300000
Qaliblərin ümumi sayı:: 758
Dots
Əgər siz hansı hərəkətləri oynayacağınızla maraqlanırsınızsa və niyə deyil, o zaman aşağıda yerləşən “Qərar Ağacı”na keçin. Aşağıdakı 'İndeks' mətndə təqdim olunan və qısa giriş kimi istifadə edilə bilən bütün terminləri sadalayır.
Əsaslar
Terminologiya: Gəlin oyun haqqında danışmaq üçün istifadə edəcəyimiz bəzi yeni terminləri təqdim edək.
qutu küncləri kimi 4 qonşu nöqtəsi olan kiçik kvadratdır. Qutunun 0, 1, 2, 3, 4 tərəfi çəkilə bilər və sonra 0 qutu, 1 qutu, 2 qutu, 3 qutu, 4 qutu adlanır.
xətt iki qonşu nöqtəni birləşdirən xətt seqmentidir.
Xətt çəkməyə hərəkət etmək də deyilir.
Əgər çəkilməmiş xətt 2 qutu ilə 3 qutunu ayırırsa, bu xətti çəkmək 3 şeyi yerinə yetirir: o, 3 qutunu tamamlayır və beləliklə, bir xal qazanır, 2 qutunu 3 qutuya dəyişir, və bu, oyunçuya yeni 3 qutunu tamamlamaq üçün istifadə edilə bilən başqa bir hərəkət verir. Bu tip "zəncirvari reaksiya" çox tez-tez baş verir.
Bütün birləşdirilmiş 2 qutu bir zəncir təşkil edir. Zəncirin 2 ucu ola bilər və sonra düz xətt olub-olmamasından asılı olmayaraq xətti zəncir adlanır
+ + +---+---+ + +---+
| | , və ya | |
+ + +---+---+ +---+ +
|
+---+---+1, 2 və 4 qutulu zəncirləri göstərir.
Zəncirin ucları da ola bilməz və biz onu ilməkli zəncir və ya sadəcə olaraq ilgə adlandırırıq, çevrəyə bənzəyir, yoxsa bu kimi görünür
+---+---+---+
| |
+ +---+ +
| | |
+---+ + +
| |
+---+---+
Zəncir daxilində və ya onun uclarından birində hərəkət etmək bu oyun haqqında riyazi ədəbiyyatda zəncirvari açmaq adlanır.
Zəncir açılsa nə baş verir?
Əgər oyunçu çəkilməmiş xətlərdən birini zəncirdə çəkirsə, A1-i daxil edin
+---+---+---+
| |
+ +A1-+ +
| |
+---+---+onda ən azı bir 2 qutu 3 qutuya çevrilir (burada yuxarıdakı qutu və A1-in altındakı qutu) və digər oyunçu daha sonra qutu(lar)ı 4 qutuya tamamlaya bilər, bir qazan və ya iki nöqtə və eyni zamanda qonşu 2 qutunu 3 qutuya çevirin (burada B1-in solunda və B2-nin sağında olan qutu
+---+---+---+
| B1 |
+ +A1-+ + .
| B2 |
+---+---+Hər qutu tamamlandıqda oyunçu növbəti qutunu və zəncirin bütün digər qutularını tamamlamaq üçün istifadə edilə bilən başqa bir hərəkət gərəkdir. Sonuncu qutunu doldurduqdan sonra, lövhədəki bütün qutular tamamlanmadığı təqdirdə oyunçu başqa yerə başqa bir hərəkət etməlidir.
İlkin Oyun
Qayda 1: Ən aydın oyun rəqibin onu tamamlayaraq götürə biləcəyi 3 qutu yaratmaqdan qaçmaqdır. Bu sadə və faydalı qaydadır, baxmayaraq ki, bu saytın sonunda görəcəyimiz kimi mükəmməl deyil. Bəzi mərhələdə, bütün xətlərin təxminən yarısı çəkildikdən sonra 3 qutunun yaradılması qaçılmaz olur. Sonra nə olur? 1, 2 və ya ≥ 3 qutuları olan zəncirlərə fərqli münasibət göstərildiyi üçün onlara ayrıca baxmalıyıq.
Gəlin yalnız bir qutu olan zəncirlərə baxaraq başlayaq.
Hər zaman tək 3 qutu, yəni bir qutu ilə zəncir tamamlanmalıdır?
+---+
| ?
+---+
Bəli, insan həmişə bunu etməlidir. Birinin qutunu götürüb sonra A hərəkəti etməsi və ya qutunu götürməməsi və A üzərində oynamağın rəqibin etdiklərinə heç bir təsir göstərmir, istisna olmaqla qutunu ya siz, ya da rəqib əldə edir, ona görə də qutunu sizin almağınız daha yaxşıdır.
İki qutulu zəncirlər necə görünə bilər və onlardan biri necə oynamalıdır?
İki qutulu zəncirlər belə görünür
+---+---+ +---+---+ +---+---+
və ya | və ya | |
+---+---+ +---+ + + + +və ya onların fırlanan və əks olunmuş versiyaları. Orta xəttin çəkilməsi oraya gətirib çıxarır
+---+---+ +---+---+ +---+---+
| və ya | | və ya | | |
+---+---+ +---+ + + + +və bu oyun ədəbiyyatında Hard-Hearted Handout adlanır.
Hər iki qutunu həmişə belə vəziyyətdə götürmək lazımdırmı?
Bəli, həmişə 1 qutu zəncir götürməli olduğu kimi, hər iki qutunu da eyni səbəblərdən götürmək lazımdır. Zəhmət olmasa özünüzü inandırın.
İki qutu ilə zəncirin sərhəddinə xətt çəkməyə gətirib çıxarır
+---+---+ +---+---+ | və ya | | +---+---+ +---+ +
və Hard-Hearted Handout. adlanır.
Hard-Hearted Handout sərhəddində hərəkət etməklə
+---+---+ | | . +---+---+
Belə bir hərəkət ədəbiyyatda Double Dealing (DD) adlanır.
Drawing the line in the middle which completes both boxes is called a Double-Crossed Move. A loop is always completed by such a move but in a linear chain it can only happen when the opponent plays a DD move in order to take control as explained below. In such a situation the player making a double-crossed move is tricked, i.e. 'double crossed', therefore this name for that move.
DD-dən sonra gələn oyunçu həmişə hər iki qutunu götürməlidir?
DD hərəkəti iki qutunun qurbanıdır, çünki oyunçu alternativ olaraq əvvəlcə Hard-Hearted Handout-un ortasında, sonra isə sərhəddə oynaya bilər və bu yolla iki qutu qazana bilər. Niyə insan 2 qutu qurban vermək istəyər? Tapmaq üçün oxumağa davam edin!
Rəqibə qurban vermək imkanı verən DD-dən əvvəl Hard-Hearted Handout hərəkəti kimi bir hərəkət ədəbiyyatda loony move adlanır. Dəhşətli hərəkətlərin digər nümunələri 3 və ya daha çox qutu ilə zəncirləri açan hərəkətlərdir, çünki növbəti oyunçu aşağıda görəcəyimiz kimi DD oynamaq seçimini də əldə edir.
Hard-hearted Handouts səhifəsinə qayıt, hər iki qutunu həmişə belə vəziyyətdə götürmək lazımdırmı? Əgər yoxsa, sərhəddə nə vaxt DD oynamaq lazımdır? Hər ikisini oyunlarda sınayın və bunun nə fərq etdiyini görün.
Gəlin bütün fərqləri nəzərdən keçirək. Əgər biri bir qutu götürürsə, o zaman əvvəl tapdığımız kimi ikinci qutunu da götürməlidir. Hər iki qutunu götürən biri 2 xal alır, lakin sonra başqa yerə hərəkət etməlidir. Bu, baha başa gələ bilər, çünki rəqibin daha çox kvadrat almasına imkan verən çoxlu qutuları olan bir zəncir açmaq lazım gələ bilər. Əgər biri sərhəddə oynayırsa, kvadratı tamamlamır və buna görə də başqa yerdə oynamaq lazım deyil. Ancaq sərhəddə oynamaq növbəti oyunçuya indi müzakirə edildiyi kimi hər iki qutu verir. Buna görə də hər iki oyun mümkündür. Müəyyən bir vəziyyətdə hansı hərəkətin daha yaxşı olduğunu müəyyən etmək üçün bu suala sonra qayıdacağıq.
Əgər bütün digər hərəkətlər daha baha başa gəldiyi üçün 2 qutu ilə zəncirvari açmalı olarsa, o zaman biri "Daş Ürəkli", yoxsa "Daş Ürəkli Təqdimat" oynamalıdır?
Əgər biri zəncirin ortasında oynayırsa (Hard-Hearted Handout) o zaman qarşı tərəf hər iki qutunu götürməyə məcbur olur və sonra başqa yerə potensial olaraq baha başa gələn hərəkət edir.
+---+---+ +---+---+ +---+---+
→ | → | | | üstəlik başqa yerdə
+---+---+ +---+---+ +---+---+
Əgər biri zəncirin sərhəddində oynayırsa (Hard-Hearted Handout) o zaman rəqibə yuxarıdakı kimi iki qutu götürmək və ya sərhəddə oynamaq (Double Dealing (DD) hərəkəti) seçimini verir:
+---+---+ +---+---+ +---+---+
→ | → | |
+---+---+ +---+---+ +---+---+
Bu seçim çox dəyərli ola bilər, çünki daha sonra öyrənəcəyik. Rəqibə əlavə seçimlər vermək heç vaxt daha yaxşı hərəkət ola bilməz, ona görə də optimal oyunu hədəfləyən şəxs heç vaxt Sərt Ürəkli Təqdimat oynamamalıdır. Qeyri-optimal əyləncəli oyunda rəqibin bacarığını öyrənmək üçün Sərt Ürəkli hərəkətləri sınamaq olar. ya da rəqibi çaşdırmaq üçün biri geridə qalır, amma optimal oynamağa çalışırsa yox.
Üç və ya daha çox qutunun açıq xətti zəncirləri ilə nə etmək lazımdır?
Əgər zəncir açılırsa, onda ən azı bir 3 qutu var. Bu qutunu və digər qutuları da tamamlaya bilərsiniz, amma bunu etmək lazımdırmı?
Xətti açılmış zəncirdən mütləq götürməli olan qutular varmı?
Bir tərəfdən, biz mümkün qədər çox qutu götürmək istəyirik. Digər tərəfdən, daha sonra başqa yerdə oynamağın əvəzini ödəmək istəməyə bilərik və bununla da rəqibin götürməsi üçün daha böyük bir zəncir açırıq. Mütləq etməli olduğumuz şey, iki qutudan başqa hamısını əvvəllər əsaslandırıldığı kimi götürməkdir, pulsuzdur, heç bir mənfi əks təsiri yoxdur. Bundan sonra qalan 2 qutunu da götürmək və ya DD (Double Dealing) oynamaq barədə düşünə bilərik. Bu barədə daha sonra danışacağıq.
≥ 3 qutu olan zəncirlər uzun zəncirlərdir.. Bunlara həm xətti, həm də ilgək zəncirləri daxildir.
Niyə belə zəncirlər üçün xüsusi ad var?
Ən azı 3 qutusu olan uzun zəncirlər qalsa, onlardan birinin açılması, hansı şəkildə olursa olsun, hərəkətin ən azı bir tərəfində ən azı 2 qonşu qutunun olması deməkdir. Beləliklə, digər oyunçu oyunun qalan hissəsini müəyyən etmək üçün vacib olan Double Dealing oynaya bilər.
Dövrə yaratmaq üçün neçə qutu lazımdır?
Mümkün olan ən kiçik döngədə 4 qutu var:
+---+---+ | | + + + | | +---+---+
Dövrə açılırsa, düşünmədən 2 qutudan başqa hamısını təhlükəsiz götürmək olar?
Gəlin bunu sınayaq. Mümkün olan ən kiçik açılmış döngə
+---+---+ | | +---+ + | | +---+---+
Əlbəttə ki, biz bütün 4 qutunu götürüb başqa yerdə oynaya bilərdik, amma nəyin bahasına olursa olsun başqa yerdə oynamaqdan qaçmaq istəsək nə olar? İki qutu götürsək
+---+---+ | | | +---+---+ | | +---+---+
amma başqa bir hərəkət etməliyik. Ona görə də burada dayana bilmədik, çünki sərhəddəki bütün xətlər artıq çəkilib, ona görə də getməyə davam etməliyik
+---+---+ | | | +---+---+ | | | +---+---+
və sonra biz başqa yerə hərəkət etmək məcburiyyətindəyik ki, bu da rəqibə daha böyük bir zənciri verə bilər.
Əvəzinə başqa nə edə bilərdik?
Biz başqa yerdə oynamaq məcburiyyətində qalmamaq üçün qutunu tamamlamayan bir hərəkət oynamaq istəyirik. Yalnız mümkün hərəkət yaratmaq üçün açılmış döngənin ortasında oynamaqdır
+---+---+ | | +---+---+ . | | +---+---+
Bu hərəkət qutunu tamamlamır və beləliklə, digər oyunçu növbəti oynayır. Biz bu hərəkəti Double Double Dealing adlandıracağıq və onu DDD vasitəsilə qısaldacağıq. Qiymət 2 qutu əvəzinə 4 qurban kəsməkdir. Rəqib üçün ən yaxşısı 4 qutu götürüb başqa yerdə oynamaqdır.
Açıq döngədə 4-dən çox qutu varsa necə?
Kvadratı tamamlamayan bir hərəkəti davam etdirə bildiyimiz müddətcə istədiyimiz qədər qutu götürə bilərik. Bu o deməkdir ki, biz 4 qutudan başqa hamısını götürə bilərik, məsələn, açılış
+---+---+---+---+ +---+---+---+---+ | | | | | + +---+---+ + məsələn, + +---+---+ + | | | | +---+---+---+---+ +---+---+---+---+
və 8 − 4 = 4 qutu götürdükdə,
+---+---+---+---+ | | | | | + +---+---+---+ . | | | +---+---+---+---+
İndi biz qərar verməliyik ki, qalan 4 qutunu götürək, yoxsa onları oynayaraq rəqibə qurban edək
+---+---+---+---+ | | | | | + +---+---+---+ . | | | | +---+---+---+---+
Bu barədə daha sonra.
Bir açıq zəncir və ya bir neçə zəncirin açıq olması ehtimalı olmayan bir hadisə halında, DD oynamaq və ya DD oynamamaq barədə düşünmədən təhlükəsiz şəkildə neçə qutu götürmək olar?Əgər iki qonşu qutusu olan ən azı bir açıq xətti zəncir varsa, bu zəncirin bütün digər qutularını tamamlayın və bütün digər açıq xətti və ilgəkli zəncirlərin bütün qutularını tamamlayın. Əks halda, yalnız bir və ya daha çox açıq ilməli zəncir varsa, o zaman bir açıq ilgək zəncirinin dörd qutusu istisna olmaqla, hamısını və bütün digər açıq ilməli zəncirlərin bütün qutularını tamamlayın. Bu qutular tamamlandıqdan sonra DD/DDD oynayıb-oynamamaq barədə düşünməyə başlaya bilərsiniz.
Oyunun az və ya çox təsadüfi hərəkətlərlə başladığını öyrəndik, istisna olmaqla, hər iki oyunçu mümkün qədər 3 qutu yaratmaqdan çəkinirlər, yəni zəncirləri açmaqdan çəkinirlər. Bu qaçılmaz olduqda, biz bunu son oyunun. başlanğıcı kimi qəbul edirik. Biz onunla başlayırıq, çünki bu, bütün oyunların ən asan hissəsidir.
Son Oyun
Bütün digər oyunlarda olduğu kimi, sona yaxınlaşdıqca, optimal oyunda kimin və nə qədər qalib gələcəyini proqnozlaşdırmaq bir o qədər asan olur. Buna görə də təhlilimizə oyunun sonundan başlayırıq. Oyunun sonunda bütün hərəkətlər ya açıq zəncirlər, ya da tam qutular, ya da DD/DDD hərəkətləridir. Oyunçu zənciri açmalı olduqda, strategiya üçün ilk fikir rəqibə ən az sayda qutu vermək üçün mövcud zəncirlərin ən kiçikini açmaq ola bilər. Bunu bir neçə nümunədə sınayaq.
Nümunə 1
Fərz edək ki, 3 və 4 qutulu iki zəncirdən başqa bütün qutular tamamlanıb:
+ +---+---+ | | | | + +---+---+ | +---+---+---+ +---+---+---+
Növbəti hərəkət edən A oyunçusu digər B oyunçusunun həmin zənciri iddia etməsi üçün daha qısa zənciri (A1 hərəkəti ilə) açacaq və 3 xal, A isə bu iki A zəncirindən bir xalla qutuları olan daha böyük zənciri əldə edəcək. :B=(0+4):(3+0)=4:3.
+A9-+---+---+ | | | | +A8-+---+---+ | B5 A6 A7 +---+---+---+ B2 A1 B3 B4 +---+---+---+
Yeri gəlmişkən, A1 hərəkəti əvvəllər çılğın hərəkət kimi təyin etdiyimiz hərəkətdir, rəqibə qurban vermək imkanı verən hərəkətdir.
Lakin B oyunçusu ağıllıdır və B2 hərəkəti ilə yalnız bir qutu götürür (növbəti diaqramda), sonra B3 ilə Double Dealing oynayır. Daha sonra A A4 ilə 2 qutu götürməli olur, A5 kimi bir hərəkətlə böyük zənciri açmağa məcbur olur və B yekun hesabı A:B = (2+0):(1+) olan qalan 4 qutunu alır. 4)=2:5.
+B9-+---+---+ | | | | +B8-+---+---+ | A5 B6 B7 +---+---+---+ B2 A1 A4 B3 +---+---+---+Bu vəziyyətdə B-nin iki qutu qurban verməsinin faydalı olduğunu görürük.
Nümunə 2
Tutaq ki, 3 qutu ilə bir zəncir və 4 qutu ilə bir döngə istisna olmaqla, bütün qutular tamamlandı.
+---+---+---+ | | | + + +---+ | | | +---+---+---+ +---+---+---+Oyunçu A növbəti hərəkət edir.
1-ci hal: A zənciri 3 qutu ilə açır.
Əgər A1 oyunçusundan sonra B bütün zənciri götürərsə, A oyunçusu döngəni alır və bu iki zəncirdən hesab A:B = (0+4):(3+0) = 4:3 olur.
+---+---+---+ | A7 | | +A6-+A8-+---+ | B5 | | +---+---+---+ B2 A1 B3 B4 +---+---+---+
A1 oyunçusundan sonra B oyunçusu DD oynayırsa, sonra
+---+---+---+ | B7 | | +B6-+B8-+---+ | A5 | | +---+---+---+ B2 A1 A4 B3 +---+---+---+bu iki zəncirdən alınan hesab A:B = (2+0):(1+4) = 2:5-dir, buna görə də burada B-nin DD oynaması və A:B = 2:5-ə çatması faydalıdır.
2-ci hal: A 4 qutu ilə döngəni açır.
Əgər A1 oyunçusundan sonra B bütün döngəni götürürsə, A oyunçusu daha qısa zənciri alır və bu iki zəncirdən hesab A:B = (0+3):(4+0) = 3:4 olur.
+---+---+---+ | B3 | | +B2-+B4-+---+ | A1 | | +---+---+---+ B5 A6 A7 A8 +---+---+---+
A1 oyunçusundan sonra B oyunçusu B2 ilə DDD oynayırsa,
+---+---+---+ | B2 | | +A3-+A4-+---+ | A1 | | +---+---+---+ B6 A5 B7 B8 +---+---+---+və A:B = (4+0):(0+3) = 4:3 bu iki zəncirdən alınan xal. Bu halda B-nin DDD oynamaması, sonra A:B = 3:4 almaq daha yaxşıdır.
İki haldan nə öyrənirik?
Biz ikinci halda gördük ki, DDD-ni dövrədə oynatmağın qiyməti yüksəkdir (4 qutu) bu, onu oynatmağı deyil, bütün dövrəni götürməyi üstün edə bilər. Beləliklə, bu nümunədə A oyunçusu hansı zənciri açmalıdır? A üçün A:B = 2:5-ə çatan üç qutu zəncirini açmaq əvəzinə A:B = 3:4-ə çatan döngəni açması daha yaxşıdır. Öyrəndik ki, əgər ilgəklər iştirak edirsə, ilk olaraq hansı zəncirin açılacağına qərar vermək üçün zəncirlər sadəcə ölçüyə (qutuların sayı) görə çeşidlənməməlidir. Lakin onları ölçüsünə görə çeşidləmək − 2, əgər bu bir döngədirsə, burada işləyəcək: 4−2 = 2 < 4.
Nümunə 3
Bu nümunədə biz zəncirlərin hansı ardıcıllıqla açılmalı olduğunu öyrənmək istəyirik. Fərz edək ki, burada olduğu kimi 3 və 4 qutulu iki xətti zəncir və 4 qutulu bir döngə istisna olmaqla, bütün qutular tamamlanıb:
+---+---+ +---+
| | |
+ + +---+ +
| | | |
+---+---+---+ +
|
+---+---+ +---+Oyunçu A növbəti hərəkət edir. Aydındır ki, 3 qutu ilə xətti zəncir varsa, A daha böyük xətti zənciri 4 qutu ilə açmayacaq.
1-ci hal: A zənciri 3 qutu ilə açır.
B oyunçusu üçün optimal oyuna qərar verməzdən əvvəl gəlin digər 2 zəncirdən hansının ilk olaraq açılmalı olduğunu yoxlayaq:
+---+---+ +---+ | | | + + +---+ + | | | | +---+---+---+ + | | | | +---+---+---+---+
Oyunçular C və D olsun, sonra C hərəkət etsin.
1.1: C döngəni açır
+---+---+ +---+
| | |
+ + +---+ +
| C1 | | |
+---+---+---+ +
| | | |
+---+---+---+---+ Əgər C1 oyunçusundan sonra D oyunçusu D2 ilə DDD oynayırsa, sonra
+---+---+C5-+---+ | D2 | D6 | +C3-+C4-+---+D7-+ | C1 | | | +---+---+---+D8-+ | | | | D9 +---+---+---+---+
bu iki zəncirdən hesab C:D = (4+0):(0+4) = 4:4-dür. Əgər D DDD oynamırsa, ancaq döngəni alırsa, sonra
+---+---+D5-+---+ | D3 | C6 | +D2-+D4-+---+C7-+ | C1 | | | +---+---+---+C8-+ | | | | C9 +---+---+---+---+
bu iki zəncirdən alınan xal da C:D = (0+4):(4+0) = 4:4-dür.
1.2: C 4 qutu zəncirini açır
+---+---+C1-+---+
| | |
+ + +---+ +
| | | |
+---+---+---+ +
| | | |
+---+---+---+---+ C1-dən sonra oyunçu D bütün zənciri götürsə, sonra
+---+---+C1-+---+ | C8 | D2 | +C7-+C9-+---+D3-+ | D6 | | | +---+---+---+D4-+ | | | | D5 +---+---+---+---+
hesab C:D = (0+4):(4+0) = 4:4. Əgər C1 oyunçusundan sonra D oyunçusu D4 ilə DD oynayırsa, sonra
+---+---+C1-+---+ | D8 | D2 | +D7-+D9-+---+D3-+ | C6 | | | +---+---+---+C5-+ | | | | D4 +---+---+---+---+hesab C:D = (2+0):(2+4) = 2:6. D-nin C1-dən sonra tətbiq edə biləcəyi ən yaxşısı C:D = 2:6-dır.
İki haldan nə öyrənirik?
Növbəti (C) oynayan oyunçu üçün yalnız C:D = 2:6-a çatan xətti zəncirdənsə, C:D = 4:4-ə çatan dövrəni açması daha yaxşıdır. Əgər ilk olaraq hansının açılacağına qərar vermək üçün zəncirləri − 2 ölçüsünə görə çeşidləsək, (4−2) = 2 < 4 düzgün nəticə verər. İndi B üçün optimal oyuna qərar verə bilərik:
+---+---+- +---+
| | |
+ + +---+ +
| | | |
+---+---+---+ +
A1 |
+---+---+ +---+
B zənciri götürməlidir, yoxsa DD oynamalıdır?
Əgər B zənciri götürsə, sonra
+---+---+A9-+---+ | A7 | A10 | +A6-+A8-+---+A11+ | B5 | | | +---+---+---+A12+ B2 A1 B3 | A13 +---+---+B4-+---+
bu 3 zəncir üzrə hesab A:B = (0+4+0):(3+0+4) = 4:7-dir. Əgər B əvəzinə B3 ilə DD oynayırsa, sonra
+---+---+B9-+---+ | B7 | A10 | +B6-+B8-+---+A11+ | A5 | | | +---+---+---+A12+ B2 A1 A4 | A13 +---+---+B3-+---+
bu 3 zəncir üzrə hesab A:B = (2+0+4):(1+4+0) = 6:5-dir. Beləliklə, B-nin A1-dən sonra çata biləcəyi ən yaxşısı B-nin DDD oynamamaqla əldə etdiyi A:B = 4:7-dir. Hər iki halda biz əvvəlki tapıntıdan istifadə etdik ki, döngə növbəti dəfə açılmalıdır.
2-ci hal: A 4 qutu ilə döngəni açır:
+---+---+ +---+
| | |
+ + +---+ +
| A1 | | |
+---+---+---+ +
|
+---+---+ +---+
2.1: B bütün döngəni götürür.
Aydındır ki, kiçik zəncir DD ilə oynanmalıdır
+---+---+B9-+---+ | B3 | A10 | +B2-+B4-+---+A11+ | A1 | | | +---+---+---+A12+ B5 A6 B8 | A13 +---+---+A7-+---+A:B = (0+1+4):(4+2+0) = 5:6-nın bu 3 zəncirində xal qazanır.
2.2: B döngəni qurban verir.
Yenə kiçik zəncir DD ilə oynanmalıdır
+---+---+A9-+---+ | B2 | B10 | +A3-+A4-+---+B11+ | A1 | | | +---+---+---+B12+ A5 B6 A8 | B13 +---+---+B7-+---+A:B = (4+2+0):(0+1+4) = 6:5 olan bu 3 zəncir üzrə xal qazanır.
2.1 və 2.2 hallardan nə öyrənirik?
DDD-ni dövrədə oynatmağın yüksək qiymətinə görə burada B üçün ən yaxşısı A:B = 5:6 hesabına çatan bütün dövrəni götürməkdir.
1 və 2-ci hallardan nə öyrənirik?
Bizdə 3 və 4 qutu ilə iki xətti zəncir və 4 qutu ilə bir döngə var. Ən yaxşısı A üçün döngəni açmaq və A:B = 5:6 hesabına çatmaqdır. Əgər A zənciri 3 qutu ilə açırsa, o, yalnız A:B = 4:7-yə çatır. Aydındır ki, B üçün 3 qutu ilə zəncirdən əvvəl 4 qutu ilə zənciri açmaq daha yaxşı ola bilməz. Buna görə də, növbəti hansının açılacağını müəyyən etmək üçün zəncirləri sadəcə ölçülərinə görə çeşidləmək işləmir. Lakin onları ölçüsünə görə çeşidləmək − 2, əgər bu, bir döngədirsə, işlək görünür, çünki (4−2) = 2 < 3 döngənin əvvəlcə açılmasını göstərir.
Zəncirin açılma sırası
Yuxarıdakı nümunələrdən əldə edilən təcrübə ilə biz indi zəncirlərin açılıb tamamlanma sırasını müəyyən etmək problemini həll edirik. Oyunçulardan birinin DD/DDD oynayacağını, oyunu kimin və nə qədər qazanacağını müəyyən etmək üçün aşağıda bu zəncir sırası istifadə olunacaq. Yaxşı xəbər budur ki, oyunun sonunda bu zəncirlərin açılması növbəsinin kimin olmasından və ya daha əvvəl kimin DD/DDD oynamasından asılı deyil. Səbəb odur ki, oyunun istənilən nöqtəsində kim tərəfindən və hansı ardıcıllıqla deyil, yalnız çəkilmiş xətlər vacibdir. Hətta indiki hesabın gələcək optimal oyuna heç bir təsiri yoxdur. Çətin problemi daha asan problemlərə bölmək artıq uğurdur. Bu halda, oyunun sonunda kimin hansı hərəkəti edəcəyini müəyyənləşdirmək çətin vəzifəsi iki problemə bölündü: zəncirlərin açılma ardıcıllığı problemi və kimin DD/DDD-ni nə vaxt oynaması problemi. Başlamazdan əvvəl oyun sonunda ümumi tendensiya haqqında düşünməliyik.
Açıq zəncirlərin "dəyəri" axıra doğru azalır, yoxsa artır?
Açılmış zəncir rəqibə verilir. Beləliklə, dəyər bir baxışda qutuların sayı olduğu halda zəncir mümkün olan ən az “dəyər”ə malik olmalıdır. Buna görə də, oyunun sonunda açılmış zəncirlərin "dəyəri" yalnız yüksələ və ya sabit qala bilər, lakin azalmaz. Yuxarıdakı nümunəmizdə gördük ki, rəqibin götürməsi üçün ən az qutu ilə zənciri açmaq işləmir. Amma biz zəncirləri bəzi “dəyər”ə görə çeşidləmək istəyirik, çünki hər bir oyunçu rəqib üçün ən az dəyərli zənciri açmaq istəyir. Rəqib üçün zəncirin dəyəri təkcə qutuların sayından ibarət deyil; Açılan zəncirin orada DD/DDD oynamağa uyğun olub-olmaması da vacibdir. DD üçün uyğunluğun bu tənzimlənməsi üçün yaxşı namizəd, zəncir bir döngədirsə, qutuların sayından 2-ni çıxarmaqdır. Beləliklə, zəncirləri 'dəyər' əsasında çeşidləmək üçün burada biz 'dəyər' = # qutuları götürürük, əgər zəncir döngə deyilsə, 'value' = # qutuları götürürük - əgər zəncir İD dirsə, 2 qutu.
Hər qutunun ən azı 2 tərəfi çəkilmiş lövhə mövqeləri ilə başlayırıq. Bunun üçün bütün zəncirləri sıralayan iki qayda formalaşdıra bilərik.
Qayda 2: Zəncirləri sifariş etmək üçün sonuncu zəncir üçün ən böyük xətti zənciri götürün və xətti zəncir yoxdursa, ən böyük döngəni götürün.
2-ci Qaydanın əsaslandırılması
Nəzarətdə olan oyunçu zəncirləri açmır və buna görə də zəncirləri çeşidləmir. Beləliklə, zəncirləri çeşidləyən hər hansı oyunçu rəqib üçün nəzarəti götürmək və ya saxlamaq (yəni, DD/DDD hərəkətlərini oynamaq) mümkün qədər baha başa gəlmək istəyir. DD hərəkəti 2 qutuya, DDD hərəkəti isə 4 qutuya başa gəlir. Bu qiymət sonuncudan başqa bütün zəncirlər üçün ödənilməlidir. Buna görə də, rəqib üçün ümumi dəyəri maksimuma çatdırmaq üçün zəncirlərin çeşidlənməsi zamanı sonuncu zəncir mümkünsə xətti olmalıdır, ilgək deyil. ∎
Qayda 3: Oyunun sonunda bütün qutuların ən azı 2 tərəfi çəkilibsə, bütün digər zəncirləri sifariş etmək üçün onları sıralayın (qutuların sayı - 2 döngədirsə).
3-cü Qaydanın əsaslandırılması
Növbəti oyunçunun nəzarəti ələ keçirməsi və ya saxlaması üçün zəncirin dəyəri onun qutularının sayıdır - xətti zəncirdirsə 2 və döngədirsə - 4. Zəncirləri çeşidləmək üçün bir döngə halında yalnız 2 çıxdıqda eyni nəticə əldə edilir. Bəs rəqibin nəzarəti yoxdursa və növbəti döngədə nəzarəti ələ keçirməyəcəksə? Rəqib bu sıralamaya əsasən, eyni “dəyərli”, lakin daha az qutulu xətti zəncir əldə etməkdən daha iki qutu ilə açıq döngədə növbəti hərəkət etsə, rəqib faydalanmayacaqmı? Yox! Əgər rəqib bütün döngəni tamamlayırsa, daha sonra bu oyunçunun növbəsi çatdıqda, bir dövrə az olacaq və nəzarəti ələ keçirmək 2 qutu ucuz olacaq. ∎ Biz bu effekti Nümunə 3 halda 2.1-də gördük, burada A oyunçusu A1 ilə dövrəni açdıqdan sonra B oyunçusu bütün dövrəni götürür, lakin nəticədə A7 ilə nəzarəti ələ keçirmək və mümkün olan ən yaxşı nəticəni əldə etmək daha sonra A üçün əlverişli oldu.
Bütün qutular zəncirə aiddirsə, yəni bütün qutuların ən azı 2 tərəfi çəkilibsə, yuxarıdakı qaydalar aydındır. Bəs 0 və 1 qutular varsa nə etməli?
Bu qutular hansı zəncirlərə aiddir?
Qayda 4: Dəyər üzrə çeşidlənmiş zəncirlər ardıcıllığını qurmaq üçün bütün lövhə tamamlanana qədər aşağıdakı hərəkətlər dövrünü yerinə yetirin.
- Bir istisna ilə dəyərinin (qutuların sayı və ya dövrədirsə, xanaların sayı −2) minimal olduğu zəncirlərdən birini açın: Əgər qoşulmuş və ya ayrılmış ən azı bir döngə varsa, və yalnız bir kəsilmiş xətti zəncir varsa və yalnız xətti zəncirlərin bağlı ağacı yoxdursa, sonuncu kəsilmiş xətti zənciri açmayın.
- Açılan zənciri qutuları saymadan tamamlayın. Xətti zəncirin sonunda çəkilən xətlər 1 qutunu 2 qutuya dəyişə bilər və beləliklə, ya iki xətti zənciri birləşdirə, ya da bir döngəni kəsə bilər.
Əgər son oyunda hələ də 0 qutu və 1 qutu varsa, o zaman belə bir qutunu nöqtə kimi düşünmək və zəncirləri belə nöqtələrdə bitən və ya lövhənin kənarında bitirən xətlər kimi düşünmək və sonra süni əlavə nöqtə əldə etmək olar.
Xətlərlə birləşən nöqtələr riyaziyyatda qraf adlanır.
4-cü Qaydada “qrafik dildə” tərtib edilmiş istisna belə deyir: Əgər qalan qrafikdə döngə ehtiva edən və əlaqəsi kəsilmiş hissəsi yoxdursa, qalan qrafikdən ayrılmış xəttə uyğun gələn xətti zənciri açmayın. loop ehtiva etmir (və buna görə də qrafiklər dilində "ağac" adlanır).
Nümunə 4: 'T' kimi qrafik
1-qutuda 'T' yazılmışdır:
+---+---+---+ + | T | | + + + + + | | | | + + +---+---+ | | | + +---+---+ +
Bu lövhəyə uyğun olan qrafik 4 nöqtəli T hərfinə bənzəyir, burada - və | T görüşündə və T-nin 3 ucunda 3 xal.
1 qutuya əlavə edilmiş 3 zəncirdən ən kiçiyi onun solundadır. Onu açıb tamamlamaqla
+---+---+---+ + +---+---+---+ + | | | | | | | + + + + + +---+ + + + | | | | | | | | +---+ +---+---+ +---+ +---+---+ | | | | | | + +---+---+ + +---+---+---+ +
biri görür ki, lövhədə biri 3, digərində 9 qutu olan iki xətti zəncir var.
Nümunə 5: 'P' kimi qrafik
1-qutuda 'P' yazılmışdır:
+---+---+---+---+ | | + +---+---+ + | P | + +---+---+---+ | | +---+---+---+ +
1 qutunun üstündə və ya bu qutunun sağ tərəfində olan tərəfi çəkmək 12 qutudan ibarət böyük bir xətti zəncir yaradıb açacaq.
+---+---+---+---+ | | +---+---+---+ + | | + +---+---+---+ | | +---+---+---+ +
hansı rəqibə vermək istəməzdi. 1 qutunun altından xətt çəkmək, lövhəni 4 qutu və 8 qutu ilə bir döngə ilə açılmış xətti zəncirə böləcək.
+--+--+--+--+ | | + +--+--+ + | | +--+--+--+--+ | | +--+--+--+ +
Yuxarıdakı 4-cü Qaydada istisna tərtib edilmişdir. Aşağıdakı misal bu istisnanı göstərir.
Nümunə 6: 'P' qrafiki üstəgəl ayrılmış xətti zəncir
İki xətti zəncir açıla bilər, biri sağda, biri isə aşağıda.
+---+---+---+---+ + | P | | + + +---+ + + | | | | + +---+---+---+ + | | | +---+---+---+ + +
1-ci hal. Əvvəlcə ən qısa zəncirin açılması
21 hərəkət edildi, buna görə də A oyunçusu başladısa, B oyunçusu növbəti hərəkət edir.
B1 ilə ən kiçik zənciri açdıqdan sonra A oyunçusu dərhal nəzarəti ələ alırsa, biz
+---+---+---+---+B1-+ | B5 B12 | | +A6-+ +---+ +A2-+ | | | | +A7-+---+---+---+B4-+ | A8 A9 B11 | | +---+---+---+A10+A3-+
və A:B hesabı = (1+4+6):(2+2+0) = 11:4 burada (2+2+0) B oyunçusunun bu ardıcıllıqla açılmış 3 zəncirdən alması deməkdir 2, 2 və 0 qutuları. B yalnız B5 ilə 2-ci xətti zənciri aça bildiyinə görə, A oyunçusu yalnız 2 qiymətə A10 ilə nəzarətdə qala bilər və dövrəni pulsuz əldə edə bilər.
2-ci hal. Əvvəlcə daha uzun xətti zəncirin açılması
B aşağıda B1 ilə daha uzun zənciri açdıqdan və bu zəncir tamamlandıqdan sonra sonuncu kvadratı(ları) alan zənciri açmalıdır. Qayda 2-yə əsasən, B oyunçusu nəzarəti götürmə/saxlamanı bahalı etmək üçün B8 ilə növbəti dövrəni açır. Bu strategiya işləyir, çünki dövrədə nəzarəti götürmək/saxlamaq A oyunçusu üçün mənasızdır, çünki bu, 4 qutuya başa gəlir, lakin sonuncu zəncirdə yalnız 3 qutu qazanır.
+---+---+---+---+A14+ | B1 A13 B8 | | +A2-+A12+---+A9-+B15+ | | A11 A10 | | +A3-+---+---+---+B16+ | A4 A5 B7 | | +---+---+---+A6-+B17+
Hesab A:B = (4+6+0):(2+0+3) = 10:5
Əgər A birinci zəncirdə DD oynamasaydı:
+---+---+---+---+B14+ | B1 B13 A8 | | +A2-+B12+---+B9-+A15+ | | B11 B10 | | +A3-+---+---+---+A16+ | A4 A5 A6 | | +---+---+---+A7-+A17+
onda A:B = (6+0+3):(0+6+0) = 9:6 hesabı A üçün daha pis olardı. Səbəb odur ki, açıldıqdan sonra dövrədə oynamaq (yuxarıda B9) 6−3=3 xal dəyərindədir və ilk uzun zəncirdə nəzarəti əldə etmək cəmi 2 bala başa gəlir, ona görə də birinci zəncirdə nəzarəti ələ keçirməyə dəyər. 10:5, A oyunçusu üçün 9:6-dan daha yaxşıdır.
1 və 2-ci halları və 11:4 və 10:5 hesablarını müqayisə edərkən aydın olur ki, B oyunçusu əvvəlcə daha uzun zənciri açmalıdır. Səbəb odur ki, əgər B əvvəlcə kəsilmiş xətti zənciri açsa, onda dövrə sonuncu olaraq tamamlanacaq, bu o deməkdir ki, A oyunçusu nəzarətdə qalmaq üçün dövrədə DDD oynayarkən 4 xal ödəməli olmayacaq. Biz əvvəlki 2-ci Qaydamızı pozmuş olarıq. Ümumilikdə göstərmək olar ki, əgər kəsilmiş zəncirdə m qutu varsa, qoşulmuş xətti zəncirdə n qutu, döngədə isə qutu var. pqutuları açır, sonra ayrılmış zənciri açan oyunçu B əvvəlcə B-yə 2 dəfə DD-dən 4 xal verir, halbuki B əlavə edilmiş xətti zəncirini B açanda,
min(p + max(0,m-4),min(6,m+2))
çoxlu xal. Bunun ala biləcəyi ən aşağı dəyər p-in ən aşağı dəyəri olan 4 (dövrə ən azı 4 qutu) və m-in ən aşağı dəyəri olan 3 (ən qısa) olduqda qəbul edilə bilər. uzun xətti zəncir, əgər ən qısa zəncirin yalnız 2 qutusu olsaydı, onlar dərhal Hard-Hearted Handout ilə oynanardı və formula fərqli olardı). p = 4 və m = 3 oyunçu B
min(4 + max(0,-1),min(6,5)) = min(4+0,5) = 4
və p > 4 və ya m > 4 oyunçu B 4-dən çox xal qazanacaq.
Əgər eyni ən aşağı dəyərə malik müxtəlif bərabər zəncirlər varsa necə?
Əgər müxtəlif zəncirlər eyni ən aşağı qiymətə malikdirsə, proqramımız əlaqəli zənciri açmaq üçün qaydadan istifadə edir. Arxadakı fikir budur ki, bu açıq zəncir vasitəsilə bir döngənin əlçatan olması ehtimalı var ki, bu da nəzarəti götürməyi/saxlamağı yalnız daha bahalı edə bilər.
Oyunlarda adətən oyunun əvvəlində DD/DDD oynayaraq nəzarəti ələ keçirir. Ancaq 3 qutu və 8 qutudan az olan ilmələr çoxlu zəncir varsa, DD/DDD oynamamaq və nəzarəti ələ keçirməmək daha yaxşı olar. Buna görə də bizə yalnız ümumi bir qayda deyil, ümumi bir alqoritm lazımdır.
DD/DDD-ni nə vaxt oynamaq lazımdır, nə vaxt oynamamaq lazımdır?
Nöqtələr oyunu ilə bağlı ədəbiyyatda DD/DDD-nin ilk oyunu da nəzarəti götürmək. adlanır. Bunun mənası odur ki, oyunçu sonuncu uzun zənciri kimin alacağına nəzarət edir, bu, aşağıda görəcəyimiz kimi DD/DDD OYNAMAYAN oyuna nəzarət etmək və onu qazanmaqla eyni olmaya bilər.
Əgər oyunçunun DD/DDD oynamaq imkanı varsa, bu oyunçunun rəqiblə 2 xal (DD) və ya 4 xal (DDD) qiymətinə rolları dəyişmək imkanı var. Qalan zəncirlərdə optimal şəkildə oynamaqdan əldə edilə bilən balı bilirsinizsə, o zaman 2 (hal-hazırda oynanılan zəncir xəttidirsə) və ya 4 (əgər indiki zəncir varsa) bahasına rolları dəyişməyin məqsədəuyğun olduğuna qərar verə bilərsiniz. -oynadılmış zəncir bir döngədir). Cari zəncirdən qazancla birlikdə cari zənciri açmazdan əvvəl balı müəyyən etmək olar. Açılan zəncirlərin ardıcıllığını bilirsinizsə, bu hesablama oyunun sonundan başlayaraq geriyə doğru aparıla bilər. Belə bir ardıcıllıq yuxarıda 4-cü Qayda ilə müəyyən edilə bilər.
Qayda 5: Aşağıdakı psevdo kodundan istifadə edərək DD/DDD oynayıb-oynamayacağınıza qərar verin.
Aşağıdakı psevdo kompüter kodunda A dəyişəni növbəti zənciri açan oyunçunun oyunun qalan hissəsində əldə etdiyi xalların sayı, B dəyişəni isə digər oyunçunun əldə etdiyi xalların sayıdır. Qalan qutuların sayı A+B-dir. Biz geriyə və rahatlıq üçün etiket zəncirlərini geriyə hesablayırıq: oyunda sonuncu açılan zəncir 1-ci zəncir, ondan əvvəlki zəncir 2-ci zəncirdir və s. Cari zəncir k zənciridir. İstənilən j zəncirində n_j qutuları var. Dəyişən playDD DD/DDD-nin j zəncirində ifa edilib-edilmədiyini qeyd edir.
Aşağıdakı kod sətir(lər)ində
- (1)-(3) sonuncu zəncirin oynanması nəticəsində 3 dəyişəni işə salır.
- (4)-(22) j zənciri üçün A, B, playDD-ni yeniləyin, burada j sonuncu, lakin bir zəncirdən (j=2) indiki k zəncirinə qədər geriyə doğru gedir.
- (5)-(13) j zəncir xəttidirsə, dəyəri 2-dir
- (14)-(22) j zəncir bir döngədirsə, dəyəri 4-dür
- (6)-(9), (15)-(18) qazancı B−A dəyəri (2 və ya 4) dən böyükdürsə, DD-ni oynayın və azaldın dəyəri ilə B və onu A əlavə edin. Hər halda B n_j alın.
(1) A = 0
(2) B = n_1
(3) playDD = false
(4) For each chain j from 2 to k:
(5) If chain j is linear:
(6) If B > (A + 2):
(7) playDD = true:
(8) B = B + n_j - 2
(9) A = A + 2
(10) Otherwise:
(11) playDD = false:
(12) B = A + n_j
(13) A = B
(14) Otherwise → If chain j is a loop:
(15) If B > (A + 4):
(16) playDD = true
(17) B = B + n_j - 4
(18) A = A + 4
(19) Otherwise
(20) playDD = false
(21) B = A + n_j
(22) A = B
Bu hesablamadan sonra A cari zənciri açan oyunçunun hesabıdır B rəqib üçün hesabdır və playDD deyir ki, rəqib indi DD/DDD oynasın. ∎ (5-ci Qaydanın sonu)
Bu kod qeyri-proqramçı üçün çətin görünə bilər, lakin onu ağlında icra etmək asandır, çünki bu, yalnız nəzarətdə qalmağın faydasının onun xərcindən, yəni DD/DDD oynamağın xərcindən üstün olub-olmadığını yoxlamaq deməkdir.
Sınaq Sualı
Biz bilirik ki, ən aşağı dəyər zəncirləri əvvəlcə açılır. Bu o deməkdir ki, DD/DDD oynamaq oyunun sonuna doğru daha faydalı olur?
Başqa sözlə, indi DD/DDD oynamaq həmişə onu sona qədər oynamaq lazım olduğunu bildirir, əks halda rəqib nəzarəti ələ keçirib qalib gələcək?
Demək olar ki, bütün hallarda bəli. Lakin biz Nümunə 6, 2-ci halda gördük ki, bəzi aşağı dəyərli dövrə yalnız yüksək dəyərli xətti zəncirlər tamamlandıqdan sonra əldə edilə bilər. Nəticədə, dövrə açılan zaman DDD-ni oynamaq üçün kifayət qədər stimul olmasa da (son zəncirdə cəmi 3 qutu var idi, DDD isə 4 qutuya başa gəlir), təşviq yalnız 2 qiyməti olan əvvəlki DD-ni oynamaq üçün kifayət idi.
Sınaq Sualı
Tutaq ki, kimsə DD/DDD oynayıb-oynamayacağını düzgün qiymətləndirir. Onlar onu oynamağa və son zənciri almağa qərar verirlər.
Həmin oyunçu həmişə qalib gələcəkmi?
Xeyr. Məsələn, hər biri 3 qutu olan 5 xətti zəncirimiz olduğunu düşünək. Sonuncunu əldə etmək hər biri 2 dəyərində 3 DD ödəmək və 1 qutu almaq üçün kifayət edən 3 qutu stimul verir. Bu o deməkdir ki, birinci zəncir bütövlükdə tamamlanır və daha 3 DD oyunu xal verir (3+2+2+2+0): (0+1+1+1+3) = 9:6 olmayan oyunçu üçün son zənciri alınmayacaq.
Son oyunları oynamaq qaydaları mükəmməldirmi?
Xeyr. Birində 0-qutu və 1-qutu vasitəsilə birləşdirilmiş çoxlu zəncir varsa, onlardan bir neçəsinin eyni sayda qutusu ola bilər və sonra hansı digər zəncirlərə əsaslanaraq optimal olanı seçmək üçün daha dəqiqləşdirilmiş nəzəriyyə və ya axtarış tələb oluna bilər. ilk zəncirlərin tamamlanmasından sonra daha sonra əlçatan olur.
Rəqibin Hard-Hearted Handout-u qeyri-optimal şəkildə oynaması yuxarıdakı oyun sonu nəzəriyyəsində fərq yarada bilərmi?
Mövqelər
+---+---+ +---+ + | və ya | | +---+---+ +---+---+
və ya onların güzgülənmiş/fırlanan versiyaları hər hansı digər xətti zəncirlər kimi bizim qaydalarımıza uyğun olaraq 2 qutudan ibarətdir. Bu zəncirlər növbəti oyunçuya zənciri götürmək və ya DD oynamaq imkanı verir ki, onlara ən azı 3 qutusu olan açıq uzun zəncirlər kimi baxılır.
Uzun Zəncir Qaydası
Qayda 6: Birinci oyunçu nöqtələrin sayını + uzun xətti zəncirlərin sayını cüt, ikinci oyunçu isə bu dəyəri tək etməyə çalışmalıdır.
Qaydanın əsaslandırılması
Başlamaq üçün bəzi dəyişənləri təqdim edirik, burada '#' 'say' deməkdir:
nt = növbələrin # (oyunçu ardıcıl hərəkətlərin sayı)
nd = nöqtə #
r = nöqtələrin sətirlərinin #
c = nöqtə sütunlarının #
nl = sətirlərin #
nb = qutuların #
nc = uzun zəncirlərin #
nz = Oyunun sonunda ilk uzun zənciri açan növbənin #
Biz Eylerin Eyniliyi kimi tanınan əlaqəni əldə etməklə başlayırıq.
nb = (r−1)(c−1) = rc − r − c + 1
nd = rc
nl = # üfüqi xətlər + # şaquli xətlər
= r(c−1) + c(r−1)
= 2rc − r − c
və buna görə də
nl = nb + nd − 1 .
Bu əlaqə ixtiyari qrafiklər, yəni təkcə şaquli və üfüqi deyil, nf üzlərini əhatə edən istənilən sayda nl xətt ilə bağlanmış istənilən sayda nöqtə üçün etibarlı olan Eylerin eyniliyinə bərabərdir, çünki bizim vəziyyətimizdə nf = nb + 1 olur. düzbucaqlı nöqtələr şəbəkəsinin əlavə ətrafı var ki, bu da Eyler eyniliyi sayılır:
nl − nd + 2 = nf (= nb + 1).
Sonra biz bütün oyunun növbələrinin sayını hesablayırıq.
nt = nl − ((ən azı 1 qutunu tamamlanması üçün çəkilən xətlərin #)
− 1 {Sonuncu xananı tamamlamaq başqa bir gediş qalmır.})
= nl − (nb − (2 qutunu tamamlayan gedişlərin sayı) − 1)
= nl − nb + 1 + (2 qutunu tamamlayan gedişlərin sayı)
= nd {əvvəlki əlaqəmizdən istifadə edərək nl = nb + nd − 1}
+ (xətti zəncirlərdə # DD) + (# döngələr) + (döngülərdə # DDD)
Sonuncu sətir ondan irəli gəlir ki, döngəni tamamlayarkən sonuncu hərəkət həmişə iki qutunu tamamlayır və əgər DDD dövrədə oynanılırsa, başqa bir hərəkət də 2 qutunu tamamlayır. Alınan əlaqə
nt = nd + (xətti zəncirlərdə DD #) + (döngülərin #) + (döngülərdə # DDD)
təxmini olmayan dəqiq bir qaydadır.
İlk uzun zənciri açan növbə olan hesablama nz
Oyunun sonunda ilk uzun zəncir açıldıqdan sonra, əgər heç bir DD və heç bir DDD oynanılmazsa, hər bir oyunçu bir zənciri tamamladığı üçün qalan növbələrin sayı uzun zəncirlərin sayına bərabərdir. Buna görə də, əgər (# of DD) = (# of DDD) = 0, onda
nz {son oyunda ilk uzun zənciri açan növbənin #}
= nd + (# döngə) − (# uzun zəncir)
= nd − (# uzun xətti zəncir)
DD/DDD ifa edilərsə, nz üçün düstur da etibarlıdır.
Əsaslandırma:
DD/DDD-nin hər hansı oyunu əvvəllər baş verənləri, yəni son oyunda ilk uzun zəncirin açılmasına səbəb olan nz dönüşlərini dəyişə bilməz. Oynanan hər bir DD və DDD üçün son oyundakı növbələrin sayı 1 artır (zəhmət olmasa, yoxlayın) beləliklə, son oyundakı növbələrin sayını ümumi növbə sayından çıxardıqda (DD-nin sayı) və (DDD-nin sayı) hər biri ləğv ediləcək və biz heç bir DD/DDD oynanılmamış kimi nz üçün eyni dəyəri alacağıq.
Beləliklə, heç bir oyunçu bu hərəkəti etmək istəmir, yəni birinci oyunçu nz-nin tək olmasını istəmir və buna görə də nz-nin cüt olmasını istəyir. 2×(# uzun xətti zəncir) cüt ədəddir, ona görə də onu nz-ə əlavə etmək nz-nin tək və ya cüt olmasını dəyişmir
Uzun Zəncir Qaydası: İkinci oyunçu onu tək etməyə çalışsa da, birinci oyunçu (nöqtələrin #) + (# uzun xətti zəncir) yaratmağa çalışır. ∎
Uzun Zəncir Qaydasının yanlış törəməsi
NÖQTƏLƏR oyunu ilə bağlı bəzi nəşrlərdə Uzun Zəncir Qaydasını əldə etmək üçün iki lazımsız fərziyyə edilir.
1-ci Fərziyyə: Əgər hər iki oyunçu oyunun sonunu optimal şəkildə oynayırsa, son və ən böyük zəncirin yüksək dəyərinə görə və yenidən hərəkət etməməli və rəqib üçün başqa zəncir açmağa ehtiyac olmadığı üçün son gedişi kim oynayarsa, o qalib gəlir.
Beləliklə, birinci oyunçu ilk və son hərəkəti edib qalib gəlmək üçün nt = (növbələrin sayı) qəribə olmasını istəyir.
2-ci Fərziyyə: Sonuncu zəncirdən başqa bütün uzun zəncirlər DD/DDD ilə oynanılır. Beləliklə (döngülərin #) + (döngülərdəki DDD sayı) cütdür və nəzərə alına bilməz və nt = nd + (xətti zəncirlərdə DD sayı) nt = nd + (uzun xətti zəncirlərin #) − 1 olur. birinci oyunçu bu nt-nin qəribə olmasını istəyir ki, sonuncu hərəkəti (nöqtələrin #) + (uzun xətti zəncirlərin #) cüt olduqda - Uzun Zəncir Qaydasını edə bilsin. ∎
Amma biz bilirik ki, bu 2 fərziyyə Uzun Zəncir Qaydasının doğru olması üçün lazım deyil. Növbəti nümunə bunu nümayiş etdirəcək.
Bir oyunçu üçün qayda hansı uğura zəmanət verir?
The Long Chain Rule gives a necessary and sufficient condition to decide which player is the first to play in the first opened long chain in the endgame. This player P can choose whether to play DD/DDD or not to play DD/DDD. We have 2 cases.
If the first long chain is linear then it has at least 3 boxes, and playing DD has a cost of 2 boxes.
• If the incentive for playing DD is <2 then player P will not play DD and take the whole first chain and the opponent will get at most 1 more box from the remaining chains, so P gets in the endgame at least 3−1 = 2 more boxes than the opponent.
• If the incentive is 2 then it does not matter whether P does play DD or does not play DD in the first long chain and therefore gains ≥3 boxes more in the endgame.
• If the incentive is >2 then P plays DD and gets >3 boxes more in the endgame.
If the first long chain is a loop then in the worst case the first chain has 4 boxes and the incentive is 4 and then whether one plays DDD or not, both players will get the same number of points in the endgame. But if the incentive is >4, then playing DDD will give more points and if the incentive is <4 then not playing DDD will give more points because the loop has at least 4 boxes. And if the first long chain is a loop with more than 4 boxes, then P will get these extra points as an advantage in the end game, even if the incentive is 4.
What are possible score differences at the start of the endgame?
• If the number of 1-chains is even and the number of linear 2-chains is even then the score difference at the start of the endgame is zero.
• If the number of 1-chains is even and the number of linear 2-chains is odd then the score at the start of endgame is 2.
• If the number of 1-chains is odd then after completing all 1-chains, the score difference is 1. Then each completed 2-chain will only flip between both players of who is leading by 1 box.
So how important is the Long Chain Rule?
When does the Long Chain Rule not determine the outcome?
Which rule should be followed then?
Nümunə 7: Qeyri-adi vəziyyətdə qaydanın sınaqdan keçirilməsi
Bu lövhədə tək sayda 5×3 = 15 hərəkət edildi. Hərəkət 16, əldə etdiyimiz düstura cavab verən ilk uzun zənciri açacaq: 16 = (nöqtələrin sayı) - (xətti uzun zəncirlərin #) = 20 − 4. Bu hərəkəti kim edirsə, bu halda oyunçu B, oyunçunu itirəcək. A DD-ni uyğun şəkildə oynayır.
+ + + + + | | | | | + + + + + | | | | | + + + + + | | | | | + + + + +
Oyunçu A başlayır və B oyunçusu indi zənciri açmalıdır.
Üç DD ifa edilərsə, hesab nədir?
Əgər A DD-ni 3 dəfə oynayırsa, yekun hesab A:B = 6:6-dır.
+---+---+---+---+ | A | A | A | A | +---+---+---+---+ | B | B | B | A | +---+---+---+---+ | B | B | B | A | +---+---+---+---+
Son 3 zəncir üzrə hesab 5:4-dür, ona görə də birinci zəncirdə DD oynamaq və bir xal almaq üçün 2 xalla ödəmək optimal deyil.
İki DD oynanarsa, hesab nədir?
A üçün bütün birinci zənciri götürüb A:B = 7:5 yekun xal alması daha yaxşıdır.
+---+---+---+---+ | A | B | B | B | +---+---+---+---+ | A | A | A | B | +---+---+---+---+ | A | A | A | B | +---+---+---+---+
Uzun Zəncir Qaydasının yanlış törəməsi ilə bağlı hansı fərziyyə pozulur?
Hər iki fərziyyə pozulub. A qalib gəlir, lakin sonuncu zənciri əldə etmir. DD hər uzun xətti zəncirdə ifa olunmur.
Uzun Zəncir Qaydası bu optimal oyun üçün hələ də qüvvədədirmi?
Biz (# nöqtə) + (# uzun xətti zəncir) = 20 + 4 = 24 alırıq ki, bu da bərabərdir və qaydanın proqnozlaşdırdığı kimi birinci oyunçu qalib gəlir. Beləliklə, bu qayda lazımsız fərziyyələr və yanlış şərhlərlə alternativ sübutdan daha yaxşıdır.
Sınaq Sualı
Optimal oyun DD/DDD-ni oynamaq YA DD/DDD-ni oynamamaq tələb edir?
Xeyr, hər ikisi eyni dərəcədə yaxşı ola bilər. 3 qutu ilə yalnız iki uzun zəncirlə A, A:B = 4:2 hesabı verən DD oynamalıdır.
+ + + +---+---+ | | | | A | A | + + + +---+---+ | | | → | B | A | + + + +---+---+ | | | | B | A | + + + +---+---+
Beləliklə, bu iki zəncirdən əvvəl DD oynamaq üçün stimul 4 − 2 = 2-dir ki, bu da DD oynamağın qiymətinə bərabərdir. Buna görə də hər iki oyun eyni xalı verir: 4:(2+3) = 4:5 = (2+2):(4+1)
+---+---+---+ +---+---+---+ | B | A | A | | B | B | B | +---+---+---+ +---+---+---+ | B | B | A | = | A | A | B | +---+---+---+ +---+---+---+ | B | B | A | | A | A | B | +---+---+---+ +---+---+---+
Sınaq Sualı
Ola bilərmi ki, optimal oyun zamanı oyunçular dəfələrlə DD/DDD oynamağa başlayıb dayandırsınlar?
Bəli. Yuxarıda gördük ki, 3 qutu ilə zənciri əlavə etməklə hesabı 4:2-dən 4:(2+3) = 4:5-ə dəyişdi. Bu 3 zəncirdən əvvəl DD oynamaq həvəsi 5−4 = 1 < 2 olacaq, beləliklə, DD oynama qiymətindən 2 az olacaq. Beləliklə, 3 qutudan ibarət dörd zəncirlə birincisi DD ilə oynanmayacaq. Əgər 3 qutudan ibarət başqa bir zəncir olsaydı, hesab (4+3):5 = 7:5 = (4+1):(5+2) olardı, beləliklə, 3 qutudan ibarət 5 zəncirdə ikinci oynamaq həvəsi 7−5 = 2, buna görə də DD oynamaq hər iki halda (2+5):(1+7) = 7:8 = 7:(3+5) xalını verməklə yaxşı olardı.
+---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+ | B | B | A | A | A | | B | B | A | B | B | +---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+ | A | B | B | B | A | = | A | B | A | A | B | = +---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+ | A | B | B | B | A | | A | B | A | A | B | +---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+ | B | A | B | B | B | | B | A | B | A | A | +---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+ | B | A | A | A | B | = | B | A | B | B | A | +---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+ | B | A | A | A | B | | B | A | B | B | A | +---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+
3 qutu ilə daha çox zəncir əlavə etməklə DD-nin oynanması və oynanılmaması arasında daha çox dəyişiklik ola bilər.
Uzun Zəncir Qaydası qane edir?
Oxucuya uzun zəncir qaydasını döngələri əhatə edən daha çox nümunə ilə yoxlamaq tövsiyə olunur.
Nümunə 8: Uzun Zəncir Qaydasının Tətbiqi
David Wilson tərəfindən yazılmış bu vebsaytda növbəti oyunçunun qalib gəlməsi üçün yalnız bir hərəkəti olan aşağıdakı mövqe göstərilir.
+ + + +
|
+ + +---+
+---+---+---+
|
+ +---+ +
Hər iki oyunçu oyun sonu qaydalarımıza əməl etsəydi, kim qalib gələrdi?
Bu lövhədə cüt sayda nöqtə və cüt sayda uzun zəncir var. Son uzun zəncirdə DD hərəkəti oynanmayacaq, buna görə də tək sayda DD hərəkəti normal olaraq oynanacaq və beləliklə, # xal + # DD təkdir, ona görə də növbələrin sayı təkdir, ona görə də birinci oyunçu sonuncu zənciri alacaq və qalib. Bu, "Uzun Zəncir Qaydası"na uyğundur: "Birinci oyunçu # nöqtə + # uzun (xətti) zəncirləri cütləşdirməyə, ikinci oyunçu isə onu tək etməyə çalışmalıdır."
2-ci oyunçu nə edə bilər?
2-ci oyunçu nöqtələrin sayını dəyişə bilməz, əksinə, 2 qutunu qurban verərək və B kimi işarələnmiş hərəkəti oynayaraq DD hərəkətlərinin sayını dəyişə bilər ki, bu da 2-ci oyunçunun bu vəziyyətdə qazandığı yeganə qalibiyyətdir:
+ + + +
|
+ + +---+
+---+---+---+
| B
+ +---+ +Bu hərəkət uzun zəncirlərin sayını 2-dən 1-ə endirir və beləliklə, # nöqtələri + # uzun (xətti) zəncirləri tək edir və beləliklə, 2-ci oyunçuya bir xal itirmək əvəzinə bir xal qazanmağa imkan verir.
Oyun necə davam edə bilər?
Aşağıdakı variasiyaların hamısı A:B = 4:5, beləliklə, B üçün 1 xallıq qələbəyə gətirib çıxarır.
+ +A10+B6-+
A3 | B9 A11
+ +A5-+---+
B4 A12
+---+---+---+
| | A2 B8
+A1-+---+A7-+
+A3-+A5-+B6-+
A11 | A12
+B9-+ +---+
A10 B4
+---+---+---+
| | A2 B8
+A1-+---+A7-+
+A3-+A10+B6-+
| B9 A11
+ +B4-+---+
A5 A12
+---+---+---+
| | A2 B8
+A1-+---+A7-+
Bu hərəkətin edilməsi, həqiqətən də lazım deyilsə, 3 qutu yaratmamaq kimi ilk Qayda 1-i pozur. 1-ci Qaydanın pozulması nə qədər pisdir?
1-ci Qaydanın pozulması DD oynamaq qədər qəribə deyil. Daha əvvəl öyrəndiyimiz kimi, rolları dəyişmək üçün DD oynamaq və 2 xal ödəmək normaldır. Beləliklə, bu qurban bir DD hərəkəti ilə eyni təsirə malikdirsə, minimal və gözəldir.
Bu səhifənin yuxarıdakı hissəsində texniki terminlər təqdim edilmiş və qaydalar tərtib edilmişdir. Oyunun sonu ətraflı təsvir olunur və oyunun birinci hissəsi üçün Uzun Zəncir Qaydası təlimat verir. Əgər oyunun birinci hissəsi haqqında daha çox öyrənmək istəyirsinizsə, lütfən, İstinadlarda [2] və [3]-ə baxın. Aşağıdakı qərar ağacı bu veb səhifəni ümumiləşdirir.
Qərar Ağacı
Aşağıdakı bağlantıların işləməsi üçün yuxarıdakı mətni klikləməklə açmaq lazımdır
- Before starting the game think of whether to play first or second. See point 3.A.a below.
- Ən azı bir 3 qutu (tamamlana bilən qutu) varsa, bütün bu 3 qutuya əlavə edilmiş bütün zəncirləri müəyyənləşdirin.
- Əgər bu zəncirlərdən biri xəttidirsə və ən azı 2 qonşu qutusu varsa, bu bir xətti zəncirin bu iki qonşu qutusundan başqa bütün xətti və bütün ilgəkli zəncirlərdən bütün qutuları tamamlayın. Sonra GD-ni oynayıb-oynamayacağınızı təhlil edin və ya DD-ni oynayın, ya da son 2 qutunu tamamlayın.
- Əgər bütün zəncirlərin uzunluğu 1-dirsə və ya ilgəklidirsə, əvvəlcə 1 uzunluğundakı bütün zəncirləri tamamlayın və ən azı bir ilgəkli zəncir varsa, onda ilgəkli zəncirlərdən birinin son 4 qutusu istisna olmaqla, bütün ilgək zəncirlərini tamamlayın. Sonra DDD-ni oynayıb-oynamayacağınızı təhlil edin və ya son 4 qutunu tamamlayın.
- Əgər tamamlana bilən qutu yoxdursa, onda
- Hər bir hərəkət 3 qutu yaradacaqsa, o zaman
- ən qısa zəncir 2 zəncirdirsə
+---+---+ +---+---+
2 çəkilməmiş xəttin eyni qutuda olmamaq şərti ilə hər yerdə ola biləcəyi, sonra çatmaq üçün ortada oynayın:+---+---+ | +---+---+ - Əks halda, açılacaq növbəti zənciri təyin edin və bu zəncirin istənilən yerində oynayın.
- ən qısa zəncir 2 zəncirdirsə
- 3 qutu yaratmayan hərəkət varsa
- if in the game there will be at most 1 long chain (linear or loopy), for example, because the rectangle of dots is small or thin, then no DD/DDD moves will be played and then the player taking the last turn wins and because of the Number of Turns Formula, the first player should try to make the sum # of dots + # of loops odd and the second player even. Because the # of dots is fixed, one can only try to get 0 respectively 1 loop. If that is impossible then change who is playing first.
- əgər oyunun sonunda neçə xətti zəncir olacağı aydındırsa və Uzun Zəncir Qaydası oyunu uduzmağı proqnozlaşdırırsa, uzun zəncirlərin sayını azaltmaq üçün fədakarlıq hərəkəti etməyi düşünün, əks halda
- əgər oyunun sonunda neçə uzun zəncir olacağı bəlli deyilsə, birinci oyunçu kimi # nöqtədən + # uzun (xətti) zəncirləri tək, ikinci oyunçu kimi isə cəmi cütləşdirməyə çalışır.
- Hər bir hərəkət 3 qutu yaradacaqsa, o zaman
Referanslar
[1] Vikipediya: Nöqtələr və Qutular, oradakı digər istinadlara baxın.
[2] Berlekamp, Elwyn R.; Conway, John H.; Guy, Richard K. (1982), "Chapter 16: Dots-and-Boxes", Winning Ways for your Mathematical Plays, Volume 2: Games in Particular, Academic Press, pp. 507–550.
[3] Berlekamp, Elwyn (2000), The Dots-and-Boxes Game: Sophisticated Child's Play, AK Peters, Ltd, ISBN 1-56881-129-2.
[4] Wilson, David, Dots-and-Boxes Analysis Results, University of Wisconsin
İndeks
Aşağıdakı bağlantıların işləməsi üçün yuxarıdakı mətni klikləməklə açmaq lazımdır
- # ...
- ... sayı
- Qutu
- küncləri 4 qonşu nöqtə olan kiçik kvadrat
- ?-Qutu
- Qutunun 0, 1, 2, 3, 4 tərəfi çəkilə bilər və sonra 0 qutu, 1 qutu, 2 qutu, 3 qutu, 4 qutu adlanır.
- Zəncir
- bağlı 2 qutudan ibarət ardıcıllıq. xətti zəncirlər və ilməkli zəncirlər var.
- İkiqat çarpaz hərəkət
- iki qonşu qutunu bir anda tamamlayan hərəkət. O, xətti zəncir də Double Dealing hərəkətindən dərhal sonra və ya dövrə tamamlandıqda oynanılır.
- DD
- ,Double Dealing qısaldılmış halı
- DDD
- ,Double Double Dealing qısaldılmış halı
- Double Dealing
- ,Hard-Hearted Handout-un sərhədində hərəkət
+---+---+ | | . +---+---+
- Double Double Dealing
- a move in the middle of an opened loop with 4 remaining boxes, creating, for example,
+---+---+ +---+---+---+---+ | | | | | +---+---+ və ya +---+---+---+---+ və ya | | +---+---+ +---+---+ +---+---+---+ | | | | | +---+---+---+ və ya +---+---+ + | | | | +---+---+ +---+ - Son Oyun
- növbəti hərəkətdə 3 qutu yaratmaq qaçınılmaz olduqda başlayan oyunun son mərhələsi
- Eylerin eyniliyi
- xətlərin kəsişmədiyi təkcə Nöqtələr oyunu deyil, təyyarədəki hər hansı qraf üçün ümumi əlaqə: (sətirlərin sayı) − (nöqtələrin sayı) + 2 = (üzlərin #) üzlərə 'xarici üz' daxil olduğu yerdə bizim üçün (üzlərin #) = (qutuların #) + 1.
- Qrafik
- riyaziyyatda bir neçə nöqtənin bir sıra xətlərlə bağlandığı bir anlayış
- Hard-Hearted Handout
- drawing the middle line in
+---+---+ +---+---+ +---+---+ və ya | və ya | | +---+---+ +---+ + + + +or rotated and mirrored versions of them resulting in+---+---+ +---+---+ +---+---+ | və ya | | və ya | | | +---+---+ +---+ + + + +or rotated and mirrored versions of them - Half-Hearted Handout
- iki qutu ilə zəncirin sərhəddinə xətt çəkməklə
+---+---+ +---+---+ | və ya | | +---+---+ +---+ +
- Xətt
- iki qonşu nöqtəni üfüqi +---+ və ya şaquli olaraq birləşdirən xətt seqmenti
- Xətti zəncir
- 2 ucu olan zəncir, mütləq düz deyil
- Uzun Zəncir Qaydası
- Birinci oyunçu # nöqtə + # uzun zənciri cütləşdirməyə, ikinci oyunçu isə bu dəyəri tək etməyə çalışmalıdır.
- Uzun zəncir
- ≥ 3 qutu olan zəncir
- Çılğın gediş
- rəqibə qurban vermək imkanı verən hərəkət
- Döngü
- ,loopy chain üçün qısaldılma
- Loopy chain
- sonu olmayan zəncir
- Gediş
- ,xətt çəkmək
- Number of Turns Formula
- an exact formula giving the number of turns in a game which is the basis for the Long Chain Rule and which is useful for a low number of dots to decide whether to be the first player or not
- Zəncirin açılması
- zəncir daxilində və ya onun uclarından birində hərəkət etmək (xətti zəncirdirsə)
- Qayda 1
- Ən aşkar oyun rəqibin onu tamamlayaraq götürə biləcəyi 3-qutu yaratmamaqdır.
- Qayda 2
- Sifariş zəncirləri üçün sonuncu zəncir üçün ən böyük xətti zənciri götürün və xətti zəncir yoxdursa, ən böyük döngəni əldə edir.
- Qayda 3
- Oyunun sonunda bütün qutuların ən azı 2 tərəfi çəkilibsə, bütün digər zəncirləri sifariş etmək üçün onları (qutuların sayı) − 2 (əgər bu döngədirsə) ilə sıralayır.
- Qayda 4
- Növbəti oyunçu üçün dəyərə görə çeşidlənmiş zəncirlər ardıcıllığını yaratmaq üçün əvvəlcə ən aşağı qiymətə bütün lövhə tamamlanana qədər hərəkətlər ardıcıllığını yerinə yetirin (mətnə baxın).
- Qayda 5
- DD/DDD-ni oynayıb-oynamayacağınıza qərar vermək üçün təqdim olunmuş kodlaşdırmadan istifadə edin (mətnə baxın).
- Qayda 6
- ,Uzun Zəncir Qaydasına istinad
- Kontrolu ələ almaq
- DD/DDD oynaması ilə eynidir ki, bu da mühüm yan təsir kimi, növbəti zəncirlərdə DD/DDD-ni təkrarlamaq imkanı verir.
- Növbə
- bir oyunçunun ardıcıl hərəkətləri ardıcıllığı
Follow or subscribe for updates: