Chomp ©

Maydon - bu (satr, col) deb nomlangan satr va ustunning kesishgan nuqtasi.
Kafel - bu ba'zi maydonlardagi rasm.
Pozitsiya kafel bilan barcha maydonlardan iborat.

Keling, oson muammolardan, ya'ni kichik pozitsiyalardan boshlaylik. Ularni yaratish uchun biz "Kompyuter: Off" ni bosing. Agar biz keyin (2,1) ustiga bosing bo'lsa, kafel faqat bir qator qolgan.

Keyingi o'yinchi, ya'ni raqibingiz nima qila oladi?
- (1,2) ni bosish orqali faqat (1,1) ustidagi kafel qoladi, shuning uchun siz yo'qotasiz.

Keyin "Yangi o'yin" ni bosing va (3,1) va (2,2) 2-qatorda bitta kafel va barcha 1-qatorda bo'lishi uchun.

Keyingi o'yinchi nima qila oladi?
- (1,3) ustiga bosish orqali faqat uch kafel qolgan. Yoki sizda hech qanday imkoniyat yoʻqligini koʻryapsizmi?

Keling, "Yangi o'yin" ni bosamiz va (3,1) va (2,3) ni bosamiz.

Keyingi o'yinchi nima qila oladi?
- Raqibingiz (1,4) ni bosishi mumkin. Yoki sizda hech qanday imkoniyat yoʻqligini koʻryapsizmi?

Agar faqat 2 qatorda kafel bilan qaysi pozitsiyalarda umumlashtira olasiz o'yinda g'alaba qozonish uchun hech qanday imkoniyat yo'q?
- Agar yuqori qatorda 2-qatordan bitta plitka ko'p bo'lsa, unda siz nima qilsangiz ham, raqibingiz har doim harakat qilishi mumkin, shunda yuqori qatorda 2-qatordan bitta ko'proq plitka bo'ladi. Keyin nima qilsangiz ham, oxir-oqibat (1,1) plitkani tanlashingiz va o'yinni yo'qotishingiz kerak bo'ladi.

Agar plitka bosilsa, pastdagi va o'ngdagi barcha plitalar ham olib tashlanadi. Bu qoida simmetriyaga ega; ya'ni butun o'yin quyidagi simmetriyaga ega: Agar biz satrlar va ustunlarni almashtirsak, qoida bir xil bo'lib qoladi: o'ngdagi barcha plitkalar pastdagi barcha plitkalarga aylanadi va pastdagi barcha plitkalar olib tashlangan kafelning o'ng tomonidagi barcha plitkalarga aylanadi. Boshqacha qilib aytganda, (1,1) va (2,2) orqali o'tadigan chiziq bo'ylab pozitsiyani aks ettirsak, yangi pozitsiya boshqacha ko'rinishi mumkin, lekin u bir xil maqomga ega. G'olibona harakat ham xuddi shunday harakat bo'ladi, faqat aks ettirilgan.

Birinchi qatorda 3 ta plitka va ikkinchi qatorda 2 ta plitka bilan pozitsiya biz bilganimizdek, umidsizdir. Oynali pozitsiyalar qanday plitkalarga ega?
- Akslantirilgandan so'ng chap ustunda 3 kafel va 2-ustunda 2 kafel mavjud.

Biz barcha umidsiz pozitsiyalarni faqat dastlabki ikki qatorda plitkalar bilan bilamiz. Simmetriya bizga faqat dastlabki ikkita ustundagi plitkalar bilan barcha umidsiz pozitsiyalar haqida nimani aytadi?
- Birinchi ikkita ustundagi plitkalar bilan umidsiz pozitsiyalar birinchi ustunda ikkinchi ustunga qaraganda bitta ko'proq plitka bo'lganlardir.

Mana imkoniyatsiz yana bir pozitsiya: "Yangi o'yin" ni bosing va (4,1), (2,2) va (1,4).

Agar raqib bu holatda harakat qilsa, nima deb javob berasiz?
- Ko'chganingizdan so'ng, yuqori qator va birinchi ustun yana bir xil uzunlikda ekanligiga ishonch hosil qilishingiz kerak. Ushbu naqshni takrorlash orqali raqib oxir-oqibat (1,1) plitkani olib, yutqazishi kerak bo'ladi.

Shunday qilib, agar birinchi qator va birinchi ustunda bir xil miqdordagi plitkalar mavjud bo'lsa va boshqa plitkalar bo'lmasa, u holda pozitsiya umidsizdir. Qaysi pozitsiyalarni bunday pozitsiyaga o'zgartirish mumkin?
- Agar pozitsiyada satrlar va ustunlar bir xil bo'lsa, boshqa joyda qancha kafel bo'lishidan qat'i nazar: (2,2) ga harakat faqat birinchi qator va teng uzunlikdagi birinchi ustunni qoldiradi, raqibga hech qanday imkoniyat qoldirmaydi. Shunday qilib, bir pozitsiya chap ustunida kabi yuqori qatorda kafel bir xil soni bor bo'lsa, keyin siz (2,2) da va o'yin g'alaba qozonish.

Chompni yaxshi uchun pozitsiyalarni g'alaba qozonish va yo'qotish haqida bilish kerak. G'alaba qozongan pozitsiya , agar boshqa tomon nima qilishidan qat'i nazar, optimal o'ynasa, g'alabani kuchaytirish mumkin. Yo'qotilgan pozitsiya , agar boshqa tomon maqbul o'ynasa, hech qanday imkoniyat yo'q. Quyidagi fikrlar matematikada ta'rif deb ataladigan narsalardir. Chompda yo'qotish va g'alaba qozonish pozitsiyalari ushbu 3 ball orqali belgilanadi:
1. Agar faqat bitta kafel qolgan bo'lsa (yuqori chap burchakda), u holda bu yo'qotilgan pozitsiya.
2. Raqib uchun yo'qotish pozitsiyasiga olib keladigan harakat mavjud bo'lsa, pozitsiya, g'alaba qozongan pozitsiyadir.
3. Agar har bir harakat raqib uchun g'alaba qozongan pozitsiyaga olib kelsa, pozitsiya yutqizuvchi pozitsiyadir.
Bir qarashda yuqoridagi fikrlar foydasiz ko'rinishi mumkin, chunki g'alaba qozongan pozitsiyalar yo'qotish bilan izohlanadi, yo'qotilgan pozitsiyalar esa g'alaba qozonish bilan izohlanadi. Shunga qaramay, ta'rif harakatlarni bajarishga asoslangan va harakatlarning har bir ketma-ketligi oxir-oqibat 1 nuqtasiga ko'ra yo'qotilgan pozitsiyaga olib keladi.

Hech bir tomon g'alaba qozona olmaydigan pozitsiyalar bo'lishi mumkinmi? (qiyin)
- Biz kichik teoremasni shakllantirishimiz va isbotlashimiz mumkin. Isbot bizga mukammal o'yin kuchiga qanday erishish yo'lini ko'rsatadi. Isbot indüksiyon orqali isbot bo'lib, u erda biz isbotlamoqchi bo'lgan bayonot bir kafel uchun haqiqat ekanligini ko'rsatadi va keyin ko'rsatish, agar u har qanday raqam N kafel uchun to'g'ri bo'lsa, u yana bir kafel uchun ham to'g'ri bo'lishi kerak, ya'ni N + 1 kafel. Bu bayonot N = 1 kafel uchun to'g'ri ekan, u N + 1 = 1 = 2 kafel uchun to'g'ri bo'lishi kerak. Ammo N = 2 uchun to'g'ri bo'lsa, u N + 1 = 2 + 1 = 3 kafel va boshqalar uchun ham to'g'ri bo'lishi kerak; ya'ni kafel har qanday soni uchun.
- Lemma (kichik teorema): Har bir pozitsiya g'olib yoki yutqazuvchi pozitsiyadir.
- Induksiya orqali isbot:
- Indüksiyon bazasi: Agar pozitsiyada faqat bitta kafel bo'lsa, unda bu kafel yuqori chap burchakda bo'ladi va keyin pozitsiya, Chomp qoidasiga ko'ra yo'qotilgan pozitsiyadir (agar faqat N = 1 kafel mavjud bo'lsa, lemma haqiqiy ekanligini ko'rsatadi).
- Indüksiyon gipotezasi: Biz lemma N kafel gacha barcha pozitsiyalar uchun to'g'ri deb taxmin qilamiz, ya'ni bilan pozitsiyalar 1,2,..., N kafel yo g'alaba yoki yo'qotish pozitsiyalar bo'ladi.
- Induksiya bosqichi: Endi biz shuni ko'rsatishni istaymizki, keyin ham N + 1 kafellari bo'lgan barcha pozitsiyalar yo'qotish yoki g'alaba qozonish pozitsiyalari bo'lishi kerak.
- Quyidagi P N+1 kafellari bilan ixtiyoriy holat. Agar P bir harakat bilan qisqartirilsa, yangi pozitsiyada ≤N kafel bo'lishi kerak, shuning uchun induksiya gipotezasiga ko'ra yo'qotish yoki g'alaba qozonish pozitsiyasi. Agar P bir harakatda yo'qotish holatiga qisqartirilishi mumkin bo'lsa, P g'alaba qozongan pozitsiyadir. Agar yo'q bo'lsa, P bir harakatda faqat g'alaba qozongan pozitsiyaga qisqartirilishi mumkin. Ammo agar pozitsiyani faqat g'alaba qozongan pozitsiyaga ko'chirish mumkin bo'lsa, P yo'qotilgan pozitsiyaga ega bo'lishi kerak. Bu P (N + 1 kafellarga ega) g'alaba qozongan yoki yo'qotish pozitsiyasini isbotlaydi. Bu shuni ko'rsatadiki, barcha pozitsiyalar (N + 2, N + 3 bilan,... kafellar) g'alaba qozonish yoki yo'qotish pozitsiyalari.
  
  Isbotning oxiri ∎
- Qo'shimcha izoh: Induksiya bosqichi barcha pozitsiyalar uchun (ba'zi bir hajmgacha) g'alaba qozonish yoki yo'qotish pozitsiyalarini hal qilish usulini taqdim etadi. U quyidagilar bilan belgilanadi:
  
  Biri N = 1 bilan boshlanadi va bu pozitsiyani yo'qotish pozitsiyasi deb belgilaydi. Keyin 2 kafel bilan barcha pozitsiyalarning holatini aniqlaydi, keyin 3 kafel va hokazo, har safar kichik pozitsiyalarning holati haqidagi bilimlardan foydalanib, yangi topilgan yo'qotilgan pozitsiyani ma'lum yo'qotilgan pozitsiyalar ro'yxatiga qo'shib qo'yadi.
- Bu ba'zi bir hajmgacha bo'lgan barcha g'alaba qozonish va yo'qotish pozitsiyalarini topishning juda samarali usuli. Raqamlar hajmi kattalashgani sayin, kompyuter dasturi foydali bo'ladi. Kerakli ingredientlar quyidagicha:
  - samarali kam N kafel barcha postlarni bilishdan N kafel barcha pozitsiyalarini yaratish mumkin tartibi
  - Pozitsiyaning boshqa berilgan lavozimga qisqartirilishi yoki yo'qligini samarali tekshirishi mumkin bo'lgan protsedura.
  Biz bu haqda ko'proq o'ylab ko'rish va ehtimol bunday kompyuter dasturini yozish uchun sizga qoldiramiz.

Qancha yo'qolgan va g'alaba qozongan pozitsiyalar aynan 2 kafel bor?
- Yuqori qatorda 2 kafel, yoki chap ustun bo'ylab ikkita kafel bor faqat ikkita mumkin bo'lgan pozitsiyalar mavjud. Bu ikkala pozitsiyalar ham g'alaba qozongan pozitsiyalardir.

Qancha yo'qolgan va yutgan pozitsiyalar aynan 3 kafel bor?
- aniq 3 kafel bor 3 umumiy mumkin postlar bor. Ular 2 g'alaba qozongan pozitsiyadan va 1 yutqazgan pozitsiyalardan iborat. Ular qaysi pozitsiyalar ekanligini aniqlay olasizmi?

Qancha yo'qolgan va g'alaba qozongan pozitsiyalar aynan 4 kafel bor?
- aniq 4 kafel bor 5 mumkin postlar bor. Bu pozitsiyalarning barchasi g'alaba qozongan pozitsiyalardir.

Qancha yo'qolgan va yutgan pozitsiyalar aynan 5 kafel bor?
- aniq 7 kafel bor umumiy imkoniyati postlar 5 bor. Ushbu pozitsiyalardan 3 tasi yo'qotgan pozitsiyalar va 4 tasi g'alaba qozongan pozitsiyalar. Qaysi biri ekanligini aniqlay olasizmi?

To'rtburchaklar pozitsiyalar g'alaba qozonadi yoki yo'qotadimi?
- Quyidagi lemma bu savolga javob beradi. Isbot mavjudlikning isbotidir. Bu harakat nima ekanligini ko'rsatmasdan faqat g'alaba qozongan harakatning mavjudligini isbotlaydi. Shunga qaramay, lemmani bilish quyida aytib o'tilganidek sizning o'yiningiz uchun foydalidir.
- Leʼmat: 1-kafel pozitsiyasidan tashqari barcha to'rtburchaklar pozitsiyalar g'olib pozitsiyalardir.
- Isbot: Buni haqiqat ekanligini ko'rsatish uchun ikkita mumkin bo'lgan holatni ko'rib chiqishimiz kerak:
  1. Taxta pastki o'ng burchagidagi kafelni olib tashlash g'alaba qozongan harakatdir.
  2. Pastki o'ng burchakdagi kafelni olib tashlash g'alaba qozongan harakat emas.
- Agar 1 holati to'g'ri bo'lsa, demak to'rtburchak g'alaba qozonadigan pozitsiya va bu lemmani qo'llab-quvvatlaydi.
- Agar 1 holati to'g'ri bo'lmasa, unda 2 holatini ko'rib chiqishimiz kerak. Biz ilgari qilgan isbotga ko'ra, pastki o'ng burchakdagi kafelni olib tashlash natijasida paydo bo'lgan pozitsiya g'alaba qozongan pozitsiya bo'lishi kerak, ya'ni u mavjud bo'lgan g'alaba harakatiga ega bo'lishi kerak. Ammo, to'rtburchakdagi har bir harakat pastki o'ng burchakdagi kafelni olib tashlaganligi sababli, 2-harakatdan (g'alaba qozongan harakat) natijasida yo'qotilgan pozitsiya, g'alaba qozongan harakat burchak harakatidan keyin yoki burchak harakati o'rniga o'ynaydi. Bu shuni anglatadiki, g'alaba harakati darhol o'ynalishi mumkin edi, shu bilan to'rtburchaklar pozitsiyasi uchun g'alaba harakati mavjudligini isbotlaydi.
- Isbotning oxiri ∎
- Qo'shimcha izohlar: Lemma g'alaba qozonish harakati nima ekanligini bizga aytmasa-da, to'rtburchaklar pozitsiyalar g'alaba qozonish pozitsiyalari ekanligini bilish foydali bo'ladi. Shuning uchun to'rtburchaklar pozitsiyasini yaratadigan harakat qilmaslik kerak (1x1 holatidan tashqari).

Har qanday kvadrat taxta uchun g'alaba qozongan harakat nima ekanligini aniqlay olasizmi?
- >1 o'lchamdagi barcha kvadratlar uchun yagona g'olib harakat (2,2)ni ko'rsatadi.

Qaysi pozitsiyalar uchun kvadratga o'xshash bir xil harakat g'alaba qozongan harakat?
- Harakat (2,2), shuningdek, 1-qator va 1-ustun bir xil uzunlikka ega bo'lgan har qanday pozitsiyada g'alaba qozongan harakatdir.

Bir pozitsiyada bir nechta g'alaba harakati bo'lishi mumkinmi?
- Ha, pozitsiyada bir nechta g'alaba harakati bo'lishi mumkin. Quyidagi pozitsiyani ko'rib chiqing:
  
  ###
  ##
  #
  
  Ushbu kengash pozitsiyasi amalga oshirilishi mumkin bo'lgan 3 xil g'alaba harakatlariga ega. Ularning nima ekanligini aniqlay olasizmi?

Chompda g'alaba qozonishning umumiy strategiyasi raqibingiz uchun yo'qotilgan pozitsiyalarni yaratishdir, shunda ular hech qanday imkoniyatga ega bo'lmaydi. Shuningdek, raqib biz uchun yo'qotish pozitsiyalariga qaytishi mumkin bo'lgan g'alaba pozitsiyalarini yaratishdan qochishni xohlaymiz.

G'alaba qozonishning kaliti iloji boricha ko'proq yo'qotilgan pozitsiyalarni bilish va raqibingizdan oldin qanday qilib uni yaratishni aniqlashdir. Keling, ma'lum yo'qotish pozitsiyasi bo'lgan quyidagi mumkin bo'lgan kengashni ko'rib chiqaylik:

#######
###
###
#
#
1-rasm

Bir harakatda bu yo'qotilgan pozitsiyaga aylantirilishi mumkin bo'lgan barcha pozitsiyalar qanday?

Yuqoridagi yo'qotilgan pozitsiya quyida + bilan belgilangan har qanday harakat natijasida yuzaga kelishi mumkin:

#######+
###
###
#
#

#######
###+
###
#
#

#######
###
###
#+
#

#######
###
###
#
#
+

2-rasm

Bu harakatlarning barchasi kesilgan burchaklarda joylashgan. Har qanday bunday + harakat ham bilan tasvirlarda quyida paydo bo'lishi mumkin kafel chiqib ketadi ?:

#######+?
###
###
#
#

#######
###+???
###????
#
#

#######
###
###
#+?
#??

#######
###
###
#
#
+
?

3-rasm

+ kafel zarur va ? Kafel majburiy emas. Chap g'alaba qozongan pozitsiyada yuqori qator o'ngga ko'proq '?' bilan o'zboshimchalik bilan uzaytirilishi mumkin, o'ng g'alaba qozongan pozitsiyada esa birinchi ustun o'zboshimchalik bilan pastki tomonga ko'proq '?' bilan uzaytirilishi mumkin. Bu pozitsiyalarning barchasi ham g'alaba qozongan pozitsiyalardir. Agar biz bunday holatda harakat qilish kerak bo'lsa, biz + kafel olamiz, va shuning uchun barcha ? bog'langan kafellar ham olib tashlanadi, natijada biz boshlagan yo'qotish pozitsiyasi.

Ko'proq g'alaba qozonish yoki yo'qotish pozitsiyalari ko'proqmi?
- Har bir yo'qotgan pozitsiya uchun cheksiz ko'p pozitsiyalar mavjud bo'lib, ular bitta harakat bilan bu yo'qotilgan pozitsiyaga aylantirilishi mumkin. Bu cheksiz ko'p pozitsiyalarning barchasi shuning uchun g'alaba qozongan pozitsiyalardir.
- Shuning uchun, yo'qotgan pozitsiyalardan ko'ra ko'proq g'alaba qozonish pozitsiyalari mavjud. Shuning uchun, iloji boricha ko'proq yo'qotgan pozitsiyalarni eslab qolish samarali bo'ladi, qolgan barcha pozitsiyalar g'alaba qozongan pozitsiyalardir.

O'zingiz bilgan yo'qotilgan pozitsiyalar ro'yxatini tuzing va har bir pozitsiyaga tegishli barcha g'alaba qozongan pozitsiyalarni va ularni qanday aniqlashni yozing

Quyidagi misol nimani nazarda tutayotganimizni ko'rsatadi:

Yuqorida ko'rsatilganidek, pozitsiyada faqat 2 satr bo'lsa va yuqori qatorda ikkinchi qatordan bitta kafel ko'proq bo'lsa, quyida ko'rsatilganidek, bu yo'qotilgan pozitsiyadir:

#####
####
Ushbu ma'lum yo'qotish pozitsiyasini olib, biz tegishli g'alaba qozongan pozitsiyalar quyidagilarni aniqlashimiz mumkin:

#####+?
####

#####
####+

#####
####
+???
????

Chap holatda har qanday soni bo'lishi mumkin ? yuqori qatorning o'ng tomonida va o'ng holatda har qanday qator bo'lishi mumkin ? ostida. Biz ushbu g'alaba qozongan pozitsiyalarni qanday aniqlash mumkinligini so'z bilan umumlashtirishimiz mumkin (o'yiningiz uchun eslashingiz kerak):

- Pozitsiya - bu g'alaba qozongan pozitsiyadir
  #####
  ####
- - Agar pozitsiyada faqat ikkita satr bo'lsa va birinchi qator ikkinchi qatordan bir kafel uzunroq bo'lmasa, yoki
- - Agar pozitsiyada ikkidan ortiq satr bo'lsa va birinchi qator ikkinchi qatordan bir kafel uzunroq bo'lsa.
Ammo o'ylab ko'rish uchun ko'p narsa bor. Biz nafaqat bunday g'alaba qozongan pozitsiyalarda to'g'ri o'ynashni xohlaymiz, balki bunday g'alaba pozitsiyalarini yaratadigan harakat qilishdan qochishni ham xohlaymiz. Bu shuni anglatadiki, biz faqat ikki qator qolgan yoki ikkinchi qatorda birinchi qatordan aynan bitta kafel kamroq bo'lgan joyda harakat qilmasligimiz kerak.

Xulosa qilib aytganda, biz yo'qotilgan pozitsiyalarni yaratmoqchimiz, lekin biz yo'qotilgan pozitsiyadan bir qadam narida bo'lgan pozitsiyalarni yaratishdan qochishni ham xohlaymiz.

Yana bir narsani ta'kidlash kerak: yuqorida aytib o'tilgan oyna simmetriyasi tufayli, yuqoridagi barcha izohlar "satr" so'zini "ustun" so'zi bilan almashtirish orqali takrorlanishi mumkin.

Ko'proq yo'qotilgan pozitsiyalarni va ularning tegishli g'alaba pozitsiyalarini to'plash sizga qoladi.

Agar siz yutqazgan pozitsiyada o'ynashingiz kerak bo'lsa-chi?
- Agar siz yo'qotilgan pozitsiyada harakat qilishingiz kerakligini tushunsangiz, unda nazariy jihatdan sizda hech qanday imkoniyat yo'q. Barcha qilishingiz mumkin bo'lgan narsa, raqibingiz keyingi harakatingiz bilan yaratishingiz mumkin bo'lgan pozitsiyalar uchun barcha g'alaba harakatlarini bilmasligiga umid qilishdir. Nima qila olasiz, faqat bir burchakdan bitta kafelni olib tashlash. Bu raqibingizga maksimal o'lchamdagi pozitsiyani beradi va raqibingizga tegishli g'alaba harakatini bilishni qiyinlashtiradi.

Qanday qilib o'zingizning pozitsiyalaringizni yo'qotishni o'rganish mumkin?
- To'liq daraxt qidiruvi deb nomlanuvchi narsani amalga oshirish kerak edi. Birinchi o'yinchi harakatni taxmin qilish bilan boshlaydi, keyin ikkinchi o'yinchi harakatni taxmin qiladi va shunday qilib, bitta o'yinchi, masalan, A o'yinchisi g'alaba qozonguncha davom etadi. Keyin B o'yinchisiga so'nggi harakatni o'zgartirishga ruxsat beriladi va keyingi navbat A o'yinchisida. Agar bir pozitsiyada keyingi o'ynaydigan o'yinchi, masalan, B, harakatlari tugasa, chunki barcha harakatlar yo'qotishga olib keladi, u holda bu yo'qotish pozitsiyasidir va B o'yinchisi bu yo'qotish pozitsiyasiga erishilishidan oldin qilingan so'nggi harakatni o'zgartirishi mumkin.
- Ushbu "daraxt qidiruvi" boshlang'ich pozitsiya yo'qotish pozitsiyasi yoki 1 o'yinchisining qaysi harakati uni yo'qotish pozitsiyasiga aylantirishi aniq bo'lguncha davom etadi.
- Biri ko'p kafel bilan boshlang'ich taxtada buni qilishga harakat qilsa, bu juda uzoq jarayon bo'lishi mumkin. Biroq, biz qanchalik ko'p yo'qotadigan pozitsiyalarni bilamiz, bunday pozitsiyaga erishilguncha harakatlar ketma-ketligi shunchalik qisqa bo'ladi va shu sababli butun qidiruv tezroq amalga oshiriladi. Agar biz barcha yo'qotilgan pozitsiyalarni o'z ichiga olganini bilsak, unda boshlang'ich pozitsiya yo'qotilgan pozitsiyaga tan olinadi yoki uni yo'qotadigan pozitsiyaga kamaytirish uchun faqat bitta harakat kerak bo'ladi.

Kompyuter bilan pozitsiyalarni yo'qotishni qanday o'rganish mumkin?
- "Juda qiyin" qiyinlik darajasida va 8 x 15 dan katta bo'lmagan pozitsiyalarda kompyuter mukammal o'ynaydi, shuning uchun kompyuter harakati natijasida paydo bo'lgan har bir pozitsiyada yo'qotish holati! Juda kichik taxtalardan boshlash va kompyuterga qarshi "Juda qiyin" darajada va kompyuter yaratadigan barcha pozitsiyalarni o'rganish kerak. Har bir bunday pozitsiya uchun sizning har bir harakatingiz kompyuter tomonidan qanday javob berishini o'ylab ko'ring, uni yana kichikroq yo'qotish pozitsiyasiga aylantiradi. Har bir yo'qotilgan pozitsiya uchun ham ko'zgu pozitsiyasi (satrlar, <--> ustunlar) yo'qotilgan pozitsiyadir.
- Optimal birinchi harakat nima?
  - Tanlovda boshlang'ich pozitsiyasi shakarlar to'rtburchak bo'ladi. Yuqorida isbotlanganidek, to'rtburchak g'alaba qozonadigan pozitsiyadir, lekin uni raqib uchun yo'qotish holatiga o'zgartiradigan birinchi harakat nima? Biz kvadrat uchun optimal harakat (2,2) kafel ekanligini ilgari bilib oldik, lekin to'rtburchak kvadrat bo'lmasa nima bo'ladi?
  - Oddiygina "juda qiyin" qiyinlik darajasiga o'ting va kompyuterga birinchi harakatni amalga oshirishga ruxsat bering. To'rtburchak 8x15 dan katta bo'lmasa, kompyuter optimal tarzda o'ynaydi va mukammal birinchi harakatni ko'rsatadi. Turli xil to'rtburchak o'lchamlarini sinab ko'ring va eng maqbul birinchi harakatni eslang, chunki kompyuter o'yini :) tanlov kunlarida mavjud bo'lmaydi.
- Tez orada siz oson va o'rta qiyinlik darajasida mag'lub bo'lasiz.

Pozitsiyalarni yo'qotishning cheksiz oilalari bormi?
- Biz allaqachon yo'qotgan pozitsiyalarning bu ikki oilasini uchratdik. N - har qanday musbat butun son.
- Mana ko'proq:

O'yinga o'rnatilgan kompyuter o'yinchisi turli xil o'yin darajalari uchun turli texnikalardan foydalanadi.

- Oson - Har burilishda tasodifiy harakatlar qiladi. Agar oddiy g'alaba qozongan pozitsiya aniqlansa, u o'sha yerga ko'chiradi.
- O'rta - Hali ham tasodifiy harakat qiladi, lekin g'alaba qozonish va yo'qotish pozitsiyalarini ko'proq biladi. Raqibga oddiy g'alaba harakatiga kirish imkonini beradigan harakatlardan qoching.
- Qattiq - G'alaba qozonish pozitsiyalari haqida yanada katta bilimga ega. Raqibni o'zlari yo'qotish harakatini amalga oshirishga majbur qiladigan harakatlar uchun taxtani faol ravishda qidiradi.
- Juda qiyin - Har doim bir 8x15 hajmi to'rtburchak ichiga mos har qanday pozitsiya uchun optimal harakat qiladi.
Qiyinlik darajasi qanchalik yuqori bo'lsa, kompyuterni yo'qotish holatiga majbur qilish shunchalik qiyin bo'ladi. Har bir daraja oldingi darajaga qaraganda ko'proq g'alaba va yo'qotish pozitsiyalarini biladi va qiyinchilik qanchalik qiyin bo'lsa, kompyuterni yo'qotish holatiga majbur qilish uchun bilishingiz kerak bo'lgan g'alaba va yo'qotish pozitsiyalari shunchalik ko'p bo'ladi.

Quyidagi izohlar Chompda kuchliroq bo'lishga yordam bermaydi, ammo ular ba'zi qiziqarli faktlarni taqdim etadi va bizga induksiya orqali isbotlarni amalda qo'llash uchun yana bir imkoniyat beradi.

Bo'sh taxtani o'z ichiga olgan qancha turli pozitsiyalar P satrlari va Q ustunlari bilan to'rtburchakka mos keladi?
- Agar bo'sh to'rtburchakni qo'shsak, quyidagi formuladan foydalanib mumkin bo'lgan pozitsiyalarning umumiy sonini hisoblashimiz mumkin: \[\frac{(P+Q)!}{P!Q!}\]Siz bu raqamni kichik P va Q uchun hisoblab chiqa olasizmi va uning to'g'ri ekanligini tekshira olasizmi?
- Kursiv formuladan birinchi olinishi
  - f(P,Q) PxQ o'lchamidagi to'rtburchakdagi pozitsiyalar soni bo'lsin. Muhim kuzatuv shundaki, barcha pozitsiyalar zinapoya shakliga ega, bu erda har bir qatorda yuqoridagi qator kabi ko'p kafel mavjud, lekin ko'p emas.
  - Avval bu zinapoyalarning barchasini ifodalashimiz mumkin bo'lgan usuldan boshlaylik. Zinapoyani osongina yaratishning bir usuli - taxta pastki chap burchagidan boshlash va o'ng yoki yuqoriga harakat qilishdir. Taxtaning o'ng yuqori burchagiga etib borguncha bu to'g'ri va yuqoriga harakatlarni davom ettirish mumkin. Biz buni (P,0) dan (0,Q) ga olish uchun tanlagan yo'l deb ataymiz.
  - Pozitsiyalar soni (P,0) dan (0,Q) gacha bo'lgan yo'llar soni bilan bir xil, agar biri faqat yuqoriga yoki o'ngga harakatlanishga ruxsat berilgan. (P,0) dan (0,Q+1) ga o'tadigan yo'llarning f (P,Q+1) soni (P,0) dan (0,Q) gacha, keyin esa (0,Q+1) + (P,0) dan (1,Q) ga o'tadigan yo'llarning f (P-1,Q) soni va keyin (1, Q+1) va (0,Q+1) va boshqalar. Tegishli formula quyidagicha:\[f(P,Q+1) = f(P,Q) + f(P-1,Q) + f(P-2,Q) + \ldots + f(1,Q) + f(0,Q)\]
  - Endi biz ushbu formulani olamiz va P ni P + 1 bilan almashtiramiz. Agar biz P + 1 ni P o'rniga formulaga qo'plasak, quyidagilarni olamiz: \[f(P+1,Q+1) = f(P+1,Q) + f(P,Q) + f(P-1,Q) + \ldots + f(0,Q)\] \[f(P+1,Q+1) = f(P+1,Q) + f(P,Q+1)\]Ushbu yangi hosiladan biz formulani aniqlashimiz mumkin \(f(P,Q) = f(P,Q-1) + f(P-1,Q)\) qaerda \(f(P,0) = 1\) va \(f(0,Q) = 1\).
- Kursiv formulaning muqobil shakli
  - Ko'pincha kombinatorial muammolarda hisoblashning bir necha yo'li mavjud. Quyidagi hosila formulani olishning boshqa va yanada oqlangan usulini beradi.
  - Biz ilgari ishlatgan bir xil namoyishdan foydalanamiz, bu erda bizni (P,0) dan (0,Q) gacha olib boradigan yo'llarning umumiy sonini topishni xohlaymiz. Biz bu yo'llarni ikki guruhga ajratishimiz mumkin.
  - Birinchi harakat bilan boshlangan yo'llar o'ngga (P,0) dan (P,1) gacha. Biz bu guruhda (P,1) dan (0,Q) gacha bo'lgan f(P,Q-1) yo'llarining jami bo'lishini bilamiz. Buni bilamiz, chunki o'ngga harakatlantirilgandan keyin qolgan to'rtburchak P x (Q-1) o'lchamiga ega.
  - Boshqa guruh - bu birinchi harakat bilan boshlanadigan yo'llar (P,0) dan (P-1,0) ga bir harakatga ko'tariladi. Ushbu guruhda biz f (P-1, Q) umumiy yo'llar borligini bilamiz, chunki natijada paydo bo'lgan to'rtburchak (P-1) x Q o'lchamda bo'ladi.
  - Shuning uchun, har qanday mumkin bo'lgan yo'l ushbu ikki guruhdan biriga kiradigan bo'lsa, yo'llarning umumiy soni ushbu guruhlarning yig'indisidir. Bu bizga bir xil formulani beradi \(f(P,Q) = f(P,Q-1) + f(P-1,Q)\).
- Aniq formuladan olinishi
  - Yo'llarni pastki o'ng burchakdan boshlash o'rniga, to'rtburchakni (P,0) nuqtasi tepada bo'lishi uchun aylantiraylik. Endi yo'llarni quyidagi diagramma orqali tasavvur qilishimiz mumkin:
  - Ushbu turdagi diagramma daraxt deb nomlanadi. Ushbu naqsh (P,0) dan (0,Q) ga o'tgunimizcha takrorlanishda davom etadi. Bu sodir bo'lganda, daraxtda taxta bo'ylab borishi mumkin bo'lgan har qanday yo'lni o'z ichiga oladi.
  - Ushbu daraxtdagi yuqori (P,1) tugunidan (I,J) ga o'tish yo'llari soni (I-1,J) ga borish yo'llari soni va keyin o'ng tomonga (I,J) borish yo'llari soni va (I,J-1) ga borish yo'llari soni va keyin chapga (I,J) ga tushish. Boshqacha qilib aytganda, bu Paskal uchburchagidagi raqam.
  - Paskal uchburchagidagi har bir son yuqoridagi ikki sonning yig'indisidir. Chap ustundagi raqamlar bo'sh taxta bilan 0 dan boshlab taxta satrlarini sanab chiqadi. Uchburchak ostidagi raqamlar chap tomondan ham 0 dan boshlanadigan pozitsiyani anglatadi. K pozitsiyasidagi N-chi qatordagi son ga teng \({N \choose K} = \frac{N!}{(N-K)!K!}\).
  - Biz (P,0) dan (0,Q) ga o'tish yo'llari soni bo'lgan f (p,q) sonini topishni xohlaymiz. Buning uchun yuqoridan P marta pastga o'ng va Q marta chapga o'tish kerak. Yuqorida biz aniqlagan daraxt tuzilishidan foydalanib, bu (0,0) dan (P,Q) ga daraxtda faqat chap va o'ngga borish bilan bir xil.
  - Biroq, bu bizni P + Q qadamlarini bajarishga olib keladi, shuning uchun biz daraxtda P + Q qatorida bo'lamiz. Q marta o'ngga ko'chirganimizni bilganimiz uchun, bu holatda Paskal uchburchagidagi son \({P+Q \choose Q} = \frac{(P+Q)!}{P!Q!}\).
- Induksiya bilan aniq formulani isbotlash
  - Biz quyidagi formulalar ekvivalentligini ko'rsatmoqchimiz. \[f(P,Q) = \begin{cases}1 & for & P=0 \\1 & for & Q=0 \\f(P,Q-1) + f(P-1,Q) & for & \text{P>0 and Q>0}\end{cases} = \Bigg\{{P+Q \choose Q} = \frac{(P+Q)!}{P!Q!}\]
  - Indüksiyon bazasi: Biz allaqachon formula ta'rifi bo'yicha f(0,0) = 1 ekanligini bilamiz. Agar biz P = 0 va Q = 0 ni formulaga qo'shib qo'ysak, biz olinadi \(\frac{(0+0)!}{0!0!} = \frac{0!}{1} = 1\). Bu shuni ko'rsatadiki, tayanch formulalar ekvivalent bo'lib, bu induksiya bazasini tugatadi.
  - Indüksiyon gipotezasi: Formulalar P,Q ning barcha qiymatlari uchun P+Q = N bilan teng deb faraz qilaylik.
  - Indüksiyon bosqichi: Indüksiyon gipotezasidan foydalanib, P+Q=N+1 bilan barcha P,Q qiymatlari uchun ekvivalentlikni isbotlaymiz. P+Q=N+1 bilan P,Q har qanday qiymatlar uchun 3 holatlar mavjud:
  - Holat 1:
  - Holat 2:
  - Holat 3: \(P,Q > 0\) \[ \begin{align} f(P,Q) &= f(P,Q-1) + f(P-1,Q)\qquad\qquad (+)\\ &= \frac{(P+Q-1)!}{P!(Q-1)!} + \frac{(P-1+Q)!}{(P-1)!Q!}\\ &= \frac{(P+Q-1)!Q}{P!(Q-1)!Q} + \frac{(P-1+Q)!P}{(P-1)!PQ!}\\ &= \frac{(P+Q-1)!}{P!Q!} (Q+P)\\ &= \frac{(P+Q)!}{P!Q!} \end{align} \]
  - (+): Agar P + Q = N + 1 bo'lsa, unda P + Q-1 = N, ya'ni induksiya gipotezasi bilan.
    f(P,Q-1) = \(\frac{(P+(Q-1))!}{(P!(Q-1)!)}\), va shunga o'xshash f(P-1, Q) uchun
  - Bu shuni ko'rsatadiki, f(P,Q) uchun ikkita formula tengdir.
  - Isbotning oxiri. ∎

P satrlari va Q ustunlari qancha turli pozitsiyalarga ega?
- P-1 satrlari va Q-1 ustunlari bilan to'rtburchakka mos keladigan barcha pozitsiyalar uchun bir xil formulani ishlatish mumkin, bu f (P-1,Q-1).

Ko'proq g'alaba qozonish yoki yo'qotish pozitsiyalari ko'proqmi?

# Muhim	# pozitsiyalar	# yo'qolgan pozitsiyalar soni	Magʻlub boʻlganlar soni
20	627	42	6.69
30	5604	220	3.92
40	37338	1022	2.73
50	204226	4976	2.43
60	966467	20106	2.08
70	4087968	76688	1.87
80	15796476	270142	1.71
90	56634173	897964	1.58

Caribou gipotezasi

Ilgari biz har bir pozitsiyaning g'alaba qozonish yoki yo'qotish pozitsiyasi ekanligini ko'rsatdik. Isbot bizga barcha pozitsiyalar uchun yo'qotish yoki g'alaba qozonish uchun bosqichma-bosqich aniqlash uchun to'g'ridan-to'g'ri usulni berdi. Maxsus narsa shundaki, bu usul hech qanday qidiruvga muhtoj emas edi (harakatlarni sinab ko'rish). Bu bizga "Eratosfen elagini" eslatdi barcha bosh sonlarni qandaydir o'lchamgacha aniqlash.

Eratosfenning eroq haqida o'qing, masalan, Internetda
- N² o'lchamigacha bo'lgan barcha bosh sonlarni topish uchun, bu erda N ba'zi bir butun son, quyidagilar bajariladi:
- - A: p = 2 bosh sonidan boshlang.
  - B: N 2 gacha bo'lgan p-ning barcha ko'paytmalarini kesib^tashlang.
  - C: Hali chizilmagan keyingi eng katta raqam > p ni toping. Agar bu raqam N > bo'lsa, algoritm to'xtaydi. Aks holda, bu raqamni p raqamiga qo'ng'iroq qiling va B bosqichida davom eting.
- N² gacha bo'lgan barcha raqamlar chizilmagan, barcha bosh ^sonlar< N 2. Ushbu algoritmning simulyatsiyasini topish mumkin https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes

Bu o'xshashlik bizni bosh sonlar va yo'qotilgan pozitsiyalar o'rtasidagi ko'proq o'xshashliklar haqida o'ylashga ilhomlantirdi. Bu "Bosh sonlar teoremasi" ga o'xshash pozitsiyalarni yo'qotish uchun gipotezaga olib keldi. Mana tafsilotlar.

Jadval: Chomp va bosh sonlarda yo'qotilgan pozitsiyalar o'rtasidagi o'xshashliklar:

Raqamlar	Chomp
Cheksiz ko'p butun sonlar mavjud.	Chomp pozitsiyalari cheksiz ko'p.
Asosiy sonlar va faktorlashtiriladigan sonlar mavjud.	Yo'qotgan pozitsiyalar va g'alaba qozonish pozitsiyalari mavjud.
Cheksiz ko'p bosh sonlar mavjud.	Juda ko'p yo'qotilgan pozitsiyalar mavjud.
Faktorizatsiya qilinadigan son - bu bosh son va sonning ko'paytmasi.	G'alaba qozongan pozitsiya - bu yo'qotilgan pozitsiyaning va pozitsiyaning yig'indisi (chunki harakatda kesilgan narsa zinapoya shakliga ega va shuning uchun pozitsiyadir).
Bosh son ma'lum bo'lgandan so'ng, bir zumda cheksiz ko'p faktorizatsiya qilinadigan sonlarni (bosh sonning barcha ko'paytmalari) bilib olinadi.	Yo'qotilgan pozitsiya ma'lum bo'lgandan so'ng, darhol cheksiz ko'plab g'alaba qozongan pozitsiyalarni bilib oladi (burchak to'rtburchaklarini to'ldirish natijasida paydo bo'lgan barcha pozitsiyalar, shu jumladan yuqori qator va chap ustun bo'ylab cheksiz uzun bo'lganlar).
Katta sonning katta bosh songa qaraganda kichik bosh songa bo'linishi ehtimoli ko'proq.	Katta pozitsiya, katta yo'qotish pozitsiyasiga qaraganda kichik yo'qotilgan pozitsiyaga qaytarilishi ehtimoli ko'proq.
N sonining bosh son ekanligini aniqlash uchun barcha bosh sonlarni P ning kvadrat ildizigacha bilish juda samarali. Keyin, N ni bo'linish orqali, ya'ni N / P sinov bo'limi bilan P-ga qisqartirish mumkinligini tekshirish mumkin.	P pozitsiyasining yo'qotilgan pozitsiya ekanligini aniqlash uchun P tarkibidagi barcha yo'qotilgan pozitsiyalarni bilish kerak. Keyin P-ni bir harakatda L ga kamaytirish mumkinligini samarali tekshirish mumkin.
"Eratosfen elagi" ba'zi N soniga qadar bo'lgan barcha bosh sonlarni aniqlashning samarali usuli, shuningdek, berilgan sonning bosh son ekanligini tekshirishning samarali usuli. Ushbu algoritm yuqorida tavsiflangan.	"Eratosfen elagi" ga o'xshab, yo'qotilgan pozitsiyadan boshlanadi {1} va bir harakatda bu yo'qotish pozitsiyasiga tushadigan barcha g'alaba qozongan pozitsiyalarni kesib tashlaydi. Keyin yana bir kafel bilan barcha pozitsiyalarni tekshiradi. Chizilgan barcha pozitsiyalar yo'qotilgan pozitsiyalardir.
Elak algoritmining qolgan samarasizligi faktorlanadigan raqamlarni qayta-qayta kesib tashlashdan iborat.	Elak algoritmining qolgan samarasizligi g'alaba qozongan pozitsiyalarni qayta-qayta kesib o'tishdan iborat.
Bosh sonlarning zichligi ularning hajmi bilan kamayadi; ya'ni nisbati (# bosh sonlarning ba'zi bir butun songacha N) / N N oshishi bilan kamayadi.	Yo'qotilgan pozitsiyalarning zichligi ularning hajmi bilan kamayadi; ya'ni nisbati (# N kafel bilan yo'qotilgan pozitsiyalar) / (# N kafel bilan barcha pozitsiyalar) N oshishi bilan kamayadi. (Qiyinchilik: Ushbu nisbatning N-ga bog'liqligi formulasi nima va bu bosh sonlarning zichligi formulasi bilan qanday taqqoslanadi?).
Bosh sonlar teoremasi: (# primes ≤ N) / (N / log(N)) → 1 as N → infinity.	Shunga o'xshash gipoteza: (# N kafel bilan pozitsiyalarni yo'qotish) / ((# N kafel bilan pozitsiyalar) / log(# N kafel bilan pozitsiyalar)) → 0.283... N → cheksizlik sifatida.

Jadval: Chomp va bosh sonlarda yo'qotilgan pozitsiyalar o'rtasidagi farqlar:

Raqamlar	Chomp
Barcha to'liq sonlar to'plami to'liq tartibli to'plamdir; ya'ni har qanday ikki son orasida qaysi biri kattaroq ekanligini biladi.	Barcha Chomp pozitsiyalari to'plami qisman tartibli to'plamdir. Pozitsiyalar boshqa pozitsiyalarda to'liq bo'lishi mumkin, lekin kerak emas.
Sonni asosiy omillaridan biriga kamaytirish operatsiyasi bo'linishdir.	yo'qotgan pozitsiyaga bir pozitsiyani kamaytirish uchun operatsiya kafel olib tashlash.
Raqamni bir o'lchovli raqam chizig'ida chiziq segmenti sifatida tasavvur qilish mumkin.	Pozitsiya, o'lchamlari bo'yicha saralangan raqamlar ro'yxati orqali aniqlanadi va shuning uchun 2D ob'ektdir.

Ochiq savollar:

Gipoteza (# N kafel bilan pozitsiyalarni yo'qotish) / ((# N kafel bilan pozitsiyalar) / log(# N kafel bilan pozitsiyalar)) 0.283 → ... N kabi → cheksizlik to'g'rimi?

Buni isbotlay olasizmi? (Biz hali qila olmaymiz :-) )

Yuqorida o'ynalgan Chomp o'yini 2D Chompning versiyasidir. Bu kengash kengligi va balandligiga, faqat 2 o'lchamli, degan ma'noni anglatadi.

3D Chompning versiyasini tasavvur qila olasizmi?
- O'yinga yangi o'lcham qo'shishni tasavvur qilishning eng oddiy usuli - taxtaga uchinchi o'lchamni qo'shish. Faqat kenglik va balandlik o'rniga, yangi taxta uzunlik, kenglik va balandlikka ega bo'ladi. Agar zar kabi uchun kichik kublar bo'lsa, ular quyidagi rasmda ko'rsatilganidek ushbu 3D o'yinni mumkin edi.
- Harakat qilayotganda, tanlangan kubni, shuningdek, tanlangan kubning chap, yuqori va yuqori qismidagi har bir kubni olib tashlaydi. Namunaviy harakat rasmda sariq rangda ta'kidlangan, bu ham rasmdagi barcha yashil kafellarni olib tashlaydi. Rasmda qizil kafel bilan ko'rsatilgan so'nggi kafelni olgan shaxs o'yinni yo'qotgan o'yinchidir.
- O'yinni haqiqiy kublar bilan o'ynashni osonlashtirish uchun, kublarni poyabzal qutisining burchagi kabi burchakka itarish mumkin, shunda qizil kafel qutining eng burchagida bo'ladi va faqat boshqa barcha kublar olib tashlangandan so'ng kirish mumkin. Qutini ishlatish kerak emas, lekin u kublarni barqarorlashtiradi va butun strukturani ag'darib tashlamasdan kubni olib tashlashni osonlashtiradi.

Chompni yanada ko'proq o'lchamlarda haqida nima deyish mumkin?
- Ilgari biz Chomp o'yiniga yangi o'lcham qo'shish etarlicha oson ekanligini aniqladik. Agar kimdir Chompni 3D-dan ham yuqori o'lchamda o'ynashni istasa, ular Chomp taxtasiga yangi o'lchamlarni qo'shishda davom etadilar. Biroq, 3D-dan keyin Chomp taxtasini bloklardan foydalangan holda simulyatsiya qilishning imkoni yo'q. Biroq, qalam va qog'oz yordamida chomp o'yinini simulyatsiya qilishning bir usuli mavjud va bu usul bizga o'yinni faqat 2D yoki 3D emas, balki har qanday o'lchamda o'ynashga imkon beradi.
- Biz qog'ozda 2D Chomp o'yinini o'ynashdan boshlaymiz. O'yinni simulyatsiya qilishning bir usuli avval faqat 2 xil asosiy omillarga ega bo'lgan raqamni tanlashdir. Masalan, 72 = 2^{3 x} 3². Keyinchalik, ushbu sonning barcha omillarini quyida ko'rsatilganidek, to'rtburchak shaklida yozamiz.
- 72 36 18 9
  24 12 6 3
  8 4 2 1
- Har qanday o'ng qo'shni son 2 omilga kichikroq va ostidagi har qanday qo'shni raqam 3 omilga kichikroq. Ushbu kengashda harakat qilish uchun bir raqam tanlanadi. Keyin siz ushbu raqamni har qanday omillar bilan birga olib tashlaysiz. Kim 72 raqamini olgan bo'lsa, o'yinda yutqaziladi.
- Katta boshlang'ich to'rtburchakga ega bo'lish uchun 2^P x 3^Q formulasidan foydalanib katta sonni topish mumkin. P va Q ni katta raqamlar bilan almashtirish orqali 2D Chomp uchun katta va katta taxtalar bo'ladi.
- Qanday qilib ushbu simulyatsiyani yuqori o'lchamlar uchun umumlashtirish mumkin?
  - Chompning ushbu qalam va qog'oz versiyasini 2D-dan 3D-ga kengaytirish uchun boshlang'ich raqamni topish uchun ishlatiladigan formulani kengaytirish kerak. Faqat 2 xil bosh omilga ega bo'lgan sonni tanlash o'rniga, 3 xil bosh omilga ega bo'lgan sonni tanlash mumkin. Ushbu raqamni topish uchun yangi formuladan foydalanishimiz mumkin, ya'ni quyidagicha: 2^P x 3^Q x 5^R. Keyinchalik, avvalgidek bir xil usullardan foydalanib, o'yinni 3 o'lchovda simulyatsiya qilish mumkin. Yanada katta o'lchamlarga o'tish, siz xohlagan o'lchamlar soniga qarab, formulaga yangi bosh sonlarni qo'shishni talab qiladi.