

2. R3 harakati

3. R3 harakatidan keyin

4. Kengaytirish

5. A P- harakati

6. P- harakatidan keyin

7. Keyingi P- harakati uchun

8. P- harakatidan oldin

9. 2-chi P- harakati

10. Keyin

11. Shartnoma tuzilgan

2 ni bajaring. R3 harakat qiling va foydali yoki yo'qligini bilib oling:
Ketma-ketlik R3 harakati foydali ekanligini ko'rsatadi.

1. Kengaytirish

2. R3 harakati

3. R3 harakatidan keyin

4. A P- harakati

5. P- harakatidan keyin

6. Yana bir P- harakati

7. P- harakatidan keyin

8. Shartnoma tuzilgan

3. R3 harakat qiling va foydali yoki yo'qligini bilib oling:
3rd R3 harakati ham foydali. Bu harakatni amalga oshirish uchun xuddi shu printsipga amal qilinadi: o'rta ip, bu safar tashqi teshikni "o'rab olgan" boshqa ikkita ipni teskari tartibda kesadi.

Natijada, Dia 2-da ochiq ko'k iplar bo'ylab yuqoriga sayohat qilish avval yo'l o'tkazmaga, so'ngra yer osti yo'liga tushadi. Agar R3 harakatidan keyin qizil iplar bo'ylab sayohat qilsa, u holda boshqa 2 ipni teskari tartibda o'tadi va shuning uchun avval yer osti yo'lagiga, keyin yo'l o'tkazadi. Dia 5-da ko'rinib turibdiki, hozirda 3 ketma-ket ko'k ipning ketma-ket osti o'tishlari P- harakatini ta'minlaydi.

1. Kengaytirish

2. An R3 move

3. R3 harakatidan keyin

4. Kengaytirish

5. A P- harakati

6. Kengaytirish

7. A 2nd P- move

8. P- harakatidan keyin

9. Qisqartirish

10. Qisqartirishdan soʻng

11. Qisqartirish

12. To'g'rilash

13. ↻90° aylanish

Interfeys haqida (2)
Yuqoridagi misol bizning interfeysimiz bilan R3 harakatini qanday amalga oshirishni namoyish qilish uchun mos keladi.

"Ta'riflar bilan kirish" > "Reidemeister 3 harakati" da tasvirlanganidek, Reidemeister 3 harakatini bajarishning 3 usuli mavjud: pastki ipni harakatlantirish, o'rta ipni harakatlantirish yoki yuqori ipni harakatlantirish. U erda ko'rsatilganidek, barcha 3 usullari bir xil natijaga ega, ular bir xil Reidemeister 3 harakatini amalga oshiradilar.

Bizning interfeysi faqat pastki ipni yoki yuqori ipni harakatlantirish orqali R3 harakatini bajarishga imkon beradi, lekin o'rta ipni emas. Buning sababi bizning interfeysimizning xususiyati shundaki, IKKALA uchi ham faqat over-passlarni qo'shishi / olib tashlashi mumkin yoki IKKALA uchi ham bir vaqtning o'zida faqat pastki o'tishlarni qo'shishi / olib tashlashi mumkin. Ammo bu bizni R3 harakatlarini bajarishimizga to'sqinlik qilmaydi, chunki 3 ipidan birini harakatlantirish bir xil natija beradi.

P0 harakatlarini topish
P0 harakatlari - bu P3 harakatlarining maxsus versiyalari bo'lgan R0 harakatlari kabi, o'tish sonini o'zgartirmaydigan o'tish harakatlari. R3 harakatlari singari, P0 harakati ham foydali bo'lishi va P- harakatini yoqishi mumkin. P0 harakatlari o'rtacha kamroq foydali bo'lganligi sababli, ular tez-tez uchraydi, ammo ular P- harakatini yoqadimi yoki yo'qligini ko'rish qiyinroq.

P0 harakatini topish uchun P- harakati kabi over-strand yoki pastki ipni qidiradi. P0 harakati foydali bo'lishi mumkinligini tekshirish va P-harakatini yoqish uchun R3 harakatida bo'lgani kabi davom etadi. Ipning olib tashlanishi kesib o'tilgan iplarning ketma-ket ortiqcha yoki pastki o'tishlari sonini oshiradimi yoki yo'qligini tekshiradi va yangi ipni qayta yo'naltirgandan so'ng, hozir kesib o'tilgan iplarning ketma-ket ortiqcha yoki pastki o'tish sonini oshiradimi yoki yo'qligini tekshiradi. Ushbu holatlarning har birida ketma-ket ortiqcha yoki pastki o'tish soni ko'paygan iplar kamroq o'tish bilan qayta yo'naltirilishi mumkinmi yoki yo'qligini tekshiradi.

Keling, ushbu misolni ko'rib chiqaylik:

Biz o'tish joylarini belgilaymiz:

va foydali P0 qadam-qadam harakatini toping.

Kamida 2 over-pass bilan qancha over-strands va kamida 2 under-pass bilan qancha pastki iplarni ko'ryapsiz?
Biz kamida 2 over-passes bilan uchta over-strandni olamiz: AB, GC, IE va kamida 2 under-passes bilan uchta under-strands: EF, BH, DJ.

IE ipining GC va BH ipidan o'tish uchun uni qayta joylashtiradigan P0 harakatiga ega ekanligini ko'rish qiyin emas:

ammo savol shundaki, bu P0 harakati foydalimi.

IE ipini ko'chirish ilgari kesib o'tgan DF yoki HJ iplarining ketma-ket over-/ under-pass sonini oshirdimi?
Ha, HJ ipi endi 2 over-passga ega, ammo bu ipni bir xil ikkita teshikni kamroq over-passes bilan bog'lash uchun qayta yo'naltirish mumkin emas.

GC va BH 2 iplarining ustiga ipni joylashtirishda ketma-ket over-/ under-pass yaratildimi?
Ha, BH under-strand 2 under-pass bor edi va endi 3 under-passes.

Ushbu BH ipi o'tish sonini kamaytirish uchun P- harakatida qayta yo'naltirilishi mumkinmi?

Ha: BH ipining yangi yo'nalishi bir xil teshiklarni bog'laydi, ammo 1 under-pass o'rniga faqat 3 under-pass bilan.

Ushbu diagrammada yangi ipning almashtirilgan ipga qaraganda uzunroq (ko'proq qadamlarni o'z ichiga oladi) muhim emas. Eng muhimi, o'tish sonini 10 dan 8 gacha kamaytirish, bu endi bu tugun 8₁₇ deb aniqlashga imkon beradi.

Asl diagrammada bu P- harakati avval P0 harakati va yuqorida aytib o'tilgan P0 harakati keyinchalik P- harakati sifatida 2 o'tishning umumiy tejashi bilan amalga oshirilishi mumkin edi.

Qiyin muammolarda P- harakati mumkin bo'lishidan oldin bir nechta P0 harakatlarini bajarish kerak bo'lishi mumkin.

Agar o'tish soni o'tish raqami bo'lsa, diagramma maksimal darajada soddalashtiriladi (birinchi bo'limga qarang). Bunday holda P0 harakatlari hech qachon P- harakatini yoqmaydi.

P+ harakatlarini topish
P + harakati diagrammadagi o'tish sonini oshiradi. Agar maqsad odatda diagrammalarni soddalashtirish bo'lsa, nima uchun bunday harakat hech narsa uchun foydali bo'lishi mumkin? Ularning maqsadini ko'rish uchun o'tish raqamlari, o'tishlarning qo'llari, burilish raqamlari va turli xil Reidemeister harakatlari ikkala raqamga qanday ta'sir qilishi haqida eslating. Keyin quyidagi (qiyin) qiyinchilikni ko'rib chiqing.

^19-asrning oxiridan beri uzoq vaqt davomida Deyl Rolfsen tugun jadvalidagi 10,₁₆₁ va 10,₁₆₂ nomli ikkita diagramma ikki xil tugunga tegishli deb hisoblangan. 1973 yilda Kennet Perko ikkalasi ham bir xil tugunni ifodalashini tushundi. O'shandan beri klassik tugun jadvallaridagi bir xil tugunni ifodalovchi yozuvlar juftligi Perko juftligi deb ataladi.
Bu ikkita diagramma bir xil tugunni ifodalaydi 10₁₆₁. Qanday qilib ular bir-biriga deformatsiyalanishi mumkin?

Quyidagi deformatsiyalar ketma-ketligi 10₁₆₁ tugunining diagrammasini 0 chap va 10 o'ng qo'l bilan o'tish 1 chap va 9 o'ng qo'l bilan o'tish diagrammasiga o'zgartiradi. Ikkala diagrammada ham bir xil minimal 10 o'tish soniga ega, lekin turli xil burilish raqamlari 0-10 = -10 va 1−9 = -8. Faqat Reidemeister 1 harakati writhe sonini o'zgartirishi mumkin, lekin Reidemeister 1 harakatlari ham o'tish sonini o'zgartiradi. Bu tugun 10 o'tish raqamiga ega bo'lgani uchun, o'tish soni kamaymaydi. Shuning uchun writhe sonini o'zgartirish uchun, o'tish soni P + harakati orqali vaqtincha 10 dan 11 ga ko'paytirilishi kerak va keyinchalik P- harakati bilan yana 10 ta o'tish joyini olish uchun kamayishi kerak, lekin turli xil writhe raqami bilan.

Dastlabki burilish #
is w = 0−10 = −10

P+ koʻchirish (# dan koʻpayadi┼)

Endi w = 1−10 = −9

R3 harakati (w ni saqlab qolish)

Keyin

Satr + ustun qoʻyilmoqda

P- harakat (# dan kichiklashtirish┼)

Endi w = 1−9 = −8

Qator olib tashlandi

R3 harakati (w ni saqlab qolish)

Keyin

Yakuniy diagrammada
writhe # 1−9 = −8.

Qanday qilib bunday deformatsiyani amalga oshiradigan P+ va P- va ehtimol P0 harakatlarining bunday ketma-ketligini topish mumkin?

Ikkala diagrammaning chap va o'ng tomondan kesishmalarini aniqlash oson. Agar bir diagrammani ikkinchisiga deformatsiyalash uchun writhe soni ko'paytirilsa (kamayish) kerak bo'lsa, u holda chap (o'ng) qo'l bilan kesishishni qo'shadigan P + harakatini qidiradi va keyin o'ng (chap) qo'l bilan kesishishni olib tashlaydigan P- harakati kerak. Yuqoridagi misolda writhe sonini oshirish kerak edi va qo'shimcha P0 harakatlari (R3 harakatlari P0 harakatlarining maxsus turlari) zarur edi.

Agar writhe raqamlari 2dan ko'proq farq qilsa, unda bir nechta juft P + va P- harakatlari kerak bo'lishi mumkin.
Bu erda yana bir qiyinchilik. Qanday qilib bu ikkita diagramma bir-biriga deformatsiyalanishi mumkin?

Quyidagi deformatsiyalar ketma-ketligi 11n₁₁₆ tugunining birinchi diagrammasini 6 chap va 5 o'ng qo'l bilan o'tish bilan 7 chap va 4 o'ng qo'l bilan o'tish bilan ikkinchi diagrammaga o'zgartiradi. Ikkala diagrammada ham bir xil minimal 11 o'tish soniga ega, lekin 6−5 = 1 va 7−4 = 3 turli xil burilish raqamlari mavjud. Faqat Reidemeister 1 harakati writhe sonini o'zgartirishi mumkin, lekin Reidemeister 1 harakatlari ham o'tish sonini o'zgartiradi. Ushbu tugun 11 o'tish raqamiga ega bo'lganligi sababli, hozirgi o'tish sonini kamaytirish mumkin emas. Shuning uchun, writhe sonini o'zgartirish uchun, o'tish soni avval 11 dan 12 ga P + harakati orqali oshirilishi kerak, keyin esa P- harakati bilan yana 11 o'tish uchun qisqartirilishi mumkin, lekin turli xil writhe raqami bilan.

Boshlang'ich burilish # = 6−5 = 1

Kengaytirish

P+ koʻchirish (# dan koʻpayadi┼)

P+ koʻchirilgandan soʻng

Kengaytirish

P- harakat (# dan kichiklashtirish┼)

P- koʻchirishdan keyin

Qisqartirish

Qisqartirish

Yakuniy diagrammada
burilish # 7−4 = 3.

U1 harakatlarini topish
U1 harakati kesishmani almashtiradi, keyinchalik barcha o'tish joylarini olib tashlash uchun diagrammani soddalashtirishga imkon beradi va kalit tugunni ishlab chiqarganligini ko'rsatadi.

Umuman olganda, yaxshi jumboqlar noyob echimlarga ega bo'lishi kerak, shuning uchun bizning U1 va U2 jumboqlarimiz diagrammalarni ko'rsatadi, bu erda faqat bitta o'tishning kaliti tugunni ochishga olib keladi. Bu koʻrsatma qidiruvni qisqartirishga imkon beradi

Agar diagrammada tugun chizig'ining burilishi quyidagicha bo'lsa:

O'tish joylaridan qaysi biri almashtirilganligi muhim bo'ladimi?
Qaysi o'tish joyi o'zgartirilganligi muhim emas. Ikkala natija ham teng:

=

=

Shuning uchun bu ikkala o'tish ham tugunni ochish kalitlari yoki ularning hech biri. Bizning jumboqlarimiz faqat bitta tugunni ochish kalitiga ega bo'lganligi sababli, bu ikkita o'tishni e'tiborsiz qoldirish mumkin.

Agar hali ham bir nechta o'tish nomzodlari mavjud bo'lsa, kalit orqali qancha R1, R2 harakatlari mavjud bo'lishini tasavvur qilishga harakat qilish kerak va avval bu kalitni sinab ko'rish kerak, bu keyinchalik eng soddalashtirishga imkon beradi.

Kalitlarni sinab ko'rishni kamaytirish uchun yana bir ishora - bu kalitdan keyin trefoil kabi tugun qoladimi yoki yo'qligini tasavvur qilishdir. Agar shunday bo'lsa, unda bu kalit U1 jumboqlarida to'g'ri emas.

Ish varag'ida mavjud kalitlar soni tugunni olish uchun zarur bo'lgan minimal miqdor bilan cheklangan. Agar siz kommutatsiya qilsangiz, uni qaytarib bo'lmaydi, chunki diagramma o'zgartirilgan bo'lishi mumkin, shuning uchun diagrammani qayta tiklash kerak edi.

U2 harakatlarini topish
U2 jumboqlari uchun ekvivalent kalitlar haqida bir xil ko'rsatma U1 jumboqlari uchun bo'lgani kabi qo'llaniladi. Bundan tashqari, U2 jumboqlari uchun tugunni ochish sonini kamaytiradigan bitta o'tish mavjud, ya'ni tugunni ochish tomon rivojlanadi. Ushbu noyob birinchi o'tish o'zgartirilgandan va natijada paydo bo'lgan diagramma soddalashtirilgandan so'ng, tugunni yaratadigan bir nechta kalit bo'lishi mumkin.

P0U harakatlarini topish
Caribou Contests tomonidan tugunlarni ochish bo'yicha o'tkazilgan tadqiqotlar shuni ko'rsatdiki, soddalashtiruvchi kalitga ega bo'lmagan maksimal soddalashtirilgan tugun diagrammalari (o'tishlarning minimal soni bilan) mavjud. Boshqacha qilib aytganda, har qanday o'tish joylarini almashtirish tugunga erishish uchun muvaffaqiyatga erishmaydigan diagrammalar mavjud. Bunday holda, avval jumboqni U0 jumboqiga o'zgartiradigan bir yoki bir nechta P2 harakatlarini bajarish kerak. Yaxshi xabar shundaki, avval P0 harakatlarini talab qiladigan diagrammalar kamdan-kam uchraydi va shuning uchun har qanday P0 harakatlari uni U2 jumboqiga aylantirishi ehtimoli bo'ladi.

Jumboq turiga ko'ra maslahatlar va fokuslar
Ushbu saytdagi Unknotting qiyinchiliklari maxsus tanlangan. Qanday qilib maxsus ekanliklarini bilish ularni hal qilishda yordam beradi.
R3 harakatlari
Yuqorida muhokama qilinganidek, R3 harakati foydali yoki yo'qligini ko'rish uchun R3 teshigidagi o'rta yoyning davomiyligini tekshirish kerak. R3 toifasidagi jumboqlar ikki barobar foydali bo'lgan juda maxsus R3 harakatiga imkon beradi:
1) R3 teshikning o'rta yoyini pastki o'tish joyidan tashqariga uzatilayotganda, keyingi o'tish overpass.
2) R3 teshigining o'rta yoyini yo'ldan tashqariga uzatilayotganda, keyingi o'tish yer osti o'tadi.
Shuning uchun R3 harakati o'rta iplar uchun bir tomonda ketma-ket o'tish sonini va boshqa tomonda ketma-ket o'tish sonini oshiradi. Bunday ikki barobar foydali R3 teshiklarini aniqlash oson.

U1 va U2 harakatlari
U1 va U2 toifasidagi jumboqlar o'ziga xosdir, chunki faqat bitta o'tish uni almashtirish tugunni ochishda muvaffaqiyatga erishadigan xususiyatga ega. Agar ikkita iplar shunday spiral bo'lsa:

keyin ikkita o'tish joyidan birini almashtirish ikki ipni ochish uchun bir xil ta'sirga ega. Agar bitta o'tish joyini almashtirish ishlayotgan bo'lsa, ikkinchisini almashtirish ham ishlaydi, shuning uchun bularning hech biri almashtirish uchun to'g'ri yagona o'tish bo'lishi mumkin emas.

P0 harakatlari
R3 toifasida faqat ikki barobar foydali R3 harakatiga ega bo'lgan jumboqlar mavjudligi sababli, P0 toifasi, boshqalar qatorida, eng yaxshi birinchi harakat bitta foydali R3 harakati bo'lgan jumboqlarni o'z ichiga oladi. Shunday qilib, ushbu toifadagi birinchi harakat sifatida R3 harakatlarini ko'rib chiqishni istisno qilmaslik kerak.

P0U harakatlari
Tugunni ochish harakatlarini tadqiq qilishimizda biz tugun proeksiyasining bir tomondan to'liq soddalashtirilganligi juda kam uchraydi, ya'ni bu tugun uchun mumkin bo'lgan minimal o'tish soniga ega va boshqa tomondan, uning hech bir o'tishi, almashtirilganda, tugunga erishish uchun zarur bo'lgan boshqa kalitlar sonini kamaytirmaydi. Bu bilimlar qanday yordam beradi? Ushbu ishoradan biz dastlabki P0 harakatidan keyin (bitta foydali R3 harakatlarini o'z ichiga oladi) sinab ko'rish kerak bo'lgan yagona kalitlar dastlabki P0 harakati tufayli paydo bo'lgan yangi o'tishlardir.

Tugunlar haqida ko'proq ma'lumotnomalar
Matematik tugun nazariyasi eski tadqiqot mavzusi, shuning uchun juda ko'p adabiyotlar mavjud. Biroq, bu ham yosh mavzu, chunki so'nggi o'n yilliklarda bir nechta bosqichlarga erishildi. Masalan, har oy yangi soniga ega bo'lgan tugunlarga bag'ishlangan ilmiy "Tugun nazariyasi va uning oqibatlari jurnali" mavjud.

Biz tavsiya qiladigan ajoyib kitob: Adams, Kolin (2004), Knot kitobi: Tugunlarning matematik nazariyasiga elementar kirish, Amerika matematik jamiyati, ISBN 978-0-8218-3678-1

Shuningdek, tugunlar haqida ko'plab veb-saytlar mavjud. Boshlash uchun yaxshi joy Vikipediyadagi tugun nazariyasi sahifasi.

Videolar uchun tekshiring YouTube'dagi Numberphile's Knot videolari ro'yxati. Ular, shuningdek, ajoyib tushuntirishga ega Bo'yoq tugunlari, bu xuddi shu tugunning diagrammalarini aniqlashga yordam berishning yana bir usuli.

Caribou ikkita plakatni ishlab chiqardi Tugunlarni yechish va bo'yash tugunlar.