300000
English | Français | فارسی | 中文 | Українська | Azerbaijani | ខ្មែរ | Tiếng Việt | Bahasa Melayu | Deutsch | O'zbek | Русский
Hướng dẫn này sẽ giới thiệu cho bạn chủ đề Lý thuyết Nút thắt. Phần đầu tiên giới thiệu về các khái niệm toán học quan trọng và thuật ngữ.
Nếu bạn chỉ đang tìm kiếm các mẹo nhanh để giải các câu đố Gỡ nút thắt, hãy chuyển sang phần thứ hai. Bạn có thể
tham khảo phần đầu tiên nếu không rõ định nghĩa của một số từ.
Giới thiệu các Khái niệm
Giới thiệu
Đầu tiên: Nút thắt là gì? Nút thắt trong toán học khác với nút thắt trong cuộc sống hàng ngày.
Bạn sử dụng các loại nút thắt nào hằng ngày?
Chúng khác nút thắt toán học như thế nào?
Có nút thắt toán học nào trong cuộc sống hàng ngày không?
Trò chơi Gỡ nút thắt hoạt động như thế nào?
Các định nghĩa
Từ đây, chúng ta chỉ nói về các nút thắt toán học. Để tránh hiểu lầm và để có thể quyết định xem bất kỳ điều gì là đúng hay sai, chúng ta nên bắt đầu với định nghĩa một số từ cho phần còn lại của trang này.
đường nút thắt
:
Biểu đồ nút thắt:
Nút thắt toán học (hoặc đơn giản là, nút thắt):
đồng vị xung quanh:
bước đi:
điểm cắt:
đường chuyền:
chuyển đổi:
định hướng
:
thuận tay chéo:
Số ghi:
nút bất biến:
số điểm cắt:
cung:
lỗ :
sợi phía trên:
sợi nằm dưới:
Di chuyển Reidemeister:
Di chuyển Reidemeister 1:
Di chuyển Reidemeister 2:
Di chuyển Reidemeister 3:
di chuyển vượt qua:
P- di chuyển:
di chuyển P0:
P + di chuyển:
số không xác định:
Cách đơn giản hóa sơ đồ
Tìm chuyển động của R1
Tương tự với các bước di chuyển của R1, có thể dễ dàng phát hiện ra các bước di chuyển nguyên mẫu của R2 giống như ở đây, trong đó hai lần di chuyển R2 cần được thực hiện trước khi một lần di chuyển R1 mang lại điều không đúng:
Giới thiệu về Giao diện (1)
Tìm P- Di chuyển
Tìm chuyển động R3
Giới thiệu về Giao diện (2)
Tìm P0 Moves
Tìm P+ Moves
Tìm Di chuyển U1
Tìm Di chuyển U2
Tìm Di chuyển P0U
Mách nước đi và Mẹo bởi Puzzle Type
Thông tin tham khảo thêm về Nút thắt
![Show](/images/plus.png)
Giới thiệu
Đầu tiên: Nút thắt là gì? Nút thắt trong toán học khác với nút thắt trong cuộc sống hàng ngày.
![Show](/images/plus.png)
Hầu hết chúng ta sử dụng nút thắt để buộc dây giày, thắt cà vạt hoặc khăn quàng cổ, buộc quai túi, v.v. Bạn có thể thấy nhiều nút thắt hơn khi bạn đi thuyền buồm, cắm trại, câu cá hoặc khi bạn khâu, đan, hoặc tạo kiểu tóc.
Tuy nhiên, những cái này không phải nút thắt toán học!
![Show](/images/plus.png)
Hãy xem hai sơ đồ các nút thắt sau. Thật khó hiểu, cả hai này đều được gọi là nút thắt 'số tám', vì hình số 8 trong đó.
Bạn có thể thấy có điều gì khác biệt? Chúng tôi chắc chắn bạn có thể nhận ra nó!
Nút thắt Số Tám trong đời sống
Nút thắt Số Tám toán học
![Show](/images/plus.png)
Sự khác biệt lớn nhất là nút thắt toán học là một đường cong khép kín − nghĩa là, không có kết thúc lỏng lẻo, đó là một vòng xoắn khép kín. Cái mà chúng ta gọi là 'nút thắt' trong cuộc sống hàng ngày được gọi là 'dây bện' trong toán học.
Ngoài ra, trong khi các nút thắt trong cuộc sống hàng ngày có thể bao gồm nhiều hơn một sợi, trong toán học các nút thắt là một sợi đơn, khép kín, liên tục. Các vật có nhiều hơn một nút thắt vào nhau được gọi là 'liên kết'.
Ngoài ra, trong khi các nút thắt trong cuộc sống hàng ngày có thể bao gồm nhiều hơn một sợi, trong toán học các nút thắt là một sợi đơn, khép kín, liên tục. Các vật có nhiều hơn một nút thắt vào nhau được gọi là 'liên kết'.
![Show](/images/plus.png)
Chắc chắn có! Bây giờ bạn biết rằng trong toán học, một nút thắt là một sợi đơn, khép kín, liên tục.
Với định nghĩa này, nút thắt toán học đơn giản nhất là gì?
Làm thế nào bạn có thể tạo một nút toán học từ một đoạn dây?
![Show](/images/plus.png)
Nút toán học đơn giản nhất chỉ là một vòng xoắn hoặc vòng tròn, như thế này:
Chúng ta sẽ nói rõ hơn về nút thắt này ở phần sau, nhưng có rất nhiều ví dụ về các vòng xoắn đơn giản như thế này trong cuộc sống.
![Show](/images/plus.png)
Nút thắt toán học đơn giản nhất là một vòng tròn. Để làm ra nó, chỉ cần dán các đầu dây của bạn lại với nhau.
Điều gì xảy ra nếu bạn xoắn vòng tròn của mình một lần?
Đây có phải là một nút thắt khác không?
Tất cả các nút thắt có thể bị biến dạng để tạo thành một vòng tròn không?
Biểu đồ nút thắt có thể trông khác dạng đơn giản nhất như thế nào?
![Show](/images/plus.png)
Nếu muốn có vòng xoắn từ sợi dây thì hãy xoắn nó và đặt nó bằng phẳng, bạn có thể nhận được một cái gì đó như thế này:
![Show](/qi/knots/B5/unused/rarrow.gif)
![Show](/images/plus.png)
Tất nhiên là nút thắt! Tất cả những gì bạn làm là xoắn nó.
Điều này có vẻ dễ dàng, nhưng tìm cách để biết liệu hai biểu đồ (hình ảnh) có hiển thị cùng một nút thắt hay không là một câu hỏi rất khó và quan trọng đối với các nhà toán học nghiên cứu Lý thuyết nút thắt.
Một cách để xem hai hình ảnh thể hiện cùng một nút thắt chính là xem liệu bạn có thể làm biến dạng một trong hai cái để trông giống cái kia hay không. Ví dụ: ở đây bạn chỉ cần xoắn nó lại để lấy vòng xoắn.
Điều này có vẻ dễ dàng, nhưng tìm cách để biết liệu hai biểu đồ (hình ảnh) có hiển thị cùng một nút thắt hay không là một câu hỏi rất khó và quan trọng đối với các nhà toán học nghiên cứu Lý thuyết nút thắt.
Một cách để xem hai hình ảnh thể hiện cùng một nút thắt chính là xem liệu bạn có thể làm biến dạng một trong hai cái để trông giống cái kia hay không. Ví dụ: ở đây bạn chỉ cần xoắn nó lại để lấy vòng xoắn.
![Show](/qi/knots/B5/unused/2wayharrow.gif)
![Show](/images/plus.png)
Để trả lời câu hỏi, hãy thử làm điều này:
Bạn có thể biến dạng cái này để có hình tròn không?
- lấy một sợi dây
- xoắn nó để tạo thành một vòng xoắn
- luồn một đầu dây qua vòng xoắn
![Show](/qi/knots/B5/unused/rarrow.gif)
![Show](/images/plus.png)
Hãy thử xem, không có cách nào biến nút thắt này thành hình tròn đâu. Ít nhất, không thể không cắt dây và dán chúng lại với nhau.
Đây thực sự là một nút toán học khác, được gọi là nút ba lá vì nó trông giống như một chiếc cỏ ba lá.
Đây thực sự là một nút toán học khác, được gọi là nút ba lá vì nó trông giống như một chiếc cỏ ba lá.
![Show](/images/plus.png)
Một tính chất quan trọng khác của các nút thắt toán học là chúng có thể được kéo dài và uốn cong một cách bất kì. Ví dụ: biểu đồ nút thắt đơn giản nhất của chúng tôi trông giống hình vuông hơn là hình tròn − chúng ta có thể vẽ nó như một hình tròn hoàn hảo, và nó sẽ là một nút tương tự. Bạn có thể lấy một nút thắt đơn giản nhất, một hình tròn, và kéo nó ra thành một hình elip dài hẹp, sau đó sử dụng nó như một sợi dây để buộc thành 'nút thắt hình số 8 trong đời sống'. Về mặt toán học, nó vẫn là một đường tròn.
Sau đó, như bạn có thể mong đợi, các biểu đồ khác nhau của cùng một nút cơ bản có thể trông khác nhau đáng kể! Ví dụ: Gordian Knot và biểu đồ này đều có thể biến dạng được thành một vòng tròn, nếu đủ sự kiên nhẫn. Chúng là các biểu đồ của cùng một nút với đường tròn.
Hình tròn chỉ là cách dễ nhất để vẽ nút thắt này, nhưng nút thắt không thực sự là hình tròn, nó là một đối tượng toán học trừu tượng mà chúng ta có thể biểu diễn theo nhiều cách khác nhau. Tương tự như cách mà "1 ô tô" và "1 quả táo" không phải là số 1, một vòng tròn chỉ là một cách để đại diện cho nút thắt này.
Sau đó, như bạn có thể mong đợi, các biểu đồ khác nhau của cùng một nút cơ bản có thể trông khác nhau đáng kể! Ví dụ: Gordian Knot và biểu đồ này đều có thể biến dạng được thành một vòng tròn, nếu đủ sự kiên nhẫn. Chúng là các biểu đồ của cùng một nút với đường tròn.
Hình tròn chỉ là cách dễ nhất để vẽ nút thắt này, nhưng nút thắt không thực sự là hình tròn, nó là một đối tượng toán học trừu tượng mà chúng ta có thể biểu diễn theo nhiều cách khác nhau. Tương tự như cách mà "1 ô tô" và "1 quả táo" không phải là số 1, một vòng tròn chỉ là một cách để đại diện cho nút thắt này.
![Show](/images/plus.png)
Trong trò chơi này, bạn biến dạng các sơ đồ thắt nút toán học để giảm số điểm cắt càng nhiều càng tốt.
Trong khi bạn được phép 'cắt' các sợi bằng cách bấm vào chúng, bạn chỉ đang sửa đổi biểu đồ, chứ không phải nút ở dưới. Đây là lý do tại sao có một hạn chế về cách bạn có thể gắn lại các đầu mà bạn đã 'cắt'. Hạn chế này đảm bảo rằng nút toán học không thay đổi trong bất kỳ lần định tuyến lại nào của các sợi ngay cả khi nút thay đổi biểu đồ của nó. .
Khi nào bạn phải gỡ các nút thắt trong cuộc sống hằng ngày?
Hãy thử một số trò chơi nút thắt toán học khác!
Trong khi bạn được phép 'cắt' các sợi bằng cách bấm vào chúng, bạn chỉ đang sửa đổi biểu đồ, chứ không phải nút ở dưới. Đây là lý do tại sao có một hạn chế về cách bạn có thể gắn lại các đầu mà bạn đã 'cắt'. Hạn chế này đảm bảo rằng nút toán học không thay đổi trong bất kỳ lần định tuyến lại nào của các sợi ngay cả khi nút thay đổi biểu đồ của nó. .
![Show](/images/plus.png)
Bạn có thể đã quen với việc vật lộn gỡ các loại cáp điện tử như dây tai nghe. Nếu bạn đi giày, bạn phải tháo dây giày.
Đặc điểm tương tự của các nút thắt này là điều khiến chúng trở nên hữu ích, nhưng cũng khó gỡ hơn.
Điều gì khiến các nút thắt trong cuộc sống hàng ngày rất khó gỡ?
Đặc điểm tương tự của các nút thắt này là điều khiến chúng trở nên hữu ích, nhưng cũng khó gỡ hơn.
![Show](/images/plus.png)
Câu trả lời là ma sát! Tuy nhiên, các nút thắt toán học không có ma sát. Bạn có thể coi chúng là 'trơn vô hạn'.
![Show](/images/plus.png)
Trò chơi Gỡ nút thắt của chúng tôi là một cách để giải trí với các nút thắt trên máy tính, nhưng có một số trò chơi khác cho bạn thử:
- 1 người chơi : Tháp Eiffel và các thủ thuật đi dây khác
- 2 người chơi : Cái nôi của mèo
- Nhóm : Nút thắt người
Các định nghĩa
Từ đây, chúng ta chỉ nói về các nút thắt toán học. Để tránh hiểu lầm và để có thể quyết định xem bất kỳ điều gì là đúng hay sai, chúng ta nên bắt đầu với định nghĩa một số từ cho phần còn lại của trang này.
![Show](/images/plus.png)
một đường cong khép kín trong không gian 3 chiều không tự giao nhau và có độ dày hữu hạn (để tránh vô số nút thắt nhỏ hơn và nhỏ hơn dọc theo đường nút thắt), Ví dụ:
nút thắt số 8.
![Show](/images/plus.png)
hình chiếu của đường thắt nút thành 2 chiều trong đó các phần khác nhau của đường thắt nút có thể cắt nhau (trên trang web này các đường giao nhau dưới một góc 90 °), nhưng không nằm chồng lên nhau.
Các ví dụ biểu đồ nút thắt:
'Nút gỡ' còn được gọi là 'nút thắt bình thường'.
Các ví dụ biểu đồ nút thắt:
Tháo nút thắt
Lá trefoil
Hình tám
Cinquefoil
Ba xoắn
'Nút gỡ' còn được gọi là 'nút thắt bình thường'.
Nút gỡ. Bạn có thấy chúng có thể bị biến dạng thành hình chữ nhật như thế nào không?
CTrefoil.
Bạn có thể biến dạng hình này thành hình kia bằng cách lật vòng cung trên xuống.
![Show](/images/plus.png)
vật trừu tượng đằng sau một tập hợp (vô hạn) các biểu đồ nút thắt mà tất cả đều có thể bị biến dạng, kéo dài và dịch chuyển vào nhau mà không bị cắt. Ví dụ: nút 31 còn được gọi là 'trefoil', là nút không bình thường đơn giản nhất.
![Show](/images/plus.png)
thuật ngữ toán học khi một đường thắt nút có thể liên tục bị bóp méo thành một đường khác.
![Show](/images/plus.png)
Trên trang web này, các biểu đồ nút thắt chỉ được vẽ bằng 6 gạch mà chúng tôi gọi là các bước đi:
![Show](/images/plus.png)
vị trí hai bước cắt nhau trong một biểu đồ, một bước ở trên bước kia:
![Show](/images/plus.png)
một bước đi qua trong chỗ điểm cắt, có đường chuyền phía trên (nhìn thấy hoàn toàn) và đường chuyền nằm dưới (bị che một phần).
![Show](/images/plus.png)
hoán đổi đường chuyền phía trên và đường chuyền nằm dưới của chỗ điểm cắt, tức là chuyển đổi giữa hai đường giao nhau này:
Nếu một điểm cắt được chuyển đổi, biểu đồ cũ và mới nói chung thể hiện các nút thắt khác nhau.
Việc chuyển đổi tất cả các điểm cắt tương đương với việc thay đổi một nút đối với hình ảnh phản chiếu của nó. Một số nút giống hệt với phiên bản được phản chiếu của chúng, điều đó có nghĩa là có một đồng vị xung quanh giữa chúng. Chúng được gọi là 'đối xứng'. Ví dụ, nút thắt hình số 8 là đối xứng. Những người khác không thể bị biến dạng thành phiên bản được phản chiếu của chúng, như cây trefoil. Chúng được gọi là 'bất đối xứng'.
Nút thắt này có thể biến dạng thành hình ảnh phản chiếu của nó không?
![over-crossing](/qi/knots/B5/bc.gif)
![under-crossing](/qi/knots/B5/bC.gif)
![Show](/images/plus.png)
Có! Biểu đồ này đại diện cho nút thắt hình số tám, là một mặt phẳng và có thể bị biến dạng thành hình ảnh phản chiếu của nó như sau:
Lưu ý rằng sự khác biệt duy nhất giữa biểu đồ đầu tiên và biểu đồ cuối cùng là tất cả các điểm cắt được hoán đổi!
Điểm khởi đầu
Xoay góc 180°
Di chuyển một sợi
Hình ảnh phản chiếu
Lưu ý rằng sự khác biệt duy nhất giữa biểu đồ đầu tiên và biểu đồ cuối cùng là tất cả các điểm cắt được hoán đổi!
![Show](/images/plus.png)
Đây không phải là thuộc tính của đường thắt nút, cũng không phải của nút thắt. Đó là một câu hỏi làm thế nào để di chuyển dọc theo đường thắt nút. Người ta có thể di chuyển theo 2 hướng hay còn gọi là 2 định hướng.
Một nút thắt có thể bị biến dạng từ một đồng vị xung quanh thành chính nó nhưng với hướng bị đảo ngược được gọi là ‘nghịch đảo’, nếu không nó được gọi là không đảo ngược được. Nút không đảo ngược được nhỏ nhất là 8 17 đối xứng nhưng nếu một hướng được thêm vào thì nút này sẽ trở thành nút bất đối xứng (tìm thêm trên trang Wikipedia Nút Không thể đảo ngược (the Invertible Knot). Việc thêm nhiều cấu trúc hơn (ở đây là một định hướng) khiến nó mất đi tính đối xứng (không còn giống với hình ảnh phản chiếu của nó nữa).
Nút thắt hình số tám ở trên có 4 điểm cắt nhau, nhỏ hơn 8, và vì thế xoay ngược được.
Làm thế nào để biến dạng nút thắt hình số 8 mà giữ nguyên biểu đồ của nó nhưng hướng lại bị xoay ngược?
Trong một ví dụ trước đó, một nút thắt hình số tám đã được biến đổi thông qua một dạng biến dạng đơn giản thành hình ảnh phản chiếu của nó. Sự biến dạng này cũng đã thay đổi hướng – bạn hãy tự mình kiểm chứng! Vì vậy, nếu muốn biến dạng biểu đồ thành hình ảnh phản chiếu của nó mà không xoay ngược hướng, thì chỉ cần kết hợp cả hai trình tự.
--> Một nút thắt bất đối xứng (một nút không thể bị biến dạng so với hình ảnh phản chiếu của nó) vẫn có thể đảo ngược (đối xứng với sự thay đổi hướng). Các nút thắt như vậy được gọi là 'có thể đảo ngược'.
Nút thắt hình số tám ở trên có 4 điểm cắt nhau, nhỏ hơn 8, và vì thế xoay ngược được.
![Show](/images/plus.png)
Trình tự sau đây chứng minh rằng nút thắt có thể xoay ngược vì một biểu đồ của nó có thể biến dạng thành cùng một biểu đồ có hướng bị xoay ngược.
Dự kiến ban đầu
Định tuyến lại
Sau
Định tuyến lại
Sau
Định tuyến lại
Sau
Định tuyến lại
Sau
Sau
Mở rộng với hướng ngược lại
Trong một ví dụ trước đó, một nút thắt hình số tám đã được biến đổi thông qua một dạng biến dạng đơn giản thành hình ảnh phản chiếu của nó. Sự biến dạng này cũng đã thay đổi hướng – bạn hãy tự mình kiểm chứng! Vì vậy, nếu muốn biến dạng biểu đồ thành hình ảnh phản chiếu của nó mà không xoay ngược hướng, thì chỉ cần kết hợp cả hai trình tự.
--> Một nút thắt bất đối xứng (một nút không thể bị biến dạng so với hình ảnh phản chiếu của nó) vẫn có thể đảo ngược (đối xứng với sự thay đổi hướng). Các nút thắt như vậy được gọi là 'có thể đảo ngược'.
![Show](/images/plus.png)
Đối với một biểu đồ nút nhất định, các đường giao nhau là thuận tay phải hoặc trái.
Trong phần tới, chúng ta sẽ khám phá hai kiểu giao nhau và xác định kiểu giao nhau thuận tay phải hay trái.
Có bao nhiêu đường cắt ngang khác nhau nếu chúng ta coi đường chuyền phía trên / nằm dưới và xem xét cả hai hướng?
Nếu một người giữ nguyên biểu đồ và chỉ chuyển đổi một điểm cắt thì độ thuận tay của chỗ băng qua đường đó có thay đổi không?
Bằng cách sử dụng tay, làm thế nào người ta có thể nhớ được liệu đường giao nhau là thuận tay phải hay tay trái?
Trong phần tới, chúng ta sẽ khám phá hai kiểu giao nhau và xác định kiểu giao nhau thuận tay phải hay trái.
![Show](/images/plus.png)
Tổng cộng có 8 trường hợp:
Nếu đường chuyền ngang là đường chuyền phía trên thì có 4 lựa chọn:
Tương tự nếu đường chuyền dọc là đường chuyền phía trên thì có 4 lựa chọn khác:
Các đường giao nhau ở nhóm 1, 7, 4, 6 được gọi là đường giao nhau bên phải và
Các đường giao nhau ở nhóm 2, 5, 3, 8 được gọi là đường giao nhau bên trái.
Nếu đường chuyền ngang là đường chuyền phía trên thì có 4 lựa chọn:
![](/qi/knots/B5/bctr.gif)
1
![](/qi/knots/B5/bctl.gif)
2
![](/qi/knots/B5/bcdr.gif)
3
![](/qi/knots/B5/bcdl.gif)
4
![](/qi/knots/B5/bCtr.gif)
5
![](/qi/knots/B5/bCtl.gif)
6
![](/qi/knots/B5/bCdr.gif)
7
![](/qi/knots/B5/bCdl.gif)
8
- Nguyên tắc: Độ thuận tay không được phụ thuộc vào định hướng (hướng đi qua đường thắt nút), vì vậy đảo ngược cả hai mũi tên ta xác định được 4 cặp giao nhau: 1 = 4, 2 = 3, 5 = 8, 6 = 7. Do đó , bất kỳ nhóm nào chúng tôi kết nối, giao nhau 1 và 4 phải ở cùng một nhóm và tương tự.
- Nguyên tắc: Nhóm mà đường giao nhau không được thay đổi nếu chúng ta xoay toàn bộ nút. Do đó chúng ta xác định được các giao nhau 1 = 7 = 4 = 6 và 2 = 5 = 3 = 8.
Các đường giao nhau ở nhóm 1, 7, 4, 6 được gọi là đường giao nhau bên phải và
Các đường giao nhau ở nhóm 2, 5, 3, 8 được gọi là đường giao nhau bên trái.
![Show](/images/plus.png)
Có. Hãy thử chuyển đổi bất kỳ điểm giao nào trong số 8 điểm cắt, sau đó kiểm tra xem nó đã trở thành điểm cắt nào và kiểm tra xem nó có còn trong cùng một nhóm thuận tay không. Ví dụ, chuyển giao chéo 1 cho giao chéo 5, cả hai đều thuộc các nhóm thuận tay khác nhau.
Kết luận: Câu hỏi liệu một băng qua là thuận tay phải hay tay trái không chỉ phụ thuộc chính đường giao nhau mà còn phụ thuộc vào biểu đồ xung quanh đường đó.
Bằng chứng: Đường chuyền ngang ở phía trên hay dưới không chỉ quyết định độ thuận tay. Cả hai trường hợp đều có thể thuận tay phải và trái (xem 8 đường giao nhau ở trên). Nếu xoay nút thắt để đường chuyền phía trên nằm ngang và sau đó rời đường giao nhau về bên phải (về phía Đông) thì tùy thuộc vào phần còn lại của nút thắt có quay đường giao nhau từ phía Nam hay không (khi đó đường giao nhau là thuận bên phải) hoặc từ phía Bắc (khi đó đường giao nhau là thuận bên trái).
Thực tế là hai nhóm giao nhau được gọi là thuận tay trái và phải có thể giúp phân biệt giao cắt với tay trái và tay phải.
Kết luận: Câu hỏi liệu một băng qua là thuận tay phải hay tay trái không chỉ phụ thuộc chính đường giao nhau mà còn phụ thuộc vào biểu đồ xung quanh đường đó.
Bằng chứng: Đường chuyền ngang ở phía trên hay dưới không chỉ quyết định độ thuận tay. Cả hai trường hợp đều có thể thuận tay phải và trái (xem 8 đường giao nhau ở trên). Nếu xoay nút thắt để đường chuyền phía trên nằm ngang và sau đó rời đường giao nhau về bên phải (về phía Đông) thì tùy thuộc vào phần còn lại của nút thắt có quay đường giao nhau từ phía Nam hay không (khi đó đường giao nhau là thuận bên phải) hoặc từ phía Bắc (khi đó đường giao nhau là thuận bên trái).
Thực tế là hai nhóm giao nhau được gọi là thuận tay trái và phải có thể giúp phân biệt giao cắt với tay trái và tay phải.
![Show](/images/plus.png)
Duỗi các ngón tay ra sao cho tất cả nằm trong một mặt phẳng và ngón tay cái của bạn ở góc vuông với tất cả các ngón tay khác song song với nhau. Xoay bàn tay của bạn để bạn có thể nhìn thấy lòng bàn tay và ngón tay cái của bạn hướng về hướng đi của đường chuyền phía trên và các ngón tay của bạn hướng về hướng đi ra của đường chuyền dưới. Bàn tay có thể cho thấy sự thuận tay.
Ví dụ, đối với phần băng qua bên dưới, bạn sẽ duỗi tay ra như thế này:
Vì bạn chỉ có thể thực hiện việc này bằng tay trái nên đây là lối bắt chéo tay trái.
Sự giao nhau bên phải và bên trái cũng được gọi là sự giao nhau tích cực hoặc tiêu cực.
![](/qi/knots/B5/bCtr.gif)
![](/games/knots/foodforthought/foodforthought/left-hand.jpg)
Vì bạn chỉ có thể thực hiện việc này bằng tay trái nên đây là lối bắt chéo tay trái.
Sự giao nhau bên phải và bên trái cũng được gọi là sự giao nhau tích cực hoặc tiêu cực.
![Show](/images/plus.png)
sự khác biệt giữa số điểm cắt thuận tay trái và tay phải trong một sơ đồ. Số ghi đặc trưng cho một biểu đồ nút thắt, không phải là một nút vì có thể có 2 biểu đồ khác nhau với số ghi khác nhau.
Số ghi của biểu đồ nút thắt này là gì?
![Show](/images/plus.png)
Các đường giao thuận tay phải trong hình được tô màu đỏ và đường giao thuận trái tay màu xanh lá cây. Để có được số lần ghi, chúng ta có thể đếm số điểm cắtg thuận tay trái và tay phải, sau đó trừ số lần giao thuận tay phải từ số lần giao thuận tay trái.
Hình này có 2 đường giao thuận tay trái trái và 4 đường giao thuận tay phải, vì vậy số lần ghi của nó là 2 − 4 = −2.
![Show](/images/plus.png)
một số hoặc một đa thức hoặc một kết luận bất biến đặc trưng cho tất cả (vô hạn) biểu đồ của một nút. Các thuộc tính của một nút là bất đối xứng/ đối xứng, nghịch đảo / không đảo ngược được, có thể đảo ngược là những nút bất biến.
![Show](/images/plus.png)
số điểm cắt tối thiểu mà bất kỳ biểu đồ nào của nút này có thể có sau khi biến dạng, đây là đặc điểm của mỗi nút và do đó nút bất biến.
Sơ đồ này có bao nhiêu điểm cắt?
Số giao nhau của nút được biểu diễn qua biểu đồ trên là gì?
Hai số điểm cắt thấp nhất mà một nút thắt có thể có là gì?
![Show](/images/plus.png)
Sơ đồ này có 5 điểm cắt.
![Show](/images/plus.png)
Số không! Số điểm cắt là một thuộc tính của nút thắt toán học trừu tượng, nó không phải là thuộc tính của một biểu đồ. Hình trên có thể được biến dạng để gỡ nút thắt
không còn điểm cắt.
Bạn có thấy thế nào không?
Bởi vì số điểm cắt là số giao nhau tối thiểu của bất kỳ biểu đồ nào của một nút và vì một nút không thể có ít hơn 0 điểm cắt, nên số giao cắt của nút biểu diễn trong sơ đồ trên là số 0.
Bạn có thấy thế nào không?
Bởi vì số điểm cắt là số giao nhau tối thiểu của bất kỳ biểu đồ nào của một nút và vì một nút không thể có ít hơn 0 điểm cắt, nên số giao cắt của nút biểu diễn trong sơ đồ trên là số 0.
![Show](/images/plus.png)
Số điểm cắt thấp nhất của một nút thắt được gỡ là 0.
Biểu đồ nút thắt có 1 điểm cắt sẽ như sau:
và cũng có thể bị biến dạng thành nút thắt được gỡ. Một biểu đồ nút thắt có 2 điểm cắt sẽ như sau:
và cũng có thể bị biến dạng thành nút thắt được gỡ.
Biểu đồ nút thắt trefoil được hiển thị thêm ở trên có 3 điểm cắt và không thể bị biến dạng thành nút thắt được gỡ, vì vậy các số giao nhau thấp nhất là 0 và 3.
Biểu đồ nút thắt trefoil được hiển thị thêm ở trên có 3 điểm cắt và không thể bị biến dạng thành nút thắt được gỡ, vì vậy các số giao nhau thấp nhất là 0 và 3.
![Show](/images/plus.png)
Một phần của đường thắt nút trong một biểu đồ từ điểm cắt này đến điểm cắt tiếp theo.
Có bao nhiêu cung trên biểu đồ nút thắt có N điểm cắt?
![Show](/images/plus.png)
Mỗi điểm cắt có 4 đầu mút của vòng cung. Mỗi cung có 2 đầu mút nên số cung giao nhau gấp 4/2 = 2 lần, do đó 2 N cung.
![Show](/images/plus.png)
không gian trống trong một biểu đồ nút thắt được bao quanh bởi các vòng cung. Toàn bộ không gian trống bên ngoài biểu đồ cũng là một lỗ.
Có bao nhiêu lỗ trên biểu đồ dạng nút thắt có N điểm cắt?
![Show](/images/plus.png)
Người ta có thể vẽ một số nút thắt và đoán một công thức nhưng người ta cũng có thể suy ra nó. Công thức của Euler nói rằng đối với bất kỳ bản vẽ nào trong mặt phẳng mà m các đường (ở đây là m = 2 N cung) mỗi đường nối 2 trong n điểm (ở đây n = N điểm cắt) thì số f của các mặt (ở đây là lỗ) là f = 2 + m − n. Điều đó cho số lỗ của một nút: 2 + 2N − N = N + 2.
![Show](/images/plus.png)
Một chuỗi các cung liên tiếp trong một biểu đồ nút thắt (tức là các cung nối tiếp nhau) bắt đầu và kết thúc ở đường chuyền phía trên và liên quan đến 0, 1 hoặc nhiều đường chuyền phía trên hơn.
![Show](/images/plus.png)
Một chuỗi các cung liên tiếp trong một biểu đồ nút thắt (tức là các cung nối tiếp nhau) bắt đầu và kết thúc thúc ở đường chuyền nằm dưới và liên quan đến 0, 1 hoặc nhiều đường chuyền phía nằm dưới hơn.
(Trong văn học, 'sợi' thường được sử dụng cho cái mà chúng ta gọi là sợi phía trên. Đối với chúng ta, số đường chuyền phía trên của một sợi cũng quan trọng như số đường chuyền nằm dưới. Chúng tôi do đó hãy xem xét sợi nằm dưới cũng như sợi phía trên.)
Đường ngang được hiển thị bao gồm năm vòng cung là loại sợi nào?
Có bao nhiêu sợi phía trên trong biểu đồ nút thắt có N điểm cắt?
(Trong văn học, 'sợi' thường được sử dụng cho cái mà chúng ta gọi là sợi phía trên. Đối với chúng ta, số đường chuyền phía trên của một sợi cũng quan trọng như số đường chuyền nằm dưới. Chúng tôi do đó hãy xem xét sợi nằm dưới cũng như sợi phía trên.)
![Show](/images/plus.png)
Đây là một sợi nằm dưới với 4 đường dưới.
![Show](/images/plus.png)
Tại mỗi điểm cắt có 2 đầu sợi (hoặc một đầu của 2 sợi khác nhau hoặc cả hai đầu từ một sợi). Mặt khác, mỗi sợi có 2 đầu ở điểm cắt. Do đó số điểm cắt bằng số sợi phía trên và vì tính đối xứng cũng bằng số sợi nằm dưới, nên có N của mỗi sợi.
![Show](/images/plus.png)
Năm 1927, nhà toán học người Đức Kurt Reidemeister và James Waddell Alexander và Garland Baird Briggs (1926), đã chứng minh rằng bất kỳ hai biểu đồ nào biểu thị cùng một nút đều có thể biến dạng thành một chuỗi chỉ gồm 3 kiểu di chuyển khác nhau. Vấn đề là trong quá trình biến dạng, số lượng điểm cắt có thể tạm thời tăng lên và giới hạn trên rõ ràng cho sự gia tăng này là không xác định cũng như số lượng lượt chuyển cần thiết.
![Show](/images/plus.png)
loại bỏ hoặc thêm một lỗ được bao quanh bởi một vòng cung:
Biểu đồ nào cho thấy đường giao cắt nào thuận sang trái và đường giao cắt nào thuận sang phải?
![Show](/qi/knots/B5/unused/2wayharrow.gif)
![Show](/qi/knots/B5/unused/2wayharrow.gif)
![Show](/images/plus.png)
Sơ đồ bên trái cho thấy một đường giao cắt thuận tay phải và sơ đồ bên phải cho thấy một đường cắt thuận tay trái. Do đó, một lượt di chuyển Reidemeister 1 thay đổi số đường giao cắt thuận tay phải hoặc bên trái bằng 1 và do đó thay đổi số lần ghi của sơ đồ.
![Show](/images/plus.png)
loại bỏ hoặc thêm một lỗ được bao quanh bởi 2 vòng cung:
Người ta có thể nói gì về sự thuận tay của hai đường giao cắt được thêm vào hoặc loại bỏ trong lượt di chuyển Reidemeister 2?
![Show](/qi/knots/B5/unused/2wayharrow.gif)
![Show](/qi/knots/B5/unused/2wayharrow.gif)
![Show](/images/plus.png)
Một trong hai đường giao nhau là thuận tay phải và cái kia thuận tay trái. Do đó, một lượt di chuyển Reidemeister 2 không thay đổi số ghi của một biểu đồ.
![Show](/images/plus.png)
loại bỏ và thêm một lỗ được bao quanh bởi 3 vòng cung.
Bạn có thể nghĩ ra 2 loại lỗ nào được bao quanh bởi 3 vòng cung?
![Show](/images/plus.png)
Hoặc:
Xác minh rằng kết quả của 3 lượt di chuyển luôn giống nhau.
Độ thuận tay của 3 lần giao nhau có thay đổi trong lượt di chuyển của Reidemeister 3 không?
Chúng ta đã học được gì?
- 1) mỗi cung có 1 đường chuyền phía trênvà 1 đường chuyền nằm dưới:
- 2) một cung có 2 đường chuyền phía trên, một cung có 1 đường chuyền phía trên và 1 đường chuyền nằm dưới và một cung có 2 đường chuyền nằm dưới:
![Show](/images/plus.png)
Khi so sánh bên phải của các lượt di chuyển, có thể dễ dàng nhận thấy rằng cả 3 lượt di chuyển đều cho kết quả giống hệt nhau. Do đó, chỉ có một lần di chuyển Reidemeister 3. Tất cả những gì thay đổi là đối với cả 3 cung, hai cung còn lại bây giờ được cắt theo thứ tự ngược lại. Điều này có nghĩa là đối với cung giữa, thứ tự trên-dưới dưới trên được đảo ngược.
![Show](/images/plus.png)
Không. Để thấy điều đó, hãy chọn bất kỳ hướng nào cho mỗi sợi và sử dụng quy tắc bàn tay ở trên.
![Show](/images/plus.png)
Chúng tôi đã học:
- cách phát hiện các lỗ có 3 vòng cung cho phép di chuyển Reidemeister 3,
- rằng đối với một lỗ như vậy, không quan trọng vòng cung nào được di chuyển,
- rằng độ thuận tay của 3 đường giao nhau không thay đổi,
- rằng thứ tự trên-dướt và dưới-trên được đảo ngược đối với cung giữa.
![Show](/images/plus.png)
Điều này không liên quan gì đến 'lượt' được xác định ở trên. Một động tác chuyền thay thế một sợi trên (dưới) bằng một sợi trên (dưới) khác trong đó cả hai sợi đều có cùng đầu. Ví dụ, vui lòng xem các bước di chuyển P-, P0 và P + bên dưới.
![Show](/images/plus.png)
một bước di chuyển trong đó sợi mới có ít lần vượt qua hơn sợi cũ.
Tìm một động thái P thay thế sợi màu xanh lá cây trong sơ đồ này:
![Show](/images/plus.png)
Trong sơ đồ này, sợi màu đỏ mới có ít đường chuyền hơn so với sợi màu xanh lá cây cũ. Do đó, biểu đồ này cho thấy một chuyển động P-.
![Show](/images/plus.png)
một động tác vượt qua trong đó sợi mới có cùng số lần đi với sợi cũ.
Tìm một động thái P0 thay thế sợi màu xanh lá cây trong sơ đồ này:
![Show](/images/plus.png)
Trong sơ đồ này, sợi màu đỏ mới có cùng số đường chuyền với sợi màu xanh lá cây cũ. Do đó, biểu đồ này cho thấy một động thái P0.
![Show](/images/plus.png)
P + di chuyển
Tìm một động tác P + thay thế sợi màu xanh lá cây trong sơ đồ này:
P + di chuyển trở nên cần thiết nếu một người muốn thay đổi số ghi của một sơ đồ. Thông tin thêm về điều đó được mô tả thêm bên dưới trong phần 'Tìm P0 Moves'.
![Show](/images/plus.png)
Trong biểu đồ này, sợi màu đỏ mới có nhiều lần vượt qua sợi màu xanh lá cây cũ, do đó đây là động thái P +.
P + di chuyển trở nên cần thiết nếu một người muốn thay đổi số ghi của một sơ đồ. Thông tin thêm về điều đó được mô tả thêm bên dưới trong phần 'Tìm P0 Moves'.
![Show](/images/plus.png)
Số không xác định là thuộc tính của một nút, không phải là thuộc tính của một sơ đồ và do đó là một bất biến nút.
Bắt đầu với một sơ đồ nút, đó là số lần tối thiểu mà một hoặc nhiều điểm cắt cần phải được chuyển đổi để có được ẩn số. Trước công tắc đầu tiên và công tắc giữa các công tắc, sơ đồ có thể bị biến dạng tùy ý. Do đó, con số không xác định không phải là một con số dễ xác định vì cho phép bất kỳ biến dạng nào.
Tại sao cây ba lá lại có số 1 không mấy tốt đẹp?
Bắt đầu với một sơ đồ nút, đó là số lần tối thiểu mà một hoặc nhiều điểm cắt cần phải được chuyển đổi để có được ẩn số. Trước công tắc đầu tiên và công tắc giữa các công tắc, sơ đồ có thể bị biến dạng tùy ý. Do đó, con số không xác định không phải là một con số dễ xác định vì cho phép bất kỳ biến dạng nào.
![Show](/images/plus.png)
Trefoil không thể có số không xác định là 0 vì nó không thể bị biến dạng thành số không xác định (điều này cần phải có và có thể được chứng minh). Số không xác định có số không xác định là 0. Vì vậy, chiếc xe ba bánh có số không xác định là ≥1. Mặt khác, người ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng việc chuyển đổi bất kỳ một giao cắt nào của sơ đồ trefoil được trình bày thêm ở trên sẽ tạo ra số không xác định, do đó, số không xác định của đường trefoil là ≤1. Nếu nó là ≥1 và ≤1 thì nó phải = 1.
![Show](/images/plus.png)
![Show](/images/plus.png)
Các trường hợp di chuyển đơn giản của R1, như sau:
trong đó người ta có thể lật một vòng 4 lần và ngay lập tức có thể dễ dàng phát hiện ra điều không đẹp bằng cách đi theo đường thắt nút và tìm kiếm một vòng cung có cả hai đầu ở cùng một giao nhau. Thứ tự thực hiện các chuyển động của R1 không quan trọng.
Nhưng có nhiều trường hợp áp dụng chiêu Reidemeister 1 tổng quát hơn. Nếu một đoạn đường chuyền phía trên bắt đầu tại một điểm cắt mà nó là một cầu vượt nhưng ngược lại nằm hoàn toàn trên đầu các cung khác (do đó được gọi là 'over-strand') thì vòng xoắn này chắc chắn có thể là lối tắt và do đó bị loại bỏ. Ví dụ: lúc đầu, vòng xoắn ở trên cùng ở trung tâm có thể được loại bỏ và sau đó các vòng xoắn khác, từng cái một: Vòng xoắn này cũng có thể được gỡ bỏ khi nằm hoàn toàn bên dưới:
Tìm Di chuyển R2
Nhưng có nhiều trường hợp áp dụng chiêu Reidemeister 1 tổng quát hơn. Nếu một đoạn đường chuyền phía trên bắt đầu tại một điểm cắt mà nó là một cầu vượt nhưng ngược lại nằm hoàn toàn trên đầu các cung khác (do đó được gọi là 'over-strand') thì vòng xoắn này chắc chắn có thể là lối tắt và do đó bị loại bỏ. Ví dụ: lúc đầu, vòng xoắn ở trên cùng ở trung tâm có thể được loại bỏ và sau đó các vòng xoắn khác, từng cái một: Vòng xoắn này cũng có thể được gỡ bỏ khi nằm hoàn toàn bên dưới:
![Show](/images/plus.png)
Trong ví dụ sau, người ta phải thực hiện chuyển động R2 với cùng một sợi dây hai lần, một lần kéo sợi dây này từ bên dưới và một lần từ phía trên:
Bước cuối cùng không phải là bước đi R2. Nó chỉ được thêm vào để chứng tỏ rằng nút thắt là tổng của hai nút hình tam giác.
Giới thiệu về Giao diện (1)
![Show](/images/plus.png)
Ví dụ trên là phù hợp để chứng minh việc sử dụng giao diện tối ưu. Sau khi chặn đường thắt nút:
Người ta KHÔNG thể rút lui một đầu tất cả các cách; và sau đó rút lui đầu kia hết cỡ vì trước tiên người ta sẽ loại bỏ một điểm vượt qua và có cả hai đầu ở trạng thái vượt qua và ở trạng thái này, không thể loại bỏ một điểm vượt qua. Thay vào đó, người ta loại bỏ một đường chuyền dưới, nhảy sang đầu kia, loại bỏ đường chuyền dưới khác đưa cả hai đầu vào cùng một lỗ, điều này sẽ thay đổi các đầu này thành trạng thái trung lập và sau đó cho phép loại bỏ các đường chuyền vượt và sau đó tái đoàn kết các đầu. Nói tóm lại, một bước nhảy giữa các điểm cuối để loại bỏ tất cả các đường chuyền dưới rồi đến tất cả các đường chuyền vượt, v.v.
Việc thực hiện trạng thái kết thúc này không phải là điểm yếu của chương trình nhưng nó đảm bảo rằng việc sửa đổi tương tác của sơ đồ không làm thay đổi nút thắt toán học.
Việc thực hiện trạng thái kết thúc này không phải là điểm yếu của chương trình nhưng nó đảm bảo rằng việc sửa đổi tương tác của sơ đồ không làm thay đổi nút thắt toán học.
![Show](/images/plus.png)
P- di chuyển thay thế một sợi quá với một sợi có ít đường chuyền phía trên hoặc một sợi với một sợi có ít đường chuyền hơn. Trong cả hai trường hợp, số điểm cắt đều giảm.
Để tìm các bước di chuyển như vậy, hãy đi một bước qua đường thắt nút và tìm kiếm càng nhiều đường chuyền phía trên liên tiếp càng tốt hoặc nhiều đường chuyền dưới liên tiếp nhất có thể, ít nhất là hai. Nếu một người tìm thấy một đoạn đường như vậy, ví dụ, một đoạn đường vượt thì người ta cố gắng tìm một tuyến đường thay thế có ít đường vượt hơn liên kết hai đầu đường chuyền phía trên giống nhau.
Trong ví dụ sau, một sợi có 4 đường chui liên tiếp được thay thế bằng một sợi không có đường chui và sau đó, sợi có 3 đường chuyền phía trên liên tiếp này được thay thế bằng một sợi có một đường chuyền phía trên. Hai lần di chuyển P nữa sẽ loại bỏ mỗi lần thêm 2 đường cắt ngang. Sơ đồ kết quả có thể được đơn giản hóa thêm bằng hai lần di chuyển R1, như được thấy bên dưới.
Người ta tìm được càng nhiều đường chuyền liên tiếp của một loại thì cơ hội tìm thấy một tuyến đường khác cần ít lượt vượt qua càng cao.
Để tìm các bước di chuyển như vậy, hãy đi một bước qua đường thắt nút và tìm kiếm càng nhiều đường chuyền phía trên liên tiếp càng tốt hoặc nhiều đường chuyền dưới liên tiếp nhất có thể, ít nhất là hai. Nếu một người tìm thấy một đoạn đường như vậy, ví dụ, một đoạn đường vượt thì người ta cố gắng tìm một tuyến đường thay thế có ít đường vượt hơn liên kết hai đầu đường chuyền phía trên giống nhau.
Trong ví dụ sau, một sợi có 4 đường chui liên tiếp được thay thế bằng một sợi không có đường chui và sau đó, sợi có 3 đường chuyền phía trên liên tiếp này được thay thế bằng một sợi có một đường chuyền phía trên. Hai lần di chuyển P nữa sẽ loại bỏ mỗi lần thêm 2 đường cắt ngang. Sơ đồ kết quả có thể được đơn giản hóa thêm bằng hai lần di chuyển R1, như được thấy bên dưới.
![Show](/images/plus.png)
Các chuyển động R1, R2 và P- thay đổi số điểm cắt. Một bước đi R3 không thay đổi số điểm cắt, do đó chúng tôi đặt mô tả của nó sau bước di chuyển P. Ví dụ sau đây cho thấy cách chuyển động của R3 vẫn có thể hữu ích bằng cách thực hiện chuyển động P-. Như được mô tả trong phần đầu tiên, một lỗ R3 được bao quanh bởi một vòng cung trên cùng với 2 đầu vượt (ở đây là A, B), một vòng cung ở giữa với 1 đầu vượt (C) và 1 đầu dưới vượt (B) và một vòng cung dưới cùng với 2 đầu dưới (ở đây là A, C).
(không được lấy từ trang Unknot Wikipedia)
Chúng tôi đã tìm thấy trong phần trên rằng một chuyển động R3 đảo ngược đối với sợi ở giữa (từ đây đến B, C) theo thứ tự vượt qua và vượt qua. Nước đi R3 có lợi nếu nước đi R3 dẫn đến sự tiếp tục của cung giữa dẫn đến sự gia tăng các đường chuyền vượt liên tiếp và / hoặc các đường chuyền dưới liên tiếp và do đó làm tăng cơ hội tìm được nước đi P-. Trường hợp này xảy ra nếu trong sự tiếp tục của vòng cung giữa sau khi đường dưới B xuất hiện đường chuyền phía trên (D, E là đường chuyền phía trên) và / hoặc sau đường chuyền phía trên (C) theo sau đường chuyền phía trên (F , G, H là gạch dưới). Chuyển động R3 trượt cung trung tuyến BC giữa cung đỉnh và cung đáy tại A:
Trước đây, chỉ có 2 đường chuyền phía trên liên tiếp tại D và E, bây giờ có 3 đường chuyền phía trên tại C, D và E. Hiện tại, đường chuyền phía trên dài hơn này có thể được định tuyến lại trong một động tác P-:
giảm số điểm cắt từ 13 xuống 11.
Ngoài ra, phía bên kia của sợi có thể được định tuyến lại trong một động tác P. Trước đây, có 3 đường chuyền dưới liên tiếp ở F, G và H, bây giờ có 4 đường dưới ở B, F, G và H. Nước đi P này dẫn đến:
và cũng đang giảm số lần giao cắt xuống 2. Cả hai sơ đồ có thể được đơn giản hóa hơn nữa thông qua các chuyển động P- và R1 dẫn đến cuối cùng là ẩn số. Bạn có thể thấy như thế nào? Chỉ cần làm theo các gợi ý về cách phát hiện động tác P được đưa ra ở trên.
Hãy thử luyện tập với một ví dụ.
Có thể thực hiện bao nhiêu lần di chuyển R3 trong biểu đồ này:
Chúng tôi đã tìm thấy trong phần trên rằng một chuyển động R3 đảo ngược đối với sợi ở giữa (từ đây đến B, C) theo thứ tự vượt qua và vượt qua. Nước đi R3 có lợi nếu nước đi R3 dẫn đến sự tiếp tục của cung giữa dẫn đến sự gia tăng các đường chuyền vượt liên tiếp và / hoặc các đường chuyền dưới liên tiếp và do đó làm tăng cơ hội tìm được nước đi P-. Trường hợp này xảy ra nếu trong sự tiếp tục của vòng cung giữa sau khi đường dưới B xuất hiện đường chuyền phía trên (D, E là đường chuyền phía trên) và / hoặc sau đường chuyền phía trên (C) theo sau đường chuyền phía trên (F , G, H là gạch dưới). Chuyển động R3 trượt cung trung tuyến BC giữa cung đỉnh và cung đáy tại A:
Ngoài ra, phía bên kia của sợi có thể được định tuyến lại trong một động tác P. Trước đây, có 3 đường chuyền dưới liên tiếp ở F, G và H, bây giờ có 4 đường dưới ở B, F, G và H. Nước đi P này dẫn đến:
Hãy thử luyện tập với một ví dụ.
![Show](/images/plus.png)
Có thể thực hiện 3 lần di chuyển R3. Với mỗi di chuyển, chúng tôi hiển thị ba cung liên quan màu xanh nước biển. Cái dễ bị bỏ qua là cái thứ 3, nơi cái lỗ là toàn bộ không gian bên ngoài chỉ được 'bao quanh' bởi 3 vòng cung.
Thực hiện di chuyển 1. R3 và tìm hiểu xem liệu nó có lợi hay không:
Thực hiện di chuyển 2. R3 và xem nó có lợi không:
Thực hiện di chuyển 3. R3 và xem nó có lợi không:
1. Di chuyển R3
2. Di chuyển R3
3. Di chuyển R3
![Show](/images/plus.png)
Động thái R3 này có lợi. Nó cho phép P- di chuyển sau đó như được hiển thị trong một chuỗi các bước di chuyển xa hơn bên dưới. Định nghĩa của chúng tôi về một nước đi R3 là có lợi, không nhất thiết phải cho phép một nước đi P mà là để tăng số lượng đường chuyền vượt hoặc dưới liên tiếp và điều đó dễ dàng nhận thấy ngay cả khi không thực hiện tất cả các nước đi này. Trong sơ đồ dưới đây, cung giữa của lỗ R3 có một điểm vượt tại A, một điểm lọt qua tại B và hai điểm vượt tại C và D. Trong một chuyển động R3, thứ tự vượt qua và vượt qua là đảo ngược cho vòng cung giữa như được hiển thị trong Sơ đồ 3 với hiện tại là 3 lần vượt qua liên tiếp. Điều này đủ để tìm ra một động tác P cần ít hơn 3 đường chuyền trong Sơ đồ 5.
Về trình tự sơ đồ dưới đây: Trong Dia 1, chúng ta tạo khoảng trống để chuẩn bị di chuyển R3 trong Dia 2 (ở đây bằng cách di chuyển cung trên cùng) với kết quả là Dia 3. Trong Dia 4, chúng ta tạo khoảng trống để chuẩn bị di chuyển P-trong Dia 5 trong đó sợi màu xanh lá cây với 3 đường chuyền phía trên được thay thế bằng sợi màu đỏ chỉ có 1 đường chuyền phía trên ở Dia 6. Trong Dia 7, chúng tôi dịch chuyển một sợi để tạo khoảng trống cho lần di chuyển tiếp theo ở Dia 9 với kết quả là Dia 10 và Dia 11 sau khi co lại được dễ dàng xác định là nút 5 1.
1. Mở rộng
2. Di chuyển R3
3. Sau khi di chuyển R3
4. Mở rộng
5. Di chuyển P
6. Sau khi di chuyển P
7. Chuẩn bị di duyển P tiếp
8. Trước khi di chuyển P
9. Di chuyển P lần 2
10. Sau đó
11. Đã được rút gọn
![Show](/images/plus.png)
Trình tự cho thấy việc di chuyển R3 là có lợi.
1. Mở rộng
2. Di chuyển R3
3. Sau khi di chuyển R3
4. Di chuyển P
5. Sau khi di chuyển P
6. Thêm di chuyển P
7. Sau khi di chuyển P
8. Đã được rút gọn
![Show](/images/plus.png)
Việc di chuyển R3 cũng có lợi. Để thực hiện, làm theo quy tắc tương tự: sợi giữa cắt hai sợi khác, lần này 'bao quanh' lỗ bên ngoài, theo thứ tự ngược lại.
Kết quả là khi đi lên trên đường Dia 2 dọc theo dải màu xanh nước biển, trước tiên người ta sẽ đến một cầu vượt và sau đó là một đường chui. Nếu sau khi R3 di chuyển, một người đi dọc theo dải màu đỏ thì một người đi qua 2 dải còn lại theo thứ tự ngược lại và do đó trước tiên sẽ đến đường chui và sau đó là cầu vượt. Như người ta có thể thấy trong Dia 5, chuỗi 3 đường chui liên tiếp hiện tại của sợi màu xanh nhạt ở đó cho phép di chuyển P.
Kết quả là khi đi lên trên đường Dia 2 dọc theo dải màu xanh nước biển, trước tiên người ta sẽ đến một cầu vượt và sau đó là một đường chui. Nếu sau khi R3 di chuyển, một người đi dọc theo dải màu đỏ thì một người đi qua 2 dải còn lại theo thứ tự ngược lại và do đó trước tiên sẽ đến đường chui và sau đó là cầu vượt. Như người ta có thể thấy trong Dia 5, chuỗi 3 đường chui liên tiếp hiện tại của sợi màu xanh nhạt ở đó cho phép di chuyển P.
1. Mở rộng
2. An R3 move
3. Sau khi di chuyển R3
4. Mở rộng
5. Di chuyển P
6. Mở rộng
7. 7. Di chuyển P lần 2
8. Sau khi di chuyển P
9. Rút ngắn
10. Sau khi rút ngắn
11. Rút ngắn
12. Kéo thẳng
13. Xoay ↻90°
![Show](/images/plus.png)
Ví dụ trên phù hợp để chứng minh cách thực hiện một bước di chuyển R3 với giao diện của chúng tôi.
Như được mô tả trong 'Giới thiệu với các định nghĩa'> 'Di chuyển 3 Reidemeister', có 3 cách để thực hiện chuyển động 3 Reidemeister: di chuyển sợi dưới cùng, di chuyển sợi giữa hoặc, di chuyển sợi trên cùng. Như hình ở đó, cả 3 cách đều có cùng một kết quả, chúng thực hiện cùng một nước đi Reidemeister 3.
Giao diện của chúng tôi chỉ cho phép một người hoàn thành một lần di chuyển R3 bằng cách di chuyển sợi dưới cùng hoặc sợi trên cùng nhưng không cho phép sợi ở giữa. Lý do là đặc điểm của giao diện của chúng tôi là CẢ HAI kết thúc chỉ có thể thêm / xóa các điểm vượt hoặc cả HAI kết thúc chỉ có thể thêm / xóa các điểm vượt qua tại một thời điểm. Nhưng điều đó không ngăn cản chúng ta thực hiện các chuyển động R3, vì di chuyển bất kỳ một trong 3 sợi đều cho kết quả tương tự.
Như được mô tả trong 'Giới thiệu với các định nghĩa'> 'Di chuyển 3 Reidemeister', có 3 cách để thực hiện chuyển động 3 Reidemeister: di chuyển sợi dưới cùng, di chuyển sợi giữa hoặc, di chuyển sợi trên cùng. Như hình ở đó, cả 3 cách đều có cùng một kết quả, chúng thực hiện cùng một nước đi Reidemeister 3.
Giao diện của chúng tôi chỉ cho phép một người hoàn thành một lần di chuyển R3 bằng cách di chuyển sợi dưới cùng hoặc sợi trên cùng nhưng không cho phép sợi ở giữa. Lý do là đặc điểm của giao diện của chúng tôi là CẢ HAI kết thúc chỉ có thể thêm / xóa các điểm vượt hoặc cả HAI kết thúc chỉ có thể thêm / xóa các điểm vượt qua tại một thời điểm. Nhưng điều đó không ngăn cản chúng ta thực hiện các chuyển động R3, vì di chuyển bất kỳ một trong 3 sợi đều cho kết quả tương tự.
![Show](/images/plus.png)
P0 di chuyển là di chuyển không làm thay đổi số điểm cắt, giống như di chuyển R3 là phiên bản đặc biệt của di chuyển P0. Giống như các động thái R3, một động thái P0 có thể có lợi và cho phép một động thái P-. Bởi vì các nước đi P0 trung bình ít hữu dụng hơn, chúng xảy ra thường xuyên hơn nhưng sẽ khó hơn để xem liệu chúng có kích hoạt một nước cờ P hay không.
Để tìm một nước đi P0, người ta tìm kiếm một sợi trên hoặc một sợi dưới giống như đối với một nước đi P. Để kiểm tra xem một nước đi P0 có thể có lợi hay không và cho phép một nước đi P, người ta tiến hành như trong trường hợp nước đi R3. Người ta xem xét liệu việc loại bỏ sợi có làm tăng số lượng sợi vượt hoặc dưới liên tiếp đã được vượt qua hay không và người ta kiểm tra xem sau khi định tuyến lại sợi mới có làm tăng số lượng sợi vượt hoặc dưới liên tiếp hay không. vượt qua bây giờ. Trong một trong hai trường hợp này, người ta kiểm tra xem các sợi có số lần vượt hoặc vượt liên tiếp tăng lên có thể được định tuyến lại với ít giao cắt hơn hay không.
Chúng ta hãy xem xét ví dụ này:
Chúng tôi gắn nhãn các điểm cắt:
và tìm một bước di chuyển P0 có lợi từng bước.
Bạn nhìn thấy bao nhiêu sợi phía trên có ít nhất 2 đường chuyền phía trên và bao nhiêu sợi nằm dưới có ít nhất 2 đường chuyền nằm dướit?
Không khó để thấy rằng sợi IE có lượt di chuyển P0 định vị lại nó để đi qua sợi GC và BH:
nhưng câu hỏi đặt ra là liệu lượt di chuyển P0 này có lợi hay không.
Việc di chuyển sợi IE có làm tăng số đường chuyền phía trên/ nằm dưới của các sợi DF hoặc HJ đã bị cắt trước đó không?
Có tạo ra nhiều đường chuyền phía trên / nằm dưới liên tiếp hơn khi đặt sợi lên trên 2 sợi GC và BH không?
Có thể định tuyến lại sợi BH này trong một động thái P để giảm số điểm cắt không?
Trong sơ đồ ban đầu, bước di chuyển P này có thể được thực hiện trước như một bước di chuyển P0 và bước di chuyển P0 được đề cập ở trên sau đó là bước di chuyển P với cùng một tổng tiết kiệm của 2 điểm cắt.
Trong các bài toán khó, có thể cần thực hiện một số động tác P0 trước khi có thể thực hiện chuyển động P.
Một sơ đồ được đơn giản hóa tối đa nếu số lượng điểm cắt là số đường giao nhau (xem phần đầu tiên). Trong trường hợp đó, động thái P0 sẽ không bao giờ kích hoạt chuyển động P.
Để tìm một nước đi P0, người ta tìm kiếm một sợi trên hoặc một sợi dưới giống như đối với một nước đi P. Để kiểm tra xem một nước đi P0 có thể có lợi hay không và cho phép một nước đi P, người ta tiến hành như trong trường hợp nước đi R3. Người ta xem xét liệu việc loại bỏ sợi có làm tăng số lượng sợi vượt hoặc dưới liên tiếp đã được vượt qua hay không và người ta kiểm tra xem sau khi định tuyến lại sợi mới có làm tăng số lượng sợi vượt hoặc dưới liên tiếp hay không. vượt qua bây giờ. Trong một trong hai trường hợp này, người ta kiểm tra xem các sợi có số lần vượt hoặc vượt liên tiếp tăng lên có thể được định tuyến lại với ít giao cắt hơn hay không.
Chúng ta hãy xem xét ví dụ này:
![Show](/images/plus.png)
Chúng tôi nhận được ba sợi phía trên với ít nhất 2 đường chuyền nằm dưới: AB, GC, IE và ba sợi nằm dưới có ít nhất 2 điểm dưới: EF, BH, DJ.
Không khó để thấy rằng sợi IE có lượt di chuyển P0 định vị lại nó để đi qua sợi GC và BH:
![Show](/images/plus.png)
Có, sợi HJ hiện có 2 đường chuyền qua nhưng sợi này không thể được định tuyến lại để liên kết hai lỗ giống nhau với ít đường chuyền qua.
![Show](/images/plus.png)
Đúng, BH đường dưới đã có 2 đường chuyền dưới và bây giờ có 3 đường chuyền dưới.
![Show](/images/plus.png)
Đúng: Tuyến mới của sợi BH liên kết các lỗ tương tự nhưng chỉ có 1 đường dưới thay vì 3 đường dưới.
Thực tế là sợi mới dài hơn (liên quan đến nhiều bước hơn) trong sơ đồ này so với sợi được thay thế không quan trọng. Tất cả những gì quan trọng là việc giảm số lượng đường giao nhau từ 10 xuống còn 8, hiện cho phép xác định nút này là nút 8 17 . Trong sơ đồ ban đầu, bước di chuyển P này có thể được thực hiện trước như một bước di chuyển P0 và bước di chuyển P0 được đề cập ở trên sau đó là bước di chuyển P với cùng một tổng tiết kiệm của 2 điểm cắt.
Trong các bài toán khó, có thể cần thực hiện một số động tác P0 trước khi có thể thực hiện chuyển động P.
Một sơ đồ được đơn giản hóa tối đa nếu số lượng điểm cắt là số đường giao nhau (xem phần đầu tiên). Trong trường hợp đó, động thái P0 sẽ không bao giờ kích hoạt chuyển động P.
![Show](/images/plus.png)
A P+ move increases the number of crossings in a diagram. Why could such a move be useful for
anything if the goal is usually to simplify diagrams? To see their purpose remind yourself
about crossing numbers, handedness of crossings, writhe numbers and how the different
Reidemeister moves affect both numbers.
Then have a look at the following (difficult) challenge.
For a long time since the late 19th century two diagrams named 10161 and 10162 in a table of Dale Rolfsen were thought to belong to two different knots. 1973 Kenneth Perko realized that both represent the same knot. Since then the pair of entries in classical knot tables that actually represent the same knot is called Perko pair.
These two diagrams represent the same knot 10161. How can they be deformed
into each other
Làm thế nào người ta có thể tìm thấy một chuỗi các động tác P + và P- và có thể là P0 như vậy để thực hiện một biến dạng như vậy?
Đây là một thách thức khác. Làm thế nào hai sơ đồ này có thể bị biến dạng vào nhau?
For a long time since the late 19th century two diagrams named 10161 and 10162 in a table of Dale Rolfsen were thought to belong to two different knots. 1973 Kenneth Perko realized that both represent the same knot. Since then the pair of entries in classical knot tables that actually represent the same knot is called Perko pair.
![Show](/images/plus.png)
The following sequence of deformations changes a diagram of the
knot 10161 with 0 left and 10 right handed crossings into a
diagram with 1 left and 9 right handed crossings. Both diagrams have
the same minimal number of 10 crossings but different writhe numbers
0−10 = −10 and 1−9 = −8. Only Reidemeister 1
moves can change the writhe number, but Reidemeister 1 moves also
change the number of crossings. Because this knot has crossing number
10, the number of crossings can not be decreased. Therefore to change
the writhe number, the number of crossings has to be increased from 10
to 11 temporarily through a P+ move and decreased afterwards with a P-
move to get again 10 crossings but with different writhe number
Quằn quại ban đầu # là w = 0−10
= −10
= −10
Di chuyển P + (tăng # của ┼)
Bây giờ w = 1−10 = −9
Di chuyển R3 (bảo toàn w)
Sau đó
Chèn hàng + cột
P- di chuyển (giảm # của ┼)
Bây giờ w = 1−9 = −8
Hàng bị xóa
Di chuyển R3 (bảo toàn w)
Sau đó
Trong sơ đồ cuối cùng,
quằn quại # là 1−9 = −8.
quằn quại # là 1−9 = −8.
![Show](/images/plus.png)
Thật dễ dàng để xác định giao cắt thuận tay trái và phải của cả hai sơ đồ. Nếu số quằn quại được tăng (giảm) để làm biến dạng một sơ đồ thành sơ đồ khác, thì người ta sẽ tìm kiếm một động tác P + thêm một giao cắt thuận tay trái (phải) và sau đó người ta cần một động tác P loại bỏ một giao cắt thuận tay phải (trái). Trong ví dụ trên, số lần quằn quại phải được tăng lên và các nước đi P0 bổ sung (di chuyển R3 là loại di chuyển P0 đặc biệt) là cần thiết.
Nếu các số quằn quại khác nhau nhiều hơn 2 thì có thể cần nhiều hơn một cặp di chuyển P + và P.
Nếu các số quằn quại khác nhau nhiều hơn 2 thì có thể cần nhiều hơn một cặp di chuyển P + và P.
![Show](/images/plus.png)
Trình tự biến dạng sau đây thay đổi sơ đồ đầu tiên của nút 11n116 với 6 giao cắt thuận tay trái và 5 tay phải thành sơ đồ thứ hai với 7 giao cắt thuận tay trái và 4 tay phải. Cả hai sơ đồ đều có cùng số lượng tối thiểu là 11 điểm giao nhau nhưng các số quằn quại khác nhau 6−5 = 1 và 7−4 = 3. Chỉ có Reidemeister 1 nước đi mới có thể thay đổi số lần quằn quại, nhưng Reidemeister 1 nước đi cũng thay đổi số lần vượt qua. Do nút thắt này có giao cắt số 11 nên số điểm giao cắt hiện tại không thể giảm được. Do đó, để thay đổi số quằn quại, số lần giao nhau trước tiên phải được tăng từ 11 lên 12 thông qua di chuyển P + trước khi có thể giảm sau đó với động thái P để lấy lại 11 điểm giao cắt nhưng với số quằn quại khác nhau.
Quằn quại ban đầu # = 6−5 = 1
Mở rộng
Di chuyển P + (tăng # của ┼)
Sau khi di chuyển P +
Mở rộng
P- di chuyển (giảm # của ┼)
Sau khi P- di chuyển
Rút ngắn
Rút ngắn
Trong sơ đồ
cuối cùng, quằn quại # là 7−4 = 3.
cuối cùng, quằn quại # là 7−4 = 3.
![Show](/images/plus.png)
Một bước di chuyển U1 chuyển một điểm cắt mà sau đó cho phép đơn giản hóa sơ đồ để loại bỏ tất cả các đường giao nhau và cho thấy rằng lượt chuyển tạo ra nút được gỡ.
Nói chung, các câu đố đẹp phải có các giải pháp duy nhất, vì vậy các câu đố U1 và U2 của chúng tôi hiển thị các sơ đồ trong đó chuyển đổi của chỉ một giao nhau dẫn đến kết quả không xác định. Gợi ý này cho phép bạn cắt giảm tìm kiếm.
Nếu biểu đồ bao gồm một đoạn xoắn của đường thắt nút như thế này:
Liệu một trong những điểm cắt được chuyển đổi có quan trọng?
Nếu vẫn còn điểm cắt thì nên thử tưởng tượng có bao nhiêu chuyển động R1, R2 scó sẵn qua lượt chuyển đổi và thử lượt đó trước, điều này dường như tạo ra sự đơn giản hóa nhất sau đó.
Một gợi ý khác để giảm thiểu việc thử nhiều lượt chuyển là hãy tưởng tượng xem liệu sau khi chuyển có chắc chắn sẽ còn lại một nút thắt, giống như trefoil không. Nếu vậy thì lượt chuyển đó không phải là lượt chuyển chính xác trong các câu đố U1.
Trên trang tính, số lượng các lượt chuyển có sẵn có sẵn được giới hạn ở mức tối thiểu cần để tạo ra nút thắt được gỡ. Nếu bạn đã chuyển đổi, người ta không thể chuyển đổi nó trở lại vì biểu đồ nút thắt có thể đã bị thay đổi, vì vậy người ta sẽ phải đặt lại.
Nói chung, các câu đố đẹp phải có các giải pháp duy nhất, vì vậy các câu đố U1 và U2 của chúng tôi hiển thị các sơ đồ trong đó chuyển đổi của chỉ một giao nhau dẫn đến kết quả không xác định. Gợi ý này cho phép bạn cắt giảm tìm kiếm.
![Show](/images/plus.png)
Sẽ không quan trọng việc chuyển điểm cắt nào. Cả hai kết quả đều tương đương:
Do đó, cả hai điểm cắt này đều là lượt chuyển gỡ được nút hoặc không. Vì các câu đố của chúng ta chỉ có lượt chuyển gỡ được nút nên có thể bỏ qua hai điểm cắt này.
=
=
Nếu vẫn còn điểm cắt thì nên thử tưởng tượng có bao nhiêu chuyển động R1, R2 scó sẵn qua lượt chuyển đổi và thử lượt đó trước, điều này dường như tạo ra sự đơn giản hóa nhất sau đó.
Một gợi ý khác để giảm thiểu việc thử nhiều lượt chuyển là hãy tưởng tượng xem liệu sau khi chuyển có chắc chắn sẽ còn lại một nút thắt, giống như trefoil không. Nếu vậy thì lượt chuyển đó không phải là lượt chuyển chính xác trong các câu đố U1.
Trên trang tính, số lượng các lượt chuyển có sẵn có sẵn được giới hạn ở mức tối thiểu cần để tạo ra nút thắt được gỡ. Nếu bạn đã chuyển đổi, người ta không thể chuyển đổi nó trở lại vì biểu đồ nút thắt có thể đã bị thay đổi, vì vậy người ta sẽ phải đặt lại.
![Show](/images/plus.png)
Đối với các câu đố U2, gợi ý tương tự về các lượt hoán đổi tương đương cũng được áp dụng như đối với các câu đố U1. Ngoài ra, đối với các câu đố U2, chỉ có một điểm cắt làm giảm số nút thắt được gỡ, tức là tiến tới nút thắt được gỡ. Khi điểm cắt đầu tiên duy nhất đó được chuyển và biểu đồ cuối cùng được đơn giản hóa, có thể có nhiều hơn một lần chuyển để tạo ra nút thắt được gỡ.
![Show](/images/plus.png)
Nghiên cứu được thực hiện bởi Caribou Contests về số nút thắt được gỡ cho thấy rằng có tồn tại các hình nút thắt được đơn giản hóa tối đa (với số điểm cắt tối thiểu), mà không cần chuyển đổi để đơn giản hóa. Nói cách khác, có những hình mà việc chuyển đổi bất kỳ giao cắt nào sẽ không đạt được tiến bộ để đạt được điều không thể. Trong trường hợp đó, trước tiên người ta phải thực hiện một hoặc nhiều động tác P0 để thay đổi khối hình thành khối hình U2. Tin vui là các hình yêu cầu di chuyển P0 trước là rất hiếm và do đó có khả năng là bất kỳ di chuyển P0 nào sẽ thay đổi nó thành một câu đố U2.
![Show](/images/plus.png)
Thử thách Unknotting trên hệ thống đã được lựa chọn một cách kỹ lưỡng. Để biết được chúng đặc biệt thế nào có thể giúp giải quyết các thử thách.
Các bước di chuyển R3
Các bước di chuyển U1 và U2
Các bước di chuyển P0
Bước di chuyển P0U
![Show](/images/plus.png)
Như đã thảo luận trước đó, để xem bước di chuyển bủa R3 có phù hợp hay không thí sinh cần kiểm tra sự tiếp tục của cung giữa trong lỗ R3. Các câu đố trong danh mục R3 cho phép một nước di chuyển R3 rất đặc biệt đó là có lợi gấp đôi : 1) Khi mở rộng phần cung giữa của lỗ R3 bên trên đường chui thì một đường vượt tiếp theo sẽ là đường cầu vượt. 2) Khi mở rộng cung giữa của lỗ R3 bên trên đường chui thì đường vượt tiếp theo là đường chui. Do đó, chuyển động R3 tăng lên đối với sợi giữa số lượng cầu vượt liên tiếp ở một bên và số lượng cầu vượt liên tiếp ở phía bên kia. Các lỗ R3 có lợi gấp đôi như vậy rất dễ để nhận diện.
![Show](/images/plus.png)
Các câu đố trong danh mục U1 và U2 đặc biệt ở chỗ chỉ có một đường băng qua có tính chất là sự chuyển đổi và nó tạo nên quá trình trong việc tháo gỡ nút thắt. Nếu hai sợi xoắn ốc như dưới đây:
thì việc chuyển một trong hai điểm giao nhau có cùng tác dụng gỡ rối hai sợi dây. Nếu di chuyển một đường ngang thành công thì di chuyển đường ngang còn lại cũng sẽ thành công, vì vậy cả hai đường này không thể là đường giao nhau chính xác để di chuyển.
![Show](/images/plus.png)
Vì danh mục R3 chỉ có một câu đố và nó có gấp đôi có lợi cho bước di chuyển R3, danh mục P0 bao gồm các câu đố mà những bước di chuyển đầu tốt nhất là một bước di chuyển R3 duy nhấtmà có lợi. Vì vậy không nên loại trừ xem xét các bước đi của R3 như là bước đi đầu tiên trong danh mục này.
![Show](/images/plus.png)
Trong nghiên cứu của chúng tôi về các bước di chuyển của việc tháo gỡ nút thắt, chúng tôi nhận thấy rằng rất hiếm khi phép chiếu nút thắt một mặt được đơn giản hóa một cách hoàn toàn, nó có số lượng điểm giao cắt tối thiểu khả thi cho nút thắt này, và mặt khác, không có giao cắt nào của nó khi được chuyển đổi, sẽ làm giảm số lượng chuyển đổi cần thiết để tháo gỡ nút thắt. Những kiến thức đó có ích như thế nào? Từ những gợi ý trên chúng ta có thể đưa ra kết luận rằng sau khi bước di chuyển P0 ban đầu (bao gồm bước đi R3 có lợi duy nhất), bước chuyển đổi duy nhất để thử là những đường bắt chéo mới đã xuất hiện dựa trên các bước di chuyển P0 ban đầu.
![Show](/images/plus.png)
Lý thuyết Nút thắt Toán học là một đề tài nghiên cứu cũ vì thế có rất nhiều tài liệu về nó. Tuy nhiên, đây cũng là một đề tài mới khi mới có một số cột mốc được đạt tới trong vài thập kỷ gần đây. Ví dụ, Tạp chí khoa học "Journal of Knot Theory and Its Ramifications" chuyên về nút thắt có ấn phẩm phát hành hàng tháng.
Có một cuốn sách rất hay mà chúng tôi muốn giới thiệu, đó là: Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3678-1
Và còn có nhiều website về Nút thắt. Có thể bắt đầu với trang thông tin the Knot theory trên Wikipedia.
Có thể xem thêm các video Numberphile's Playlist of Knot trên Youtube. Có cả một lời giải thích dễ hiểu vềTô màu các nút thắt, một cách khác để xác định sơ đồ của cùng một nút thắt..
Caribou có poster về Gỡ nút thắt và Tô màucác nút thắt.
Có một cuốn sách rất hay mà chúng tôi muốn giới thiệu, đó là: Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3678-1
Và còn có nhiều website về Nút thắt. Có thể bắt đầu với trang thông tin the Knot theory trên Wikipedia.
Có thể xem thêm các video Numberphile's Playlist of Knot trên Youtube. Có cả một lời giải thích dễ hiểu vềTô màu các nút thắt, một cách khác để xác định sơ đồ của cùng một nút thắt..
Caribou có poster về Gỡ nút thắt và Tô màucác nút thắt.
Theo dõi cập nhật sắp tới