Unknotting ©

300000

Это руководство познакомит вас с темой теории узлов. В первом разделе дается введение в важные понятия и терминологию теории математики. Если вы ищете только быстрые советы по решению головоломок, переходите ко второму разделу. Вы всегда можете обратиться к первому разделу, если значение некоторых слов неясно.

Введение с определениями

Знакомство
Прежде всего: что такое узлы? Узлы в математике отличаются от узлов в повседневной жизни.

Какие виды узлов вы используете каждый день?

Чем они отличаются от математических узлов?

Есть ли математические узлы в повседневной жизни?

Конечно! Теперь вы знаете, что в математике узел — это единая, замкнутая, непрерывная нить.

Имея в виду это определение, что такое простейший математический узел?

Простейший математический узел представляет собой всего лишь одну петлю или круг, вот так:

Подробнее об этом узле мы поговорим позже, но примеров таких простых петель в реальной жизни предостаточно.

Как можно сделать математический узел из куска веревки?

Самый простой математический узел – это круг. Чтобы сделать это, просто склейте концы веревки вместе.

Что будет, если один раз скрутить круг?

Это другой узел?

Можно ли деформировать все узлы, чтобы получился круг?

Насколько отличается диаграмма узла от самой простой формы?

Еще одним важным свойством математических узлов является то, что их можно арбиртрарно растягивать и сгибать. Например, наша схема простейшего узла больше похожа на квадрат, чем на круг – мы могли бы нарисовать его как идеальный круг, и это был бы тот же самый узел. Вы можете взять самый простой узел, круг, и растянуть его в длинный тонкий эллипс, а затем использовать его как веревку, чтобы завязать его в «повседневный узел в виде восьмерки». Математически это все-таки круг.

Как и следовало ожидать, различные диаграммы одного и того же основного узла могут выглядеть совершенно по-разному! Например, метод Гордиев узел и Эта схема И то, и другое можно деформировать в круг, при достаточном терпении. Они представляют собой диаграммы того же узла, что и круг.

Круг – это просто самый простой способ нарисовать этот узел, но на самом деле узел – это не круг, это абстрактный математический объект, который мы можем представить разными способами. Точно так же, как «1 машина» и «1 яблоко» не являются числом 1, круг является лишь одним из способов представления этого узла.

Как работает игра Unknotting?

В этой игре вы деформируете диаграммы математических узлов, чтобы максимально уменьшить количество пересечений.

Хотя вы можете «разрезать» пряди, нажимая на них, вы изменяете только схему, а не основной узел. Вот почему существует ограничение на то, как вы можете прикрепить концы, которые вы «обрезали». Это ограничение гарантирует, что математический узел остается неизменным при любом перенаправлении прядей, даже если узел меняет свой внешний вид..

Когда вы развязываете повседневные узлы в реальной жизни?

Попробуйте другие математические игры с узлами!

Определения
С этого момента мы говорим только о математических узлах. Чтобы избежать недоразумений и иметь возможность решить, является ли то или иное утверждение истинным или ложным, мы должны начать с определения значения нескольких слов для остальной части этой страницы.
Линия узла:

замкнутая кривая в трехмерном пространстве, которая не пересекает сама себя и имеет конечную толщину (чтобы избежать бесконечно большого количества все меньших и меньших узлов вдоль линии), Пример: Узел в виде фигуры 8.
Схема узла:
Проекция линии узла в 2 измерения, где разные части линии узла могут пересекаться друг с другом (на этом сайте линии пересекаются под углом 90°), но не ложатся друг на друга.

Развязать узел



Трилистник



Восьмерка



Лапчатка



Тройная закрутка

«Развязанный узел» также называют «тривиальным узлом».
Какой узел представляет собой каждая из этих 3 диаграмм?

Развязанный узел. Видите, как их можно деформировать в прямоугольник?

Какой узел представляет собой эта схема?

Трилистник.

Вы видите, как деформировать это в более раннюю диаграмму трилистника?

Вы можете деформировать эту диаграмму в другую, перевернув верхнюю дугу вниз.

математический узел (или просто узел):
Абстрактный объект, стоящий за набором (бесконечно многих) диаграмм узлов, которые можно деформировать, растягивать и сдвигать друг в друга, не разрезая. Пример: узел 3:₁ также называется «трилистник», который представляет собой простейший нетривиальный узел.

Изотопия окружающей среды:
Математический термин, когда одна линия узла может непрерывно искажаться на другую.

шаг:
На этом сайте диаграммы узлов рисуются с помощью всего 6 плиток, которые мы называем шагами:

пересечение:
Место на схеме, где две ступени пересекаются, одна над другой:

проходить:
ступень, которая является частью перехода, есть эстакады (полностью видны) и подземные переходы (частично перекрыты).

выключатель:
Переключение между надземным и подземным переходом на пересечении, т.е. переключение между этими двумя переходами:

Если пересечение переключается, старая и новая диаграммы в целом представляют собой разные узлы. Переключение всех пересечений эквивалентно изменению узла на его зеркальное отражение. Некоторые узлы идентичны их зеркальной версии, что означает, что между ними существует изотопия окружающей среды. Они называются «ачиралом». Например, узел в виде цифры-8 является ахиральным. Другие не могут быть деформированы до зеркального варианта, как трилистник. Их называют «хиральными».
Можно ли деформировать этот узел в зеркальное отражение?

Да! На этой схеме изображен узел в виде восьмерки, который является ахиральным и может быть деформирован в зеркальное отражение следующим образом:

Начальная позиция

Вращение на 180°

Перемещение пряди

Зеркальное отражение

Обратите внимание, что единственное различие между первой диаграммой и последней заключается в том, что все пересечения поменялись местами!

ориентация:
Это не является свойством ни линии узла, ни самого узла. Речь идет о том, как двигаться по линии узла. Можно двигаться в 2 направлениях, также называемых 2 ориентациями.

Узел, который может быть деформирован с помощью изотопии окружающей среды в самого себя, но с обратной ориентацией, называется «обратимым», в противном случае он называется необратимым. Самый маленький неперевертный узел - 8₁₇ , который является ахиральным, но если добавить ориентацию, он становится хиральным (подробнее см. на страница Invertible Knot в Википедии). Добавление дополнительной структуры (в данном случае ориентации) приводит к тому, что 8₁₇ теряет симметрию (больше не идентичную своему зеркальному отражению).

Упомянутый выше узел в форме восьмерки имеет номер пересечения 4, то есть меньше 8, и поэтому должен быть обратимым.
Как можно было деформировать узел в форме восьмерки, чтобы оставить его схему неизменной, но с обратной ориентацией?
Следующая последовательность доказывает, что узел обратим, потому что диаграмма этого узла может быть деформирована в ту же диаграмму, но с обратной ориентацией.

Первоначальная проекция

Перенаправление

Впоследствии

Перенаправление

Впоследствии

Перенаправление

Впоследствии

Перенаправление

Впоследствии

Впоследствии

Теперь расширился
с противоположной ориентацией

В более раннем примере узел в форме восьмерки был преобразован путем простой деформации в его зеркальное отражение. Эта деформация также изменила ориентацию – убедитесь в этом сами! Таким образом, если кто-то хочет деформировать диаграмму до зеркального отражения без изменения ориентации, то он может просто объединить обе последовательности.

Хиральный узел (узел, который не может быть деформирован до зеркального отражения) все еще может быть обратимым (симметричным против изменения ориентации). Такие узлы называются «обратимыми».

Скрещивание рук:
Для данной диаграммы узлов пересечения могут быть либо правосторонними, либо левыми.
Далее мы рассмотрим два типа пересечений и определим, какой из них является правосторонним или левосторонним.
Сколько существует различных переходов, если мы рассмотрим, какой проезд является над-/подземным, и рассмотрим обе ориентации?
Всего насчитывается 8 случаев:
Если горизонтальный проход является эстакадой, то есть 4 варианта:

1

2

3

4

Аналогично, если вертикальный проход является эстакадой, то есть еще 4 варианта:

5

6

7

8

Принцип: Праворукость не должна зависеть от ориентации (направления шага по линии узла), поэтому, перевернув обе стрелки, мы определяем 4 пары пересечений: 1 = 4, 2 = 3, 5 = 8, 6 = 7. Поэтому, какие бы группы мы ни получили, пересечения 1 и 4 должны быть в одной группе и так далее.
Принцип: Группа, к которой принадлежит скрещивание, не должна меняться, если мы вращаем весь узел. Таким образом, мы определяем пересечения 1 = 7 = 4 = 6 и 2 = 5 = 3 = 8.
После всех идентификаций у нас остается 2 группы:
Переходы групп 1, 7, 4, 6 называются правосторонними и
Переходы в группе 2, 5, 3, 8 называются левосторонними.

Если оставить схему неизменной и переключить только один перекресток, изменится ли направленность этого перехода?
Да. Попробуйте поменять местами любой из восьми перекрестков, затем проверьте, во что он превратился, и проверьте, находится ли он все еще в той же группе праворукости. Например, переключение на пересечение 1 дает пересечение 5, оба находятся в разных группах по правосторонности.

Утверждение: Вопрос о том, является ли переход правосторонним или левосторонним, зависит не только от самого перехода, но и от схемы вокруг него.

Доказательство: Будет ли горизонтальный пас выше или ниже, не зависит только от того, какая рука будет сделана. Оба случая могут быть правосторонними и левосторонними (см. 8 пересечений выше). Если повернуть узел так, чтобы эстакада была горизонтальной, и если затем уйти с переправы через надземный переход направо (на восток), то от остальной части узла зависит, вернется ли к переправе с юга (тогда переправа правосторонняя) или с севера (тогда переправа левосторонняя).

Тот факт, что две группы переходов называются левосторонними и правосторонними, дает подсказку о том, что можно различать пересечения левой и правой рукой.

Как с помощью рук можно запомнить, является ли переход правосторонним или левосторонним?
Вытяните пальцы так, чтобы все они находились в одной плоскости, а большой палец находился под прямым углом ко всем остальным, параллельным друг другу. Поверните руку так, чтобы было видно, как ладонь и большой палец указывают на исходящее направление эстакады, а пальцы — на исходящее направление подземного перехода. Рука, которая может это сделать, определяет праворукость. Например, для перехода ниже вы должны вытянуть руку следующим образом:

Так как вы можете делать это только левой рукой, то это левосторонний кросс.

Право- и левосторонние пересечения также называются положительными или отрицательными.

Извивайтесь цифры:
Разница между количеством левосторонних и правосторонних переходов на одной диаграмме. Извивающееся число характеризует диаграмму, а не узел, так как может быть 2 разные диаграммы одного и того же узла с разными извилистыми номерами.

Какой номер кривой у этой диаграммы?
Правые пересечения на схеме выделены красным цветом, а левосторонние — зеленым. Чтобы получить извилистое число, мы можем подсчитать количество левосторонних и правосторонних пересечений, а затем вычесть количество правосторонних пересечений из числа левосторонних.

На этой диаграмме есть 2 левосторонних пересечения и 4 правосторонних, поэтому ее кривое число равно 2 − 4 = −2.

Инвариантный узел:
число, или многочлен, или утверждение о целесообразности, характерное для всех (бесконечно многих) диаграмм узла. Свойства узла, будучи хиральным/ахиральным, обратимым/необратимым, обратимым, являются инвариантными узлами.

Номер пересечения:
Минимальное количество пересечений, которое может иметь любая диаграмма этого узла после деформации, это характеристика каждого узла и поэтому инвариант узла.
Сколько пересечений у этой диаграммы?

Эта схема имеет 5 пересечений.

Каково число пересечения узла, представленное на приведенной выше схеме?
Нуль! Число пересечения является свойством абстрактного математического узла, а не свойством диаграммы. Приведенную выше схему можно деформировать, чтобы получить развязанный узел который имеет нулевые переходы.

Видите как?

Поскольку число пересечений является минимальным числом пересечений любой диаграммы узла и поскольку количество пересечений не может быть меньше нуля, число пересечений узла, представленного на приведенной выше диаграмме, равно нулю.

Какие два наименьших числа пересечений может иметь узел?
Наименьшее число пересечения принадлежит узлу, который равен 0. Диаграмма узлов с 1 пересечением будет выглядеть следующим образом:

и может быть деформирован до развязывания. Схема узлов с 2 пересечениями выглядела бы следующим образом

а также может быть деформирован до развязывания.
Диаграмма трилистника, показанная выше, имеет 3 пересечения и не может быть деформирована до развязывания, поэтому наименьшие номера пересечения - 0 и 3.

дуга:
Часть линии узла на схеме от одного пересечения к другому.
Сколько дуг у диаграммы с N пересечениями?
Каждый перекресток имеет 4 конца дуг. У каждой дуги есть 2 конца, поэтому дуг в 4/2 = в 2 раза больше, чем пересечений, то есть 2N дуг.

дыра:
Пустое пространство на схеме, окруженной дугами. Все пустое пространство за пределами схемы также является одним отверстием.
Сколько отверстий на диаграмме с N пересечениями?
Можно натянуть несколько узлов и угадать формулу, но можно и ее вывести. Формула Эйлера гласит, что для любого рисунка на плоскости, где m линий (здесь m=2N дуг) соединяют 2 из n точек (здесь n=N пересечений), то количество f граней (здесь отверстий) равно f = 2 + m − n. Это дает количество отверстий в узле: 2 + 2N − N = N + 2

Надпрятный:
Последовательность последовательных дуг на диаграмме (т.е. дуг, следующих одна за другой), которая начинается и заканчивается на нижнем переходе и в противном случае включает 0, 1 или более надземных переходов.

подрельсовый:
Последовательность последовательных дуг на диаграмме (т.е. дуг, следующих друг за другом), которая начинается и заканчивается на эстакаде, а в противном случае включает 0, 1 или более подземных переходов.

(В литературе «прядь» часто используется для обозначения того, что мы называем сверхнитью. Для нас имеет значение количество эстакад надвтулки так же, как и количество подъественных эстакад поднитки. Поэтому мы рассматриваем как подпряди, так и верхние нити.)

Из какой нити состоит изображенная горизонтальная линия, состоящая из пяти дуг?

Это подпрядь с 4 подземными переходами.

Сколько сверхнитей имеет диаграмма с N пересечениями?
На каждом пересечении есть 2 конца прядей (либо один конец из 2 разных прядей, либо оба конца из одной пряди). С другой стороны, каждая прядь имеет 2 конца, которые находятся на пересечении. Следовательно, число пересечений равно числу надпрядей, а из-за симметрии также равно числу подпрядей, так что каждой из них насчитывается N .

Ходы Reidemeister:
В 1927 году немецкий математик Курт Рейдемейстер и, независимо друг от друга, Джеймс Уодделл Александер и Гарланд Бэрд Бриггс (1926) доказали, что любые две диаграммы, представляющие один и тот же узел, могут быть деформированы друг в друга с помощью последовательности всего из трех различных типов ходов. Проблема в том, что во время деформации количество пересечений может временно увеличиваться, и резкая верхняя граница для этого увеличения неизвестна, как и количество необходимых движений.

Reidemeister 1 ход:
Удаляет или добавляет отверстие, окруженное одной дугой:





Какая диаграмма показывает левосторонний переход, а какой — правый?
На левой схеме показан правый переход, а на правой схеме — левосторонний переход. Таким образом, ход Рейдемейстера 1 изменяет число право- или левосторонних пересечений на 1 и, таким образом, изменяет извивающееся число диаграммы.

Reidemeister 2 move:
Удаляет или добавляет отверстие, окруженное 2 дугами:





Что можно сказать о правосторонности двух скрещиваний, которые добавляются или удаляются в ходе Рейдемейстера 2?
Один из двух переходов является правосторонним, а другой – левосторонним. Таким образом, ход Рейдемейстера 2 не изменяет извивающийся номер диаграммы.

Reidemeister 3 move:
Удаляет и добавляет отверстие, окруженное 3 дугами.
Какие 2 типа отверстий, окруженных 3 дугами, вы можете придумать?
Каждый:

1) Каждая дуга имеет 1 надземный и 1 подземный:

то ни одна из 3 дуг не может быть перемещена над/под/через другой перекресток

Или:

2) одна дуга имеет 2 эстакады, одна имеет 1 над- и 1 подземный переход, и одна имеет 2 подземных перехода:

Далее идут 3 хода. Можно переместить сверхнить, которая остается сверхнитью:

или переместите нижнюю нить, которая становится сверхнижней:

или переместите нижнюю нить, которая остается нижней-под-прядью:

Убедитесь, что результат 3 ходов всегда один и тот же.
При сравнении правых сторон вышеуказанных ходов легко увидеть, что все 3 хода дают идентичные результаты. Следовательно, если есть ход Рейдемейстера 3, то есть только один. Единственное, что меняется, это то, что для всех 3 дуг две другие дуги теперь пересекаются в обратном порядке. Это означает, что для средней дуги порядок надземного и нижнего проходов обратный.

Изменяется ли угол рук 3 скрещивания в движении Reidemeister 3?
Нет. Чтобы убедиться в этом, выберите любую ориентацию для каждой пряди и используйте правило руки, приведенное выше.

Что мы узнали?
Мы узнали:
как заметить отверстия с 3 дугами, которые позволяют Reidemeister 3 двигаться,
что для такого отверстия не имеет значения, по какой дуге двигается,
что правосторонность 3-х переходов не меняется,
что порядок верхнего и нижнего прохода обратный для средней дуги.
Все эти выводы пригодятся ниже, когда мы научимся упрощать узлы.

Пас ход:
Это не имеет ничего общего с «пропуском», определенным выше. Пас заменяет верхнюю (под)прядь на другую сверх(под)прядь, где обе нити имеют одинаковые концы. Примеры см. ниже в разделе Ходы P-, P0 и P+.

- ход:
Пасовое движение, при котором новая цепь имеет меньше проходов, чем старая.
Найдите P-ход, заменяющий зеленую прядь на этой схеме:

На этой схеме новая красная цепь имеет меньше проходов, чем старая зеленая цепь. Таким образом, на этой диаграмме показано P-движение.

Ход P0:
Ход паса, при котором новая цепь имеет такое же количество проходов, как и старая цепь.
Найдите ход P0 вместо зеленой нити на этой схеме:

На этой диаграмме новая красная цепь имеет такое же количество проходов, как и старая зеленая цепь. Следовательно, на этой диаграмме показано движение P0.

Движение P+:
Пасовое движение, при котором новая цепь имеет больше пасов, чем старая.
Найдите ход P+ вместо зеленой нити на этой схеме:

На этой диаграмме новая красная нить имеет на один проход больше, чем старая зеленая нить, следовательно, это ход P+.

Ходы P+ становятся необходимыми, если кто-то хочет изменить извилистый номер диаграммы. Подробнее об этом описано ниже в разделе "Поиск ходов P0".

Номер развязывания узла:
Число развязывания узла является свойством узла, а не свойством диаграммы, и, следовательно, является инвариантным узлом.
Начиная со схемы узлов, это минимальное количество раз, которое необходимо переключить одно или несколько пересечений, чтобы получить развязанный узел. Перед первым переключением и между переключениями схема может быть произвольно деформирована. Таким образом, число развязывания не так просто определить, потому что допускается любая деформация.
Почему у трилистника есть расвязывающийся номер 1?
Трилистник не может иметь номер 0, потому что он не может быть деформирован в развязывающийся узел (это нужно и можно доказать). Развязываемый узел имеет номер 0. Таким образом, трилистник имеет номер развязывания ≥1. С другой стороны, можно легко увидеть, что переключение любого пересечения диаграммы трилистника, показанной выше, приводит к развязыванию узла, поэтому число развязывания трилистника равно ≤1. Если это ≥1 и ≤1, то оно должно быть =1.

Как упростить диаграммы

Поиск ходов R1
Простые случаи ходов R1, как здесь:

где можно перевернуть петлю 4 раза и мгновенно развязать узел легко обнаружить, следуя по линии узла и ища дугу, оба конца которой находятся на одном и том же пересечении. Порядок выполнения ходов R1 не имеет значения.

Но есть и более общие случаи применения Reidemeister 1 хода. Если надцепь начинается на пересечении, на котором она является эстакадой, но в остальном полностью лежит поверх других дуг (поэтому ее называют «наднитью»), то эту петлю можно сократить и таким образом убрать. Например, сначала можно снять петлю сверху по центру, а затем и остальные, одну за другой:

Эту петлю также можно снять, если полностью лежать под ней:

Поиск ходов R2
Как и в случае с ходами R1, легко заметить прототип ходов R2, как здесь, где необходимо сделать два хода R2, прежде чем ход R1 приведет к развязыванию узла:

В следующем примере нужно выполнить движение R2 с одной и той же прядью дважды, один раз потянув эту прядь снизу и один раз сверху:

Последний шаг – это не ход R2. Он добавлен только для того, чтобы показать, что узел является суммой двух узлов трилистника.

Об интерфейсе (1)
Приведенный выше пример подходит для демонстрации оптимального использования интерфейса. После перехвата линии узла:

Нельзя отступать ни с одного конца до конца; А затем отступите с другого конца до упора, потому что сначала можно убрать подземный переход и оба конца будут находиться в статусе подземного перехода, и в этом статусе невозможно убрать надземный переход. Вместо этого один удаляет один нижний проход, прыгает на другой конец, удаляет другой нижний проход, который приводит оба конца в одно и то же отверстие, что меняет концы в нейтральное состояние, а затем позволяет убрать эстакады, а затем снова соединить концы. Короче говоря, вы прыгаете между концами, чтобы убрать все нижние переходы, затем все эстакады и так далее.

Такая реализация состояния концов не является слабым местом программы, но она гарантирует, что интерактивная модификация диаграммы не изменяет математический узел.

Нахождение P-ходов
P-ходы заменяют верхнюю прядь на ту, у которой меньше проходов, или нижнюю нить на ту, у которой меньше проходов. В обоих случаях количество переправ сокращается.

Чтобы найти такие ходы, нужно пройти через линию узла и искать как можно больше последовательных проходов или как можно больше последовательных проходов вниз, по крайней мере, два. Если кто-то нашел такую цепь, например, надводную, то он пытается найти альтернативный маршрут с меньшим количеством эстакад, который связывает те же два конца подземного перехода.

В следующем примере прядь с 4 последовательными подземными переходами заменяется на прядь без подземных переходов, а затем эта прядь с 3 последовательными переходами заменяется на прядь с одной эстакадой. Еще два-хода убирают каждый еще 2 пересечения. Полученную диаграмму можно еще больше упростить еще двумя ходами R1, как показано ниже.

Чем больше последовательных проходов одного типа, тем выше вероятность найти другой маршрут, который требует меньше проходов.

Поиск ходов R3
Ходы R1, R2 и P- изменяют количество пересечений. Ход R3 не изменяет количество пересечений, поэтому мы размещаем его описание после хода P-. В следующем примере показано, как ходы R3 могут быть полезны, если сделать возможными P-ходы. Как описано в первом разделе, отверстие R3 окружено верхней дугой с 2 концами эстакады (здесь A,B), средней дугой с 1 концом эстакады (C) и 1 концом под пассажем (B) и нижней дугой с 2 концами под эстакадой (здесь A,C).

(unknot взято из страница Unknot в Википедии)

В предыдущем разделе мы обнаружили, что движение R3 меняет порядок под- и надземных переходов для среднего направления (в данном случае через B,C). Ход R3 выгоден, если ход R3 приводит к продолжению средней дуги к увеличению числа последовательных оверпасов и/или последовательных нижних проходов и, таким образом, увеличивает вероятность найти P-ход. Это имеет место в том случае, если в продолжении средней дуги после подземного перехода B идет надземный переход (D, E – надземные переходы) и/или после надземного перехода (C) следует подземный переход (F, G, H – подземные переходы). Ход R3 перемещает среднюю дугу BC между верхней дугой и нижней дугой в точке A:

Раньше было всего 2 последовательных эстакады в точках D и E, теперь их 3 в точках C, D и E. Эта более длинная цепь теперь может быть перенаправлена в P-ход:

Уменьшение количества переправ на 2 с 13 до 11.

Кроме того, другая сторона нити может быть перенаправлена в P-образном движении. Раньше было 3 последовательных подземных перехода в F, G и H, теперь их 4 в B, F, G и H. Этот P-ход приводит к:

А также уменьшается количество пересечений в 2 раза. Обе диаграммы могут быть дополнительно упрощены с помощью движений P- и R1, что в конечном итоге приведет к развязыванию узла. Видите как? Просто следуйте указаниям о том, как распознать P-движения, приведенным выше.

Давайте попрактикуемся в этом на примере.

Сколько ходов R3 возможно на этой схеме:

Возможны три хода R3. Для каждой из них мы показываем светло-голубым цветом три задействованные дуги. Что легко упустить из виду, так это третье, где отверстие представляет собой все внешнее пространство, которое «окружено» всего 3 дугами.

1. Ход R3

2. Ход R3

3. Ход R3

Выполните 1. R3 двигайтесь и узнайте, выгодно ли это:
Этот ход R3 выгоден. Впоследствии это позволяет сделать P-ход, как показано в последовательности ходов ниже. Наше определение полезности движения R3 заключается не в том, чтобы разрешать движение P, а в том, чтобы увеличить количество последовательных проходов над или под ходом, и это легко увидеть, даже не выполняя все эти движения. На следующей диаграмме средняя дуга скважины R3 имеет эстакаду в точке А, подземную эстакаду в точке В, за которой следуют две эстакады в точках С и D. При движении R3 порядок верхнего и нижнего проходов обратный для средней дуги, как показано на Д.3, теперь уже 3 последовательных прохода. Этого достаточно, чтобы найти на Д.5 P-ход, требующий менее 3 проходов.

О последовательности диаграмм ниже: В Dia 1 мы освобождаем пространство для подготовки хода R3 в Dia 2 (здесь перемещая верхнюю дугу) с результатом в Dia 3. В Dia 4 мы освобождаем пространство для подготовки P-хода в Dia 5, где зеленая линия с 3 эстакадами заменяется красной нитью только с 1 эстакадой в Dia 6. В Dia 7 мы смещаем прядь, чтобы освободить место для следующего P-хода в Dia 9, в результате чего Dia 10 и Dia 11 после сжатия, которое легко идентифицировать как узел 5₁.

1. Расширение

2. Ход R3

3. После хода R3

4. Расширение

5. -ход

6. После движения P

7. Для следующего-хода

8. Перед-ходом

9. 2-й-ход

10. Впоследствии

11. Обусловленный договором

Выполните упражнение 2. R3 двигайтесь и узнайте, выгодно ли это:
Последовательность показывает, что ход R3 выгоден.

1. Расширение

2. Ход R3

3. После хода R3

4. -ход

5. После движения P

6. Еще один-ход

7. После движения P

8. Обусловленный договором

Выполните 3. R3 двигайтесь и узнайте, выгодно ли это:
Также выгоден 3-й ход R3. Чтобы выполнить это движение, следует тому же принципу: средняя прядь разрезает две другие нити, которые на этот раз «окружают» внешнее отверстие, в обратном порядке.

В результате, двигаясь вверх по Dia 2 по светло-голубой нити, вы сначала попадаете на эстакаду, а затем на подземный переход. Если после хода R3 один движется по красной нити, то он проходит остальные 2 нити в обратном порядке и поэтому попадает сначала в подземный переход, а затем на эстакаду. Как видно на Dia 5, последовательность теперь 3 последовательных подземных переходов светло-голубого направления там обеспечивает P-движение.

1. Расширение

2. An R3 move

3. После хода R3

4. Расширение

5. -ход

6. Расширение

7. 2-й-ход

8. После движения P

9. Сокращение

10. После укорачивания

11. Сокращение

12. Выпрямление

13. вращение на 90°

Об интерфейсе (2)
Приведенный выше пример подходит для демонстрации того, как выполнить движение R3 с помощью нашего интерфейса.

Как описано во «Введении с определениями» > «Рейдемейстер 3 хода», существует 3 способа выполнения 3 хода Рейдемейстера: перемещение нижней пряди, перемещение средней пряди или перемещение верхней пряди. Как показано там, все 3 способа имеют один и тот же результат, они выполняют один и тот же ход Рейдемейстера 3.

Наш интерфейс позволяет завершить движение R3 только перемещением нижней или верхней нити, но не средней нити. Причина в особенности нашего интерфейса, что ОБА конца могут только добавлять/удалять эстакады или ОБА конца могут добавлять/удалять только нижние эстакады за раз. Но это не мешает нам выполнять ходы R3, так как перемещение любой из 3 нитей дает тот же результат.

Нахождение ходов P0
Ходы P0 — это ходы паса, которые не изменяют количество пересечений, точно так же, как ходы R3, которые являются специальными версиями ходов P0. Как и ходы R3, ход P0 может быть полезным и способствовать выполнению хода P-. Поскольку ходы P0 в среднем менее полезны, они происходят чаще, но сложнее понять, способствуют ли они движению P-.

Чтобы найти ход P0, нужно искать верхнюю или нижнюю прядь так же, как и для P-движения. Чтобы проверить, может ли ход P0 быть полезным, и включить ход P-, действуют так же, как и в случае с ходом R3. Можно посмотреть, увеличивает ли удаление нити количество последовательных верхних или нижних переходов прядей, которые были пересечены, и проверить, увеличивается ли после повторной прокладки новой нити количество последовательных верхних или нижних проходов прядей, которые были пересечены сейчас. В любом из этих случаев проверяется, могут ли нитки с увеличенным числом последовательных над- или подземных переходов быть перенаправлены с меньшим количеством переходов.

Давайте рассмотрим этот пример:

Маркируем переходы:

и шаг за шагом находить выгодный ход P0.

Сколько надпрядей с хотя бы 2 переходами и сколько подпрядей хотя бы с 2 подземными переходами вы видите?
Мы получаем три верхних пряди как минимум с 2 надземными переходами: AB, GC, IE и три подпряги с минимум 2 подземными переходами: EF, BH, DJ.

Нетрудно увидеть, что цепь IE имеет ход P0, который перемещает ее на пересечение цепи GC и BH:

но вопрос в том, выгоден ли этот ход P0.

Увеличило ли перемещение нити IE количество последовательных над-/нижних переходов ранее перекрещенных нитей DF или HJ?
Да, на линии HJ теперь есть 2 эстакады, но эту полосу нельзя перенаправить, чтобы соединить те же две лунки с меньшим количеством эстакад.

Создавалось ли больше последовательных проходов верх/ниже при размещении пряди поверх 2 прядей GC и BH?
Да, подземный канал BH имел 2 подземных перехода, а теперь имеет 3 подземных перехода.

Можно ли перенаправить эту цепь BH в P-ход, чтобы уменьшить количество пересечений?

Да: Новый маршрут ветки BH соединяет те же дыры, но только с 1 подземным переходом вместо 3 подземных.

Тот факт, что новая прядь на этой схеме длиннее (включает в себя больше ступеней), чем замененная, не имеет значения. Все, что имеет значение, это уменьшение количества пересечений с 10 до 8, что теперь позволяет идентифицировать этот узел как узел 8₁₇.

На исходной диаграмме этот ход P мог быть выполнен сначала как ход P0, а упомянутый выше ход P0 впоследствии как ход P-, с той же общей экономией в 2 пересечения.

В сложных задачах может потребоваться выполнить несколько P0-ходов, прежде чем P-ход станет возможным.

Диаграмма максимально упрощается, если количество пересечений равно числу пересечений (см. первый раздел). В этом случае ходы P0 никогда не позволят сделать ход P-.

Поиск ходов P+
Ход P+ увеличивает количество пересечений на диаграмме. Зачем такой ход может быть полезен для чего-либо, если цель обычно состоит в том, чтобы упростить диаграммы? Чтобы увидеть их назначение, напомните себе о пересечении чисел, пересечении рук, извилистых числах и о том, как различные движения Рейдемейстера влияют на оба числа. Затем взгляните на следующую (сложную) задачу.

В течение долгого времени, начиная с конца^19-го века, считалось, что две диаграммы, названные 10,₁₆₁ и_{10, 162} в таблице узлов Дейла Рольфсена, принадлежат к двум разным узлам. В 1973 году Кеннет Перко понял, что оба представляют собой один и тот же узел. С тех пор пара записей в классических таблицах узлов, которые фактически представляют один и тот же узел, называется парой Перко.
Эти две диаграммы представляют собой один и тот же узел 10₁₆₁. Как они могут деформироваться друг в друга?

Следующая последовательность деформаций превращает диаграмму узла 10₁₆₁ с 0 левыми и 10 правосторонними пересечениями на диаграмму с 1 левым и 9 правосторонними пересечениями. Обе диаграммы имеют одинаковое минимальное количество пересечений (10), но разные числа 0−10 = −10 и 1−9 = −8. Только Reidemeister 1 ход может изменить число пересечений, но Reidemeister 1 ход также изменяет количество пересечений. Поскольку этот узел имеет номер пересечения 10, количество переходов не может быть уменьшено. Следовательно, чтобы изменить число пересечений, количество пересечений должно быть временно увеличено с 10 до 11 с помощью движения P+ и уменьшено затем с помощью движения P-, чтобы снова получить 10 переходов, но с другим числом пересечений.

Первоначальное извивание #
w = 0−10 = −10

P+ (увеличивая # от ┼)

Теперь w = 1−10 = −9

Ход R3 (с сохранением w)

Впоследствии

Вставка строка + столбец

P- перемещение (уменьшение # от ┼)

Теперь w = 1−9 = −8

Строка удалена

Ход R3 (с сохранением w)

Впоследствии

На итоговой диаграмме
writhe # равно 1−9 = −8.

Как можно найти такую последовательность движений P+ и P- и, возможно, P0, которая приводит к такой деформации?

Легко определить левостороннее и правостороннее пересечение обеих диаграмм. Если число изгибов нужно увеличить(уменьшить), чтобы деформировать одну диаграмму в другую, то нужно искать ход P+, который добавляет пересечение влево (вправо), а затем нужно движение P, которое устраняет пересечение правой (левой) рукой. В приведенном выше примере необходимо было увеличить число извиваться и необходимы дополнительные ходы P0 (ходы R3 - это специальные типы ходов P0).

Если извивающиеся числа отличаются более чем на 2, то может потребоваться более одной пары P+ и P-ходов.
Вот еще одна проблема. Как эти две диаграммы могут быть деформированы друг в друга?

Следующая последовательность деформаций изменяет первую диаграмму узла 11n₁₁₆ с 6 левыми и 5 правосторонними пересечениями на вторую диаграмму с 7 левыми и 4 правосторонними пересечениями. Обе диаграммы имеют одинаковое минимальное количество пересечений (11), но разные числа 6−5 = 1 и 7−4 = 3. Только Reidemeister 1 ход может изменить число пересечений, но Reidemeister 1 ход также изменяет количество пересечений. Поскольку этот узел имеет номер пересечения 11, текущее количество пересечений не может быть уменьшено. Следовательно, чтобы изменить число пересечений, количество пересечений сначала должно быть увеличено с 11 до 12 с помощью движения P+, прежде чем оно может быть уменьшено с помощью движения P-, чтобы снова получить 11 пересечений, но с другим числом пересечений.

Начальное извивание # = 6−5 = 1

Расширение

P+ (увеличивая # от ┼)

После P+ ход

Расширение

P- перемещение (уменьшение # от ┼)

После- ход

Сокращение

Сокращение

На итоговой схеме
Извивающийся # равен 7−4 = 3.

Поиск ходов U1
Ход U1 переключает пересечение, что впоследствии позволяет упростить схему, убрать все пересечения и показать, что переключение произвело развязывание.

В общем, хорошие головоломки должны иметь уникальные решения, поэтому наши головоломки U1 и U2 показывают диаграммы, где переключение только одного пересечения приводит к развязыванию узла. Эта подсказка позволяет сократить время поиска

Если на схеме есть закручивание линии узла следующим образом:

Будет ли иметь значение, какой из перекрестков будет переключен?
При этом не будет иметь значения, какой переход будет переключен. Оба результата эквивалентны:

=

=

Следовательно, либо оба этих пересечения являются разъедающими выключателями, либо ни один из них. Поскольку в наших пазлах есть только один развязывающий выключатель, эти два пересечения можно игнорировать.

Если все еще есть несколько кандидатов на скрещивание, следует попытаться представить, сколько ходов R1, R2 станет доступным через переключатель, и сначала попробовать этот переключатель, который, по-видимому, позволяет больше всего упрощений.

Еще один совет, чтобы свести к минимуму попытки переключения – представить, точно ли после переключения останется узел, как трилистник. Если это так, то этот переключатель не является правильным в головоломках U1.

На листе количество доступных переключателей ограничено минимумом, необходимым для развязывания узла. Если вы сделали переключение, вы не можете переключить его обратно, потому что диаграмма могла быть изменена, поэтому вам придется сбросить диаграмму.

Поиск ходов U2
Для головоломок U2 действует та же подсказка об эквивалентных переключателях, что и для головоломок U1. Также для головоломок U2 есть только одно пересечение, которое уменьшает число развязывания, т.е. делает прогресс в направлении развязывания. После того, как это уникальное первое пересечение переключается и результирующая диаграмма упрощается, может быть возможно более одного переключения, которое создает развязывание.

Поиск ходов P0U
Исследования, проведенные Caribou Contests по развязыванию чисел, показали, что существуют максимально упрощенные диаграммы узлов (с минимальным числом пересечений), которые не имеют упрощающего переключателя. Другими словами, существуют схемы, на которых переключение любых пересечений не приведет к прогрессу до развязывания. В этом случае сначала нужно выполнить один или несколько ходов P0, которые превращают головоломку в головоломку U2. Хорошая новость заключается в том, что диаграммы, требующие сначала P0 ходов, встречаются редко, и поэтому вполне вероятно, что любые P0 ходов превратят его в головоломку U2.

Советы и рекомендации по типам головоломок
Задания по развязыванию узлов на этом сайте специально отобраны. Знание того, насколько они особенные, может помочь решить их.
Ходы R3
Как обсуждалось ранее, чтобы увидеть, является ли ход R3 выгодным, необходимо проверить продолжение средней дуги в отверстии R3. Головоломки в категории R3 позволяют сделать совершенно особый ход R3, который приносит двойную пользу:
1) При продлении средней дуги отверстия R3 за пределы подземного перехода, то следующий проход является эстакадой.
2) При продлении средней дуги отверстия R3 за пределы эстакады, то следующий проход является подземным.
Следовательно, ход R3 увеличивает для средней линии количество последовательных эстакад с одной стороны и количество последовательных проходов с другой стороны. Такие вдвойне полезные отверстия R3 легко обнаружить.

Ходы U1 и U2
Пазлы в категориях U1 и U2 особенны тем, что только одно пересечение обладает свойством, что переключение на него приводит к прогрессу в развязывании узлов. Если две нити закручиваются по спирали следующим образом:

Тогда переключение любого из двух пересечений дает тот же эффект распутывания двух нитей. Если переключение одного пересечения будет работать, то переключение другого тоже будет работать, поэтому ни один из этих переходов не может быть правильным для переключения.

P0 ходов
Поскольку в категории R3 есть только головоломки, которые имеют вдвойне выгодный ход R3, категория P0 содержит, среди прочего, головоломки, в которых лучшим первым ходом является один полезный ход R3. Так что не стоит исключать рассмотрение ходов R3 в качестве первого хода в этой категории.

P0U Moves
В нашем исследовании ходов развязывания узлов мы обнаружили, что очень редко проекция узла, с одной стороны, полностью упрощена, т.е. имеет минимально возможное количество пересечений для этого узла, а с другой стороны, ни одно из ее пересечений при переключении не уменьшит количество дальнейших переключений, необходимых для достижения узла. Как эти знания помогают? Из этой подсказки можно сделать вывод, что после начального движения P0 (которое включает в себя одиночные выгодные ходы R3) единственными переключателями, которые нужно попробовать, являются новые пересечения, которые появляются из-за первоначального хода P0.

Больше ссылок на Knots
Теория математических узлов является старым предметом исследований, поэтому по ней существует огромное количество литературы. Тем не менее, это также молодая тема, поскольку несколько вех были достигнуты только в последние десятилетия. Например, существует научный «Журнал теории узлов и ее ответвлений», посвященный узлам, который выходит каждый месяц.

Мы рекомендуем следующую книгу: Адамс, Колин (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3678-1

Также существует множество сайтов о узлах. Хорошим местом для начала является страница «Теория узлов» в Википедии.

Видео можно посмотреть на Плейлист Numberphile's Knot видео на YouTube. У них также есть отличное объяснение Окрашивание узлов, что является еще одним способом, помогающим идентифицировать диаграммы одного и того же узла.

Карибу создал два постера на Развязывание узлов и окраска узлами.