Tipps zum Lösen von Calcrostischer Rätsel

Detektivarbeit an Calcrostic-Problemen

Das Lösen eines Calcrostic ist wie das Durchsuchen eines Tatorts nach Hinweisen. Im Folgenden findest du Beispiele, wie du Hinweise aus einzelnen Zeilen des Rätsels erhälst.

Wenn z. B. die Zeile, Spalte oder Diagonale

a × b = a

ist, dann muss
a
0 oder
b
muss 1 sein. Es ist leicht herauszufinden, welcher Fall zutrifft. Wir schauen uns andere Zeilen an, die
a
und
b
enthalten. Zum Beispiel, wenn
a=0
dann
c + a = c
und wenn
b=1
dann
c + b = d
. In ähnlicher Weise folgt aus
a ÷ b = a

a=0
oder
b=1
und aus jedem von
cd × b = cd
,
cd ÷ b = cd
folgt
b=1
.
a + b = cd

Dann folgt daraus
c=1
, weil die Summe zweier 1-stelliger Zahlen nicht mehr als 9+9=18 sein kann, und wenn beide unterschiedlich sind, dann nicht mehr als 9+8=17. Dasselbe lässt sich schlussfolgern aus
cd − b = a
.
a × b = c

Das Besondere ist dann, dass das Ergebnis nur eine einstellige Zahl ist, also weniger als 10. Außerdem sind
a, b, c
alle unterschiedlich, so dass keiner von ihnen 1 oder 0 sein kann. So muss eines von
a, b
2 und das andere 3 oder 4 sein und
c
ist 6 oder 8. Dasselbe lässt sich schlussfolgern aus
c ÷ b = a
.
a × a = b

dann ist
b
eine Quadratzahl, die ungleich
a
und
b<10
ist, also
a=2, b=4
oder
a=3, b=9
.
c + ea = eg

Dann sind die erste Ziffer (die Zehner) in
ea
und in
eg
gleich, so dass wir schlussfolgern, dass
c + a = g
.
c + ea = fg

Dann sind die erste Ziffer (die Zehner) in
ea
und in
fg
unterschiedlich. Dies kann nur auf einen Übertrag zurückzuführen sein, so dass wir zu dem Schluss kommen, dass
e + 1 = f
und
c + a = 10 + g
.
Wenn eine Zahl mehr als eine Ziffer hat, kann davon ausgegangen werden, dass die Ziffer ganz links ungleich Null ist. Wenn ein Rätsel groß ist und 10 verschiedene Buchstaben hat, dann kann diese leicht zu erhaltende Information sogar ausreichen, um zu erkennen, welcher Buchstabe den Wert 0 hat.
..a × ..b = ..5

Dann ist
a
oder
b
5 und die andere eine ungerade Ziffer.
..a × ..b = ..7

Dann sind die einzigen möglichen Werte von
a
und
b
3 und 9. Das Produkt von 1 und 7 endet auch bei 7, aber wenn
a
oder
b
7 wäre, dann wäre dies bekannt.
..a × ..b = ..3

Dann sind die einzigen möglichen Werte von
a
und
b
7 und 9. Das Produkt von 1 und 3 endet auch bei 3, aber wenn
a
oder
b
3 wäre, dann wäre dies bekannt.
..a × ..a = ..9

Dann sind die einzigen möglichen Werte von
a
3 und 7.
..a × ..b = ..1

Dann sind die einzigen möglichen Werte von
a
und
b
3 und 7.
..a × ..a = ..1

Dann sind die einzigen möglichen Werte von
a
1 und 9.
..a × ..b = ..a

Dieser Hinweis ist derselbe wie der allererste Hinweis, aber allgemeiner mit mehr Ziffern, die links von
a
und
b
erscheinen können. Dieser Hinweis taucht relativ häufig auf. Betrachtet man nur die Einerstellen, so folgt daraus, dass
a × b = a + k × 10
wobei
k
der Übertrag aus der Multiplikation ist. Daraus folgt, dass
a × (b-1) = k × 10
. Mit anderen Worten,
a × (b-1)
muss durch 10 teilbar sein! Abgesehen von den beiden Fällen, die aus dem ersten Hinweis bekannt sind: (
a = 0
) oder (
b-1 = 0
) haben wir nur noch 2 weitere Fälle zu berücksichtigen: (
a = 5
und
b
ist gerade) oder (
b-1 = 5
und
a
ist gerade).
Wenn logisches Denken nicht hilft, mehr Werte zu bestimmen, dann muss man raten und verschiedene Fälle berücksichtigen. Wenn man nur eine Lösung finden will und nicht alle, dann sollte man zuerst die wahrscheinlichsten Fälle betrachten. Was ist wahrscheinlich und was nicht? Aus der obigen Diskussion haben wir gelernt, dass es unwahrscheinlich ist, dass der Einerwert eines Produkts 7, 3 oder 1 beträgt.
Alle oben gemachten Aussagen über Produkte gelten gleichermaßen für Quotienten.
Die meisten linken Ziffern von mehrstelligen Zahlen können nicht Null sein.
Wenn das Calcrostic nicht nur ganze Zahlen, sondern auch rationale Zahlen beinhaltet, dann kann man weitere Schlussfolgerungen ziehen:

Die Ziffer ganz links in Zähler und Nenner darf nicht Null sein. Wenn der Zähler oder Nenner eine einzelne Ziffer ist, kann diese auch nicht Null sein.
Wenn der Nenner eine einstellige Ziffer ist, dann ist dies nicht gleich 1.
Da Zähler und Nenner teilerfremd sind, können die Einerziffern von Zähler und Nenner nicht beide gerade sein. Wenn beide Einerziffern den gleichen Buchstaben haben, können sie nicht 5 sein, und wenn sie nicht derselbe Buchstabe sind, kann es nicht sein, dass eine 0 und die andere 5 ist.

Versuche, weitere Hinweise zu finden, zum Beispiel:

Was lässt sich daraus schließen?
a × a = ba
? Welche einzigen Werte kann
a, b
haben?
Was folgt aus
eb × c = cd
? Welchen einzigen Wert kann
e
haben?
Wenn du weißt, dass
g = 1
was sagt dir dann
fg ÷ c = d
über
f, c, d
?

Lass uns ein Rätsel lösen:

   ab + c = dd
    ×   −    −
    e + f =  c
    =   =    =
   fb ÷ e = ab

Der letzte Hinweis oben bezieht sich auf die erste Spalte. Wir haben also 4 Fälle:

b=0
(nicht möglich, da sonst die erste Zeile folgendes aufgeben würde
ab + c = ..c
),
e=1
(nicht möglich, da sonst in der ersten Spalte
ab × 1 = ab
)
e-1=5
, d.h.
e=6
und
b
gerade: 1. Spalte: Wenn
ab × 6
eine 2-stellige Zahl (
fb
) ist, dann
a=1
, da 20×6=120 bereits eine 3-stellige Zahl ergibt. Mit
a=1
aus der ersten Zeile folgt dann
d=2
, da die Zehnerstelle nur um 1 erhöht werden kann, wenn eine 1-stellige Zahl addiert wird.
b
muss in diesem 3. Fall gerade sein, aber
b<>0, b≠2
weil
d=2, b≠6
weil
e=6, b≠8
weil aus der 1. Spalte 18×6>100. Also
b=4
, ab der 1. Zeile
c=8
und ab der 2. Zeile
f=2
, was
e=2
widerspricht. Daher trifft Fall 3) nicht zu.
b=5
und
e-1
ist gerade, d.h.
e
ist ungerade: Daraus folgt, dass
e=3
weil
e≠1
(Fall 2),
e≠5
(weil
b=5
),
e<7
(denn in der 1. Spalte 15×7>100). Für
a
haben wir die Einschränkungen:
a≠2
(weil sonst ab der 1. Reihe
d=a+1=3
folgt, aber wir haben schon
e=3
) und
a<>3
(weil
e=3
),
a<4
(da ab der 1. Spalte 45×3>100 und nicht eine 2-stellige Zahl). Daher
a=1
, aus der 1. Reihe
d=2, c=dd - ab = 22-15=7
, aus der 2. Zeile
f=c-e=7-3=4
gibt uns die Lösung
```
   15 + 7 = 22
    ×   −    −
    3 + 4 =  7
    =   =    =
   45 ÷ 3 = 15
```

Viel Spaß beim Ausprobieren unseres Rätsels des Tages!

Videolösungen mit weiteren Hinweisen sind für die folgenden Calcrostic-Probleme von Caribou Contests verfügbar: