La plupart d'entre nous utilise des noeuds au quotidien pour se nouer les lacets, pour mettre une cravate ou une écharpe, pour refermer un sac, et ainsi de suite... Selon vos passe-temps, vous connaissez peut-être bien plus de noeuds, par exemple si vous faites de la voile, du camping, de la pêche, si vous faites de la couture, du tricot, ou même si vous aimez coiffer des cheveux.
Cependant... aucun d'entre ces derniers n'est un noeud mathématique!

Jetez un coup d'oeil aux deux schémas de noeud ci-dessous. Figurez-vous qu'ils s'appellent tous les deux « Noeud en huit »! Oui, chacun contient un 8, mais ils ne sont pas tout à fait pareils...
Quelle grande différence discernez-vous?

Mais bien sûr! Vous savez maintenant qu'en mathématiques, un noeud est une seule courbe continue et fermée.
Quel est le noeud mathématique le plus simple qui colle à cette définition?
Comment peut-on former un noeud mathématique à partir d'une ficelle?

Le défi s'agit de déformer le noeud mathématique afin de réduire le nombre de croisements autant que possible.

Bien qu'on vous permette de « couper » les brins en les cliquant dessus, vous ne modifiez que le diagramme et non le noeud sous-jacent. C'est pourquoi vous êtes limité par rapport au raboutissage des extrémités coupées. Cette contrainte guarantit que le noeud mathématique reste inchangé par la manipulation des brins même si son apparence est modifiée..
Est-ce que vous avez l'habitude de défaire des noeuds?
Essayez d'autres jeux avec les noeuds mathématiques!

l'espace trois-dimensionnel, fermée, continue (elle ne s'intersecte pas), et d'épaisseur fini (pour éviter des noeuds de plus en plus petits le long de la ligne). Exemple : le noeud en 8.

c'est la projection bidimensionnelle d'un noeud où deux parties de la courbe peuvent se croiser (sur notre site, les lignes se croisent toujours à 90°) mais ne peuvent pas être superposées.

Quelques exemples de projections de noeuds :
Le Noeud Trivial, parfois appelé le Noeud Non-Noué est tout simplement un cercle, ou sur notre site un rectangle (puisque toutes les lignes se croisent à 90°).

the abstract object behind l'objet abstrait que représentent un nombre infini de projections de noeud qu'on peut déformer et étirer pour les transformer les unes en les autres sans les couper. Exemple : le noeud à trèfles, aussi appelé le noeud 3₁, le plus simple après le noeud trivial.

le terme mathématique pour décrire l'équivalence entre deux projections de noeud lorsqu'on peut déformer une ligne de noeud en une autre de manière continue.

Notre site dessine les noeuds à l'aide de seulement 6 tuiles que l'on appelle des étapes.

Là où deux étapes se croisent l'une par-dessus l'autre dans une projection. Par exemple :

une étape qui fait partie d'une croisement. Il y a des passages par-dessus (la ligne est totalement visible) et par-dessous (la ligne est partiellement recouverte).

Inverser des passages dessus-dessous d'un croisement dans une projection. En générale lorsqu'un croisement est inversé, la projection résultante représente un noeud différent que l'originale. Le fait d'inverser tous les croisements d'un noeud le change en son image miroir. Certains noeuds et leurs images miroir sont identiques, tel le noeud en 8. On appelle « achiral » un tel noeud, qui est relié à son image miroir par une isotopie ambiante. On appelle donc « chiral » un noeud qui ne peut pas se transformer ainsi en sont image miroir, dont le noeud de trèfle.
Ce noeud peut-il se transformer en son image miroir?

Ce n'est pas une propriété de la ligne du noeud, ni du noeud lui-même. C'est le sens dans lequel on se déplace sur la ligne du noeud : il y en a 2, et donc il y a 2 orientations possibles.
Un noeud qui peut se changer via une isotopie ambiante en lui-même mais avec l'orientation inversée s'appelle un noeud « inversible », sinon il est non-inversible. Le plus petit noeud non-inversible est 8₁₇, un noeud achiral mais qui devient chiral lorsqu'on ajoute une orientation (pour plus d'informations, consultez la page Wikipédia sur les Noeuds Inversibles). Le fait d'ajouter plus de structure, à l'occurence une orientation, entraîne une perte de symmétrie (il n'est plus identique à son image miroir).

Le noeud en huit mentionné ci-dessus a un nombre minimal de croisements de 4, donc moins de 8, alors il doit être inversible.
Comment peut-on déformer le noeud en huit pour que sa projection reste inchangée tandis que l'orientation soit inversée?
Dans un exemple donné ci-haut, un noeud en huit a été transformé avec une déformation simple en son image miroir. Cette déformation avait pour effet de changer l'orientation aussi− allez vérifier ceci par vous-même! Alors, si on voulait déformer le diagramme en son image miroir sans inverser l'orientation, il suffirait d'additionner ces deux séquences.

Un noeud chiral, c.-à-d. un noeud ayant la capacité de se tranformer en son image miroir, peut quand même être inversible (symmétrique quant au changement d'orientation). De tels noeuds sont dits « reversibles ».

Pour toute projection d'un noeud, chaque croisement est soit « à main droite », soit « à main gauche ».
Nous présentons en ce qui suit les deux types de croisements pour ensuite déterminer lequel est à main droite et lequel à main gauche.
Lorsqu'on considère tous les passages par-dessus/par-dessous et les deux orientations, combien y a-t-il de croisements différents?
Si on ne change rien dans une projection à part une seule inversion de croisement, est-ce que la chiralité de ce croisement change? C'est à dire, est-ce que ce croisement change de groupe?
Comment peut-on se servir de ses mains pour faire la différence entre les croisements à main droite et à main gauche?

aussi appelé « la vrille », c'est une propriété des projections de noeud qui décrit la différence entre le nombre de croisements à main gauche et à main droite dans la projection. Ce nombre peut différer entre deux projections d'un même noeud. Quel est l'entortillement de la projection ci-dessus?

il peut s'agir d'un nombre, d'un polynôme, ou d'une assertion de faisabilité qui caractérise toutes les projections (infiniment nombreuses) d'un même noeud. Par exemple, les propriétés invariantes d'un noeud comprennent s'il est chiral ou achiral, inversible ou non-inversible, et s'il est reversible.

C'est une caractéristique invariable de chaque noeud qui dénote le nombre de croisements minimum nécessaires pour le dessiner.
Combien cette projection a-t-elle de croisements?
Quel est le nombre minimal de croisements du noeud représenté par la projection?
Quels sont les deux plus petits nombres de croisement que peut avoir un noeud?

La partie de la ligne du noeud dans une projection qui relie un croisement au prochain.
Combien d'arcs y a-t-il dans une projection à N croisements?

L'espace vide entouré par des arcs dans une projection. L'espace extérieur à la projection est aussi un trou.
Combien y a-t-il de trous dans une projection à N croisements?

Une suite d'arcs consécutifs dans une projecton (c.-à-d. d'arcs à la queue leu leu) qui commence et termine à un passage par-dessous et qui comprend 0, 1, ou plusieurs passages par-dessus.

Une suite d'arcs consécutifs dans une projecton (c.-à-d. des arcs les uns après les autres) qui commence et termine à un passage par-dessus et qui comprend 0, 1, ou plusieurs passages par-dessous.

Dans la litérature sur la théorie des noeuds, on appelle souvent « un brin » ce qu'ici on distingue en tant que « brin par-dessus ». Pour notre discussion, il est aussi important de considérer le nombre de passages par-dessus qu'a un brin par-dessus que le nombre de passages par-dessous qu'a un brin par-dessous. Alors on fait la différence entre les brins par-dessus et par-dessous.

À droite il y a une ligne horizontale comprenant cinq arcs : est-ce un brin par-dessus ou par-dessous?
Combien de brins par-dessous y a-t-il dans une projection à N croisements?

En 1927 le mathématicien allemand Kurt Reidemeister, et, indépendamment, James Waddell Alexander et Garland Baird Briggs en 1926, ont démontré que deux diagrammes de noeuds représentant le même noeud peuvent se déformer l'un en l'autre par une suite de 3 types de mouvements. Or, il reste plusieurs lacunes, par exemple durant cette déformation le nombre de croisements peut augmenter temporairement, mais la limite supérieure de cette augmentation reste inconnue ainsi que le nombre nécessaire de mouvements. Les 3 mouvements sont numérotés selon le nombre de brins impliqués.

création ou suppression d'une boucle (un trou renfermé par un seul arc). Quelle projection montre un croisement à main gauche? Et à main droite?

création ou suppression de deux croisements « jumeaux » dessus-dessus ou dessous-dessous (un trou renfermé par deux arcs). Que remarquez-vous par rapport à la chiralité/polarité des deux croisements créés/supprimés par un mouvement R2?

création et suppression d'un trou renfermé par 3 arcs (déplacement d'un brin passant au-dessus ou en-dessous d'un croisement).
Quels sont les 2 types de trous renfermés par 3 arcs?

Ceci n'a rien à voir avec les 'passages' définis ci-haut. Un mouvement à passage (pass move en anglais) remplace un brin par-dessus/dessous avec un autre brin par-dessus/dessous où les deux brins ont les mêmes bouts. Pour des exemples, voir les définitions de P-, P0 et P+ ci-dessous.

un mouvement à passage où le brin résultant a moins de passages que l'original.
Trouvez un mouvement P- remplaçant le brin vert dans le diagramme ci-dessous.

un mouvement à passage où le brin résultant a le même nombre de passages que l'original.
Trouvez un mouvement P0 remplaçant le brin vert dans le diagramme ci-dessous.

un mouvement à passage où le brin résultant a plus de passages que l'original.
Trouvez un mouvement P+ remplaçant le brin vert dans le diagramme ci-dessous.
Les mouvements P+ deviennent nécessaires lorsqu'on souhaite changer l'entortillement d'un diagramme. On discutera ce sujet plus tard dans la section « Trouver des Mouvements P0 ».

C'est une propriété d'un noeud et non de ses diagrammes. Il fait partie donc des « invariants » d'un noeud, car il est indépendant de sa projection.
Le nombre minimum de fois qu'on doit inverser des croisements pour obtenir le noeud trivial (c.-à-d. le cercle, noeud sans aucun croisement). Avant la première inversion et entre toutes les autres, le diagramme peut subir des déformations arbitraires.
Pourquoi le noeud de trèfle a-t-il le nombre de dénouement 1?

Des cas simples de mouvements R1, comme celui-ci : où il suffit de retourner une boucle 4 fois pour obtenir le noeud trivial sont faciles à répérer. Pour ce faire, on doit suivre la ligne du noeud pour chercher un arc dont les deux bouts terminent au même croisement. L'ordre des mouvements R1 n'importe pas.

Cependant, il existe des cas plus généraux de l'application des mouvements de type Reidemeister 1. Si un brin par-dessus commence comme passage par-dessus à un croisement, mais reste par-dessus tous les autres arcs (d'où «brin par-dessus»), alors cette boucle peut certainement être raccourcie et donc supprimée. Par exemple, ici on peut supprimer la boucle au centre de ce diagramme pour commencer, puis toutes les autres boucles là-dessous, une par une, ainsi : C'est pareil si la boucle se trouve sous toutes les autres :

Tout comme pour les mouvements R1, il est assez facile à trouver des possibilités pour des mouvements R2 comme ci-dessous où il faut effectuer deux mouvements R2 de suite avant qu'un mouvement R1 puisse donner le noeud trivial : Pour le prochain exemple, il faut effectuer deux mouvement R2 de suite sur le même brin, d'abord le passant par dessous un brin, puis par dessus un autre : La dernière étape n'est pas un mouvement R2. On l'inclut uniquement pour démontrer que ce noeud est la somme de deux noeuds de trèfle.

L'exemple ci-haut convient bien pour démontrer l'usage optimal de notre interface. Si on fait un clic double pour «couper» la ligne du noeud, on obtient : Ensuite, il faut effectuer chaque mouvement R2 un par un. On ne peut pas, par exemple, faire reculer un brin sous le premier brin et sous l'autre avant de faire reculer l'autre. Il faut d'abord faire déplacer le premier brin par-dessous pour supprimer un passage par-dessous et mettre les deux extrémités en l'état «par-dessous» ; dans cet état il est impossible de supprimer un passage par-dessus. Il faut changer de bout et déplacer l'autre extrémité vers le même trou, tout en supprimant le deuxième passage par-dessous pour se mettre en l'état «neutre». Ceci fait, on peut faire reculer les deux bouts pour supprimer les deux passages par-dessus et les raboutir. Pour résumer, on doit changer de bout pour enlever d'abord tous les passages par-dessous, puis tous les passages par-dessus, et ainsi de suite.

L'implémentation de ces «états» des extrémités n'est pas une défaillance du logiciel, c'est fait exprès pour qu'on puisse modifier de manière interactive un diagramme sans changer le noeud mathématique représenté.

Un mouvement P- est un mouvement qui remplace un brin par-dessus par un autre brin par-dessus ayant moins de passages par-dessus ou bien un mouvement qui remplace un brin par-dessous par un autre brin par-dessous ayant moins de passages par-dessous. Dans les deux cas, le nombre de croisements est réduit.

Pour trouver de tels mouvements, on marche sur la ligne du noeud en cherchant le plus grand nombre possible de passages par-dessus consécutifs ou de passages par-dessous consécutifs (au moins deux). Si on retrouve un tel brin, disons par exemple un brin par-dessus alors on essaie de trouver une route alternative avec moins de passages par-dessus reliant ces mêmes bouts de passage par-dessous.

Dans l'exemple suivant, on remplace un brin à 4 passages par-dessous par un brin sans aucun passage par-dessous, pour ensuite remplacer ce brin à 3 passages par-dessus consécutifs par un brin à 1 seul passage par-dessus. On effectue encore 2 passages P- pour supprimer 2 croisements de plus. Le diagramme résultant se simplifie encore plus à l'aide de deux mouvements R1, comme montré ci-dessous. Plus il y a de passages d'un même type consécutifs sur un brin, plus c'est probable qu'on retrouve une déviation alternative ayant moins de passages.

Les mouvements de type R1, R2 et P- changent le nombre de croisements. Les mouvements R3, ayant aucun effet sur le nombre de croisements, sont donc décrits ici, en dessous de la description des mouvements de type P-. Si les mouvements R3 ne font pas baisser le nombre de croisements, à quoi servent-ils? Ces mouvements sont quand même utiles puisqu'ils peuvent permettre de débloquer des mouvements P-. Comme vous pouvez lire plus haut dans les définitions, un trou R3 est un trou délimité par trois arcs, ici un arc supérieur dont les bouts sont deux passages par-dessus (A,B), un arc au milieu dont les bouts sont un passage par-dessus (C) et un passage par-dessous (B), ainsi qu'un arc inférieur dont les bouts sont deux passages par-dessous (A,C). (ce noeud trivial a été pris sur la page Wikipédia sur le Noeud Trivial)

On a découvert dans la définition des mouvements R3 que ce type de mouvement inverse l'ordre des passages par-dessus et par-dessous pour le brin du milieu. Un mouvement R3 est avantageux lorsque cette inversion fait augmenter le nombre de passages du même type consécutifs sur l'arc du milieu, ce qui dont peut permettre d'effectuer un mouvement P-. Ceci est le cas si, dans la continuation de l'arc du milieu après le passage par-dessous B, on retrouve un passage par-dessus (D et E sont des passages par-dessus) et/ou si après le passage par-dessus C on retrouve un passage par-dessous (F, G, et H sont des passages par-dessous). Le mouvement R3 a pour effet de faire glisser l'arc du milieu BC entre l'arc supérieur et l'arc inférieur au croisement A. Avant il n'y avait que 2 passages par-dessus consécutifs aux croisements D et E, maintenant il y en a 3 aux croisements C, D, et E. Ce brin par-dessus plus long peut donc se rediriger à l'aide d'un mouvement P- :
ce qui réduit le nombre de croisements de 2. Il reste donc 13 &minusl 2 = 11 croisements.

L'autre côté du brin peut aussi être reconduit par un mouvement P-. Avant, il y avait 3 passages par-dessous aux croisements F, G, et H, maintenant il y en a 4 aux croisements B, F, G, et H. On obtient donc après le mouvement P- : ce qui réduit donc aussi le nombre de croisements de 2. Ces deux diagrammes peuvent se simplifier encore plus à travers des mouvements P- et R1 pour donner enfin le noeud trivial. Essayez de le faire vous-même à l'aide des indices ci-haut pour reconnaître des mouvements P-.

Pratiquons à l'aide d'un exemple.


Combien y a-t-il de mouvements R3 possibles dans le diagramme suivant?

L'exemple ci-dessus convient à démontrer comment on peut effectuer un mouvement R3 avec l'interface du jeu.

Comme décrit ci-haut où on définit les mouvements Reidemeister de type 3, il y a en effet 3 façons d'effectuer un mouvement R3 : en déplaçant le brin inférieur, celui du milieu, ou le brin supérieur. Comme on a vu, le résultat est le même quelle que soit la façon choisie.

Notre interface permet d'effectuer un mouvement R3 en déplaçant le brin inférieur ou le brin supérieur, mais elle ne permet pas de l'effectuer en déplaçant le brin du milieu. La raison, c'est que dans cette interface les deux extrémités «coupées» ne peuvent ajouter ou supprimer que des passages du même type (soit par-dessus, soit par-dessous) en même temps. Mais, ceci ne vous empêchera pas d'effectuer des mouvements de type R3 car le résultat est le même lorsqu'on déplace les brins supérieur et inférieur.

Les mouvements P0 sont des mouvements à passage qui ne modifient pas le nombre de croisements, tout comme les mouvements R3 qui sont effectivement une version spéciale de mouvements P0. Comme les mouvements R3, les mouvements P0 peuvent être quand même utiles en déploquant un mouvement P-. Puisque les mouvements P0 sont moins utiles en moyenne, ils apparaissent plus souvent, mais il n'est pas toujours facile de vérifier s'ils permettent un mouvement P-.

Pour identifier un mouvement P0 possible, on doit chercher un brin par-dessus ou par-dessous, comme lorsqu'on cherche un mouvement P-. Pour vérifier si un mouvement P0 pourrait être avantageux et permettre un mouvement P-, on suit le même principe que pour un mouvement R3. On vérifie donc si la suppression d'un brin augmente le nombre de passages de même type consécutifs et si le brin résultant en aura plus. Dans tous les cas, on doit aussi vérifier s'il est possible de rediriger les brins avec plus de passages de même type consécutifs pour obtenir des brins avec moins de croisements.

Prenez cet exemple : On étiquète les croisements : et on cherche un mouvement P0 avantageux pas à pas.

Combien voyez-vous de brins par-dessus avec au moins 2 passages par-dessus et combien voyez-vous de brins par-dessous avec au moins 2 passages par-dessous?
Il n'est pas difficile de voir que le brin IE a un mouvement P0 qui le redirigera pour qu'il traverse par-dessus les brins GC et BH : mais il reste à savoir si ce mouvement P0 est avantageux.

Est-ce que le fait de déplacer le brin IE a fait augmenter le nombre de passages par-dessus/dessous consécutifs sur les brins DF ou HJ déjà croisés?
Est-ce le fait de déplacer le brin sur les brins GC et BH a créé plus de passages par-dessus/dessous consécutifs?
Est-ce qu'on peut rediriger ce brin BH par un mouvement P- de manière à réduire le nombre de croisements?
Le fait que le nouveau brin soit plus long (c.-à-d. a plus d'étapes) dans ce diagramme que le brin remplacé n'est pas important. Tout ce qui compte, c'est la réduction du nombre de croisements de 10 à 8 qui permet d'identifier ce noeud comme le noeud 8₁₇.

À partir du diagramme original, il est possible de compléter ce mouvement P- en effectuant d'abord un mouvement P0 suivi par le mouvement P0 mentionné ci-haut comme mouvement P- pour le même résultat : 2 croisements de moins.

Face à des problèmes difficiles il peut être nécessaire d'effectuer plusieurs mouvements P0 avant qu'un mouvement P- devienne possible.

Un diagramme est simplifié de manière maximale lorsque le nombre de croisements du diagramme est égal au nombre minimal de croisements (voir dans les définitions). Dans ce cas, les mouvements P0 ne permettront jamais un mouvement P-.

Un mouvement P+ fait augmenter le nombre de croisements dans un diagramme. À quoi ceci peut bien servir, si le but est de simplifier les diagrammes? Pour mieux comprendre l'utilité de ces mouvements, rappelez-vous les concepts de nombre minimal de croisements, de la polarité des croisements, de l'entortillement (writhe number en anglais) et des mouvements Reidemeister et leurs effets sur ces derniers. Ensuite, dirigez-vous vers le prochain défi redoutable.

Depuis belle lurette, au moins depuis la fin du XIX^e siècle, on pensait que les deux diagrammes appelés 10₁₆₁ et 10₁₆₂ dans la table Rolfsen représentaient deux noeuds différents. Mais, en 1973, Kenneth Perkot découvra qu'ils repésentaient en effet le même noeud! Désormais on appelle « paire Perko » deux tels doublons dans une table de noeud classique qui se sont avérés être le même noeud.
Ces deux diagramme représentent le même noeud 10₁₆₁. Comment peut-on les transformer l'un en l'autre? Comment peut-on trouver une séquence de mouvements P+, P-, et peut-être même des mouvements P0 permettant d'effectuer une telle transformation?
Encore un défi. Comment peut-on transformer l'un des diagrammes ci-dessosu dans l'autre?

Un mouvement U1 inverse un croisement, ce qui permet de simplifier le diagramme pour supprimer tous les croisements et démontrer que l'inversion produit le noeud trivial.

En général, des casse-têtes intéressants devraient avoir des solutions uniques alors nos casse-têtes de type U1 et U2 ne donnent que des diagrammes où l'inversion d'un seul croisement produit le noeud trivial. Cet indice permet de chercher la solution plus efficacement.

Si le diagramme inclut une torsion de la ligne de noeud comme celle-ci :

est-ce qu'il est important d'inverser un des croisements plutôt que l'autre?
S'il reste toujours plusieurs candidats pour le croisement recherché, il est utile d'imaginer le nombre de mouvements R1 et R2 qui seront débloqués par l'inversion pour tenter l'inversion qui a l'air de permettre le plus de simplifications par la suite.

Encore une astuce pour minimiser le nombre d'inversions qu'il faut essayer pour trouver la bonne : demandez-vous si, après l'inversion, il y aura un noeud qui reste, par exemple le noeud de trèfle. Si la réponse est oui, alors ce n'est pas la bonne inversion pour les casse-têtes de type U1.

Dans l'interface, le nombre d'inversions disponibles est limité au minimum nécessaire pour obtenir le noeud trivial. Malheureusement, une fois qu'on a inversé un croisement on ne peut pas l'annuler pour revenir en arrière car le diagramme a peut-être changé, alors il faut recommencer.

Pour des casse-têtes de type U2, on peut se servir du même indice que pour les casse-têtes de type U1 sur les inversions équivalentes puisqu'il y a un seul croisement qui réduira le nombre de dénouement c.-à-d. qui fera avancer vers le noeud trivial. Après avoir inversé ce croisement unique et simplifié le diagramme résultant, il peut y avoir plus d'une inversion possible pour obtenir le noeud trivial.

Des recherches effectuées par les Concours Caribou sur les nombres de dénouement montrent qu'il existe des diagrammes de noeud simplifiés de façon maximale (c.-à-d. avec le nombre minimum de croisements) qui n'ont pas d'inversion simplifiante. Autrement dit, il y a des diagrammes où le fait d'inverser un croisement ne peut pas faire approcher le diagramme du noeud trivial. Dans ce cas il faut d'abord effectuer un ou plusieurs mouvements P0 qui changent le casse-tête en type U2. Heureusement, de tels diagrammes exigeant des mouvements P0 du premier coup sont rares et donc il est très probable que tout mouvement P0 le fera changer en casse-tête de type U2.

Les casse-têtes sur ce site sont spécialement sélectionnés selon. Pour pouvoir résoudre ces casse-têtes, il est utile de savoir en quoi ces casse-tête sont particuliers.
Mouvements R3
Mouvements U1 et U2
Mouvements P0
Mouvements P0U