بسته بندی^©

آنچه به نظر می رسد مفیدتر است این است که در مورد بخش پذیری اعداد، به ویژه بخش پذیری بر 2 فکر کنید. این موضوع نظریه اعداد است. چیزهایی که روی هم قرار می دهیم اشیاء هندسی هستند، اما این بدان معنا نیست که دانش هندسی برای حل پازل ها مورد نیاز است. از هندسه باید بدانیم مساحت یک مربع یا مستطیل چقدر است ، اما نه بیشتر.

برای برخی از پازل ها، فکر کردن در مورد تقارن نیز بسیار مفید است.

در اینجا چند نکته وجود دارد:

• یک مسئله سخت را به موارد ساده تر، یعنی به اهداف فرعی تقسیم کنید. به عنوان مثال، برای پر کردن کل ظرف، باید هر لایه را پر کرد.
• قطعات را به صورت متقارن مرتب کنید، به خصوص اگر ظرف متقارن باشد مانند یک مکعب 3×3×3 یا ظرف مربع شکل 1×7×7.
• از اطلاعات داده شده نهایت استفاده را ببرید. اندازه قطعات چقدر است؟ چند نفر از آنها شکل یکسانی دارند؟

بقیه این "غذای فکر" با هدف حل همه پازل ها بدون آزمون و خطا، در عوض با ارائه سؤالات ساده و پاسخ دادن به آنها است.

یکی از اشکالی که در کنار هم قرار می گیرند تا جامد بزرگتر را تشکیل دهند.

یک قطعه عجیب قطعه ای است که طول آن همه عجیب و غریب است، مانند یک قطعه 1×1×1 یا یک قطعه 1×3×5.

یک قطعه حتی اگر حداقل دو طول زوج داشته باشد، مانند 1×2×4 یا 2×2×2.

آیا همه قطعات زوج هستند یا فرد؟

مکعب یک منشور مستطیلی است. ما از کلمه "ظرف" برای اشاره به پوسته خالی مکعب استفاده می کنیم. ما از "مکعب" به عنوان محتوای ظرف یاد می کنیم. یک ظرف باید با قطعات پر شود و یک مکعب از قطعات ایجاد می شود.

لایه برشی به ضخامت 1 در جهت موازی با صورت ظرف است. یک ظرف 3 & times4 & times5 دارای 3 لایه با اندازه 4 & times5 ، 4 لایه از اندازه 3 & times5 و 5 لایه از اندازه 3 & times4.

یک کانتینر 1×5×7 چند لایه دارد؟

به طور خاص، یک مکعب 1×1×1، نه یک مکعب بزرگتر. یک قطعه 1×1×1 از 1 مکعب تشکیل شده است، در حالی که یک قطعه 1×1×3 از 1 &ضربدر 3 مکعب تشکیل شده است.

چند قطعه متصل به یکدیگر یک بلوک ساختمانی را تشکیل می دهند. بلوک های ساختمانی جالب تقارن خواهند داشت. برای پازل های سخت تر، چندین بلوک ساختمانی یکسان یا آینه یکسان به علاوه یک قطعه مرکزی ظرف را پر می کند.

نه. یک قطعه 1×2×2 از تعداد زوج مکعب تشکیل شده است. بنابراین، هر تعداد قطعات 1×2×2 با هم تعداد مکعب زوجی خواهند داشت. از آنجایی که یک مکعب 3×3×3 از تعداد فرد مکعب تشکیل شده است، نمی توان آن را به این روش تشکیل داد.

در چند بخش بعدی، بررسی خواهیم کرد که چگونه تقسیم پذیری، به ویژه بر 2، تعیین می کند که چگونه قطعات باید برای حل معماهای خاص قرار گیرند.

پاسخ باز هم منفی است. مساحت یک لایه که می تواند توسط یک قطعه اشغال شود، مساحت یکی از وجوه قطعه است، درست است؟

چهره یک قطعه 1×2×2 چیست؟

نواحی این چهره ها چیست و مناطق چه وجه مشترکی دارند؟

آیا این برای همه قطعات زوج صادق است؟

ما یاد گرفتیم که مکعب ها با طول اضلاع عجیب و غریب را نمی توان فقط از قطعات زوج تشکیل داد. لایه ای با مساحت فرد نیز نمی تواند با قطعات زوج پر شود. بنابراین، پازل "3×3×3 2" دارای چند قطعه 1×1×1 است که قطعات عجیب و غریب هستند.

در اینجا یک سوال مفید دیگر وجود دارد که باید در نظر بگیرید:

آیا یکی از دو نوع قطعه (1×1×1 و 1×2×2) "گرانبها" تر از دیگری است؟

بله! سه قطعه 1 & times 2 & times5 را می توان در کنار هم قرار داد تا شکل 1 & times6 & times5 را تشکیل دهد (3 & بار 2 = 6). سپس می توانیم یک شکل دوم 1×6×5 ایجاد کنیم و آنها را در شکل 1×6×10 ترکیب کنیم. در نهایت، دو شکل 1×6×10 را می توان در کنار هم قرار داد تا یک مکعب 2×6×10 را تشکیل دهد.

اشاره

نکته دیگری؟

پاسخ

فرض کنید ما فقط قطعاتی با اندازه x & ضربدر y & z داریم. سپس ساخت مکعب X & ضرب Y و Z در صورت وجود اعداد صحیح مثبت A، B، C امکان پذیر است به طوری که Ax، By و Cz به ترتیب برابر X، Y و Z باشند.

در این مورد از چند قطعه استفاده خواهد شد؟

چرا Ax، By و Cz به هر ترتیبی می توانند برابر با X، Y و Z باشند؟

نه. اگر همه قطعات 1×2×3 در یک جهت جهت گیری شوند، مکعب دارای اندازه A & times (B & times 2) و بار (C & times 3) خواهد بود. اما قطعات می توانند جهت گیری متفاوتی داشته باشند و همچنان یک مکعب را تشکیل دهند. به عنوان مثال، قطعات 1×2×3 می توانند یک مکعب 1×5×6 را تشکیل دهند، حتی اگر 1، 5 و 6 به هیچ ترتیبی برابر با A، B & ضربدر 2 و C & ضربدر 3 نباشند. مثال دیگر پازل "1×7×10 1" است که از قطعات 1×2×5 تشکیل شده است.

چه رابطه ای بین طول قطعه و طول مکعب در این دو مثال وجود دارد؟

می توان این عملیات را به هر ترتیبی تکرار کرد، ابتدا یک مکعب از یک قطعه تولید کرد و سپس از مکعب به عنوان یک "قطعه" برای تولید یک مکعب بزرگتر استفاده کرد. ما قبلا بحث کردیم که چگونه یک مکعب 2×6×10 را می توان از قطعات 1×2×5 تشکیل داد. در این حالت فقط یک عملیات مورد نیاز است، ضرب در 2، 3 و 2، به ترتیب: (1، 2، 5) → (2 & ضربدر 1، 3 & ضربدر 2، 2 و ضربدر 5) = (2، 5، 10).

بنابراین، قطعاتی با اندازه x & برابر y & بار z نه تنها می توانند مکعب هایی با اندازه Ax & times By & times Cz بسازند، بلکه به عنوان مثال، با اندازه x & times (y + z) و زمان LCM(y,z) نیز می توانند بسازند، که در آن LCM(y,z) کمترین مضرب مشترک y و z است. قرار دادن چندین مورد از این بلوک های سازنده در کنار هم مکعب هایی با اندازه Ax & ضربدر B(y + z) + C(LCM(y,z)) می دهد.

خیر، زیرا 3 بر 2 بخش پذیر نیست.

ما قبلا مشاهده کردیم که هر قطعه می تواند یک مکعب تشکیل دهد که طول آن چند برابر طول قطعه باشد. به نظر می رسد که طول هر مکعب که توسط قطعات هارمونیک یکسان تشکیل شده است باید چند برابر طول قطعات باشد. یعنی اگر یک قطعه هارمونیک دارای طول x ، y و z باشد ، هر مکعب تشکیل شده از کپی های این قطعه باید یک طول قابل تقسیم بر x ، دیگری بر y و سومی قابل تقسیم بر z داشته باشد. در حالی که این یک بیانیه ساده است، اثبات آن به مفاهیمی فراتر از محدوده این وب سایت نیاز دارد. پیوند به اثبات را می توانید در بخش "قدردانی" بیابید.

چگونه این واقعیت با چهار عملیاتی که در بالا مورد بحث قرار گرفتیم سازگار است؟

در نتیجه، هر مکعب تشکیل شده از قطعات هارمونیک می تواند همه قطعات را در یک جهت داشته باشد. بنابراین ، اگر می خواهیم از قطعات هارمونیک یکسان یک مکعب تشکیل دهیم ، کافی است سعی کنیم همه آنها را رو به یک جهت مرتب کنیم. اگر این امکان پذیر نباشد، مکعب به هیچ وجه نمی تواند تشکیل شود.

از آنجایی که یک قطعه 1×2×2 هارمونیک است، هر مکعبی که از کپی های این قطعه تشکیل شده است باید دارای طول A، B و ضرب 2 و C & ضربدر 2 برای برخی از اعداد صحیح A، B و C باشد. تصویر زیر یک مکعب 5×4×4 را نشان می دهد که توسط قطعات 1×2×2 تشکیل شده است که همگی جهت یکسانی دارند.

مقادیر A، B و C چیست؟

هنگام بسته بندی با قطعات هارمونیک، آیا قطعات باید در یک جهت قرار گیرند؟

هنگام کار با یک قطعه غیر هارمونیک x & times y & times z، برخی از مکعب ها وجود دارند که می توانند تشکیل شوند که اندازه آنها Ax × By & Times Cz برای هر عدد صحیح A، B، C نیست. به عنوان مثال، یک مکعب 1×5×6 را می توان از قطعات 1×2×3 ایجاد کرد. این نتیجه عملیات سوم است، همانطور که قبلا بحث شد.

توجه به این نکته ضروری است که تعداد مکعب ها در مکعب همیشه باید بر تعداد مکعب های قطعه تقسیم پذیر باشد. هنگامی که طول مکعب هر کدام مضربی از طول متفاوت قطعه نباشد، یکی از طول مکعب ها به دلیل روش های سوم و چهارم، یک مضرب مشترک با حداقل 2 طول قطعه خواهد بود. از این واقعیت می توان برای تعیین اینکه آیا مکعب های خاصی می توانند از قطعات غیر هارمونیک تشکیل شوند یا خیر استفاده کرد.

آیا 2 & times4 ×12 قطعه می تواند یک مکعب با اندازه 4 & times8 ×36 را تشکیل دهد؟ در مورد مکعب با اندازه 10 & times10 و times12 چطور؟

آیا قطعات اندازه 1 & times 3 & times5 می توانند یک مکعب با اندازه 2 & times15 ×8 تشکیل دهند؟ در مورد مکعب 3×9×14 چطور؟

در اینجا مروری بر آنچه آموخته ایم آورده شده است:

• اگر طول مکعب مضربی از طول یک قطعه باشد، می توان آن را از کپی های آن قطعه تشکیل داد، صرف نظر از اینکه قطعه هارمونیک است یا خیر. چنین مکعب هایی را می توان با همه قطعات در جهت یکسان تشکیل داد ، اما ممکن است ترتیباتی نیز وجود داشته باشد که در آن قطعات جهت گیری های متفاوتی داشته باشند.
• اگر یک قطعه هارمونیک باشد، هر مکعب تشکیل شده باید دارای طول هایی باشد که چند برابر طول قطعه باشد. در نتیجه، هر مکعبی که از قطعات هارمونیک تشکیل شده است ممکن است همه قطعات را در جهت یکسان داشته باشد، اگرچه این همیشه ضروری نیست.
• اگر یک قطعه هارمونیک نباشد ، می توان مکعب هایی را تشکیل داد که طول آنها مضربی از طول قطعه نیست (به عملیات سوم و چهارم مراجعه کنید). در این حالت ، همه قطعات نمی توانند جهت یکسانی داشته باشند. با استفاده از قطعات غیر هارمونیک، می توان با استفاده از 4 روشی که قبلا توضیح داده شد، مکعب هایی با اشکال مختلف ایجاد کرد.

نه. در این زمینه، هیچ چیز خاصی در مورد 3 بعد وجود ندارد. در واقع قرار دادن یکی از طول ها برابر با 1 معادل کاهش مسئله به 2 بعد است. نتایج نیز در بیش از 3 بعد معتبر است. به عنوان مثال، یک قطعه 1×3×12×24 هارمونیک است. بنابراین، هر مکعب 4 بعدی که از این قطعات 4 بعدی تشکیل شده است باید دارای ابعاد A، B و بار 3، C و بار 12 و D & ضربدر 24 برای برخی از اعداد صحیح مثبت A، B، C و D باشد.